Dimanche 8 août 2010
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(inspiré du magazine Tangente, novembre 2009)
Par combien de 0 se termine le nombre 2010!?
(c'est à dire le nombre factorielle de 2010, soit 2010! = 2010×2009×2008...×2×1). On ramasse les copies à la rentrée.
Par Alexandre Moatti
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Publié dans : "Jeux" et curiosités mathématiques
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Dimanche 9 mai 2010
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On connaît le cône classique de révolution (le sablier), et ses coupes par tous types de plans qui donnent les coniques
(ellipses, paraboles, hyperboles), dont la coupa pr un plan perpendiculaire à l’axe du cône qui donne un cercle. Ce sont les seuls cercles du cône de révolution.

On a vu que dans le tore on trouvait une famille étonnante de cercles hors les méridiens et parallèles, les cercles de Villarceau.
Prenons maintenant un cône qui n’est pas un cône de révolution – un cône comme ci-dessous. On pourrait
dire qu’il est construit à partir d’un triangle rectangle : on fait monter un cercle le long des deux droites ci-dessous qui forment un triangle rectangle (l'image est volontairement
quelconque pour vous permettre d'exercer votre imagination).
Cette figure comprend bien évidemment une famille de cercles, celui qu’on voit là et ceux qui lui sont parallèles (le
cercle montant vers le sommet). La question est : existe-t-il une autre famille de cercles (à l’inverse du cône de révolution) ? et si oui laquelle ? A vos
commentaires !
(question en hommage à Adrien Douady qui posait ce sujet à sa
petite-fille, comme me l’a récemment raconté son fils Raphaël)
Par Alexandre Moatti
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Samedi 24 avril 2010
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16:17
La somme des angles d’un triangle, c’est bien connu, vaut… l’angle plat (regardez la démonstration d’Euclide sur Wikipedia). Mais, c’est moins connu, la somme des angles d’un quadrilatère convexe (par exemple un carré) vaut… deux angles plats
(360°). La somme des angles d’un pentagone (5 côtés) vaut… trois angles plats (540°). La somme des angles d’un hexagone vaut… quatre plats (720°). La somme des angles d’un polygone convexe à n
côtés vaut (n – 2) angles plats. Je vous propose deux démonstrations graphiques de cela.
La première, c’est de remarquer qu’un carré, c’est deux triangles accolés, donc deux plats pour la somme des
angles ; un pentagone c’est un triangle accolé à un quadrilatère, donc trois plats (cf. figure ci-après) ; un hexagone, c’est deux quadrilatères accolés ou un
pentagone accolé à un triangle, etc.
La seconde ressemble à celle du triangle telle que mentionnée ci-dessus. Elle consiste à « remplacer un sommet
par un côté » dans un polygone convexe à n côtés: il devient un polygone convexe à (n+1) côtés. Regardons ce qui se passe. À gauche, en violet, l’angle α du sommet d’un polygone convexe. Au milieu, on trace un trait qui va servir de support au nouveau côté – il forme un
angle β (peu
importe la valeur de cet angle, elle va disparaître). À droite, on décale légèrement un des côtés de l’angle initial (en conservant le parallélisme), c’est ce que j’appelle « le remplacement
d’un sommet par un côté ». Les angles marqués en noir sont conservés. On en déduit facilement les angles marqués en violet, et on remarque que la somme des deux angles violets vaut
π + α (β disparaît). Ainsi, en remplaçant un sommet par un côté, on est passé de α (angle initial, à
gauche) à π + α (à droite) pour la valeur contributive à la somme des angles de la figure. On a bien augmenté la somme des angles d’une
valeur π en ajoutant un côté.
Pour ceux qui veulent aller plus
loin : on remarquera que la démonstration d’Euclide « la somme des angles
d’un triangle vaut 180° » n’est valable qu’en utilisant le 5° postulat « Par un point extérieur à une droite, on peut faire passer une et une seule parallèle à cette droite ».
D’ailleurs, dans les géométries non-euclidiennes où ce 5° postulat n’existe pas, la somme des angles d’un triangle est inférieure à π (géométrie
hyperbolique) ou supérieure (géométrie sphérique) (mon ouvrage chapitre 8, Vivons-nous dans une géométrie euclidienne ?). Ci-dessus aussi intervient le 5° postulat, de manière
évidente dans la seconde démonstration, je crois aussi dans la première démonstration. Votre avis sur ce dernier point ?
Par Alexandre Moatti
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Samedi 10 avril 2010
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18:56
La dernière livraison BibNum
porte sur le réflexe conditionnel (Pavlov, années 1890). Après Broca (1861), c'est une bonne
opportunité pour continuer à s'initier à la neurologie. C’est en effet une promenade érudite à travers l’ensemble des travaux sur la mémoire de 1900 à nos jours à laquelle nous invite R. Bauchot.
Le chien de Pavlov et son « réflexe conditionné » (saliver à l’audition d’une sonnerie qui annonce la nourriture) en est le point de départ. Le conditionnement pavlovien (liant deux
événements indépendants) a ouvert la voie au conditionnement opérant (le rat appuie sur un bouton et voit le résultat de son action). On verra que les neurones communiquent entre eux par les
synapses, unité fonctionnelle du système nerveux. Un des deux types de synapses fonctionne de manière beaucoup plus lente et permet le renforcement de la réponse à une action répétée– une
sensibilisation à la base de la mémoire. On distingue différents types de mémoires, dont la mémoire à court terme, la mémoire procédurale,
(apprentissage moteur ou habitudes, faire du vélo, se servir de couverts), et la mémoire sémantique (le « savoir quoi » : parler français, connaître les
capitales,…). À découvrir sur BibNum. Ci-dessous, le chien de Pavlov, auquel on dressé une statue dans le parc du laboratoire de Moscou !
Par Alexandre Moatti
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Publié dans : BibNum
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Samedi 10 avril 2010
6
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/2010
18:39
Je n’aime que moyennement les romans scientifiques – en mathématiques m’ont plu Le dernier théorème de Fermat
(Simon Singh), et le moins connu L'oncle Petros et la conjecture de Goldbach, d’Apostolos Dioxadis. Je ne mentionnerai pas les « romans scientifiques » qui ne m’ont pas
plu… Je viens de terminer Les Animaux
dénaturés, livre (disponible en Livre de Poche) de 1952 de Vercors (1902-1991), l’auteur du fameux Silence de la Mer. Il est présenté sur Wikipedia comme un roman de science-fiction (et même précurseur d’une science-fiction française). Je ne le décrirai pas
comme cela, j’ai trouvé que c’était un récit très intéressant sur l’évolution : le fait qu’il se passe en Grande-Bretagne renforce l’aspect « darwinien » du roman.
Je mentionnerai deux citations qui m’ont fait réfléchir. La première recoupe mes réflexions sur l’alterscience, et notamment sur certains aspects du créationnisme américain en astrophysique (NB : orthogenèse = penser qu’il y a une direction dans l’évolution):
Même Pop n’est orthogéniste que pour des raisons strictement scientifiques (…) Ce n’est point parce qu’il croit à une
volonté divine qu’il est orthogéniste, mais au contraire parce qu’il est orthogéniste qu’il croit à une volonté divine.
La seconde citation donne la clef du titre – les protagonistes cherchent à définir ce qu’est l’homme, par rapport à des
singes ou hommes appelés Tropis qu’ils ont découverts. La différence, selon Vercors, ne serait pas tant liée à l’intelligence qu’au rapport à la nature :
L’animal a continué de la subir. L’homme a brusquement commencé de l’interroger (…) Or, pour interroger, il faut être
deux : celui qui interroge, celui qu’on interroge. Confondu avec la nature, l’animal ne peut l’interroger. Voilà, il me semble, le point que nous cherchons. L’animal fait un avec la
nature. L’homme fait deux. Pour passer de l’inconscience passive à la conscience interrogative, il a fallu ce schisme, ce divorce, il a fallu cet arrachement (…) Animal avant
l’arrachement, homme après lui. Des animaux dénaturés, voilà ce que nous sommes.
Je recommande la lecture de cette fiction philosophico-scientifique…
Par Alexandre Moatti
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Publié dans : Biologie -sciences de la vie
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