On connaît les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 voire par 11. On parle plus rarement, notamment avec nos enfants, du critère de divisibilité par 7 ou 13, qui se trouve être commun aux deux nombres.

Je retrouve cela dans un petit bijou de livre comme on n’en fait plus, à ouvrir avec un coupe-papier, W. J. Reichmann, " La Fascination des nombres ", (Payot 1959), paru l’année de ma naissance, que j’ai acheté chez Gibert pendant mes études je pense, sans doute introuvable maintenant, comme sont introuvables les " Que sais-je? " de Jean Itard sur l’arithmétique ou sur les nombres premiers (bibliographie 3 de mon livre).

Soit un nombre N dont on veut tester la divisibilité, on le partage en tranches de trois chiffres à partir de la droite. On ajoute et on soustrait alternativement chacune de ces tranches jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’une tranche de trois chiffres. Si ce nombre de trois chiffres est divisible par 7 ou 13, alors le nombre initial l’est.On ramène ainsi l’examen de la divisibilité par 7 ou 13 de tous les nombres à celle des nombres de trois chiffres.

• Exemple : 745 857 320.
• On mène l’opération décrite : 745 – 857 + 320 = 208, nombre divisible par 13.
• Donc le nombre initial l’est, on vérifie 745 857 320 = 13 * 57 373 640