Dimanche 8 mai 2011
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20:03
Je lis le remarquable Gaston Bachelard (1884-1962), trop oublié, trop vite balayé par la "sociologie des sciences" (rendez-vous dans
une cinquantaine d'années pour savoir qui reste entre Bachelard et la "sociologie des sciences"). Il nous propose (La Formation de l'esprit scientifique. Contribution à une psychanalyse de la
connaissance objective, Vrin 1938, constamment réédité depuis) un exercice qu'il donne à ses élèves:
soit un chêne de 150 cm de diamètre: calculer son périmètre à un centimètre près
A l'heure des calculettes, on ne comprend même plus l'intérêt de réfléchir à pareil exercice. Bachelard nous invite néanmoins
à réfléchir, à ce propos, à l'articulation etre précision physique et précision mathématique.
Dimanche 27 mars 2011
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12:22
Le Berger nous guide pauvre horde de moutons pas assez matheux : après nous
avoir fait découvrir les cercles du tore (sur ce blog et sur BibNum), il nous dit qu’il suffit de baisser les yeux (toujours dans la rue, mais à l’inverse
d’ici) pour voir des polygones réguliers… sur les enjoliveurs des roues de
voiture.
Pour les polygones réguliers dans les enjoliveurs on en voit (jusqu’à l'ordre 20 dixit Berger), ainsi que des polygones réguliers étoilés – il n’est donc pas nécessaire de lever les yeux pour voir des étoiles ! Magnifique dessin à la main de (l’étoile du)
Berger ci-dessous :
1° challenge (facile) : indiquez en commentaire ce que signifie la
fraction en bas à gauche et le petit signe cabalistique en bas à droite de chaque polygone.
2° challenge : c’est plus difficile de distinguer dans la vraie vie des
enjoliveurs ceux qui sont simples et ceux qui sont étoilés (avec les masses d’aluminium les deux ont vite fait de se confondre dans notre vision). Je lance un concours de photos de polygones
étoilés sur enjoliveurs. Je commence avec un (5,2) sur Mercédès Swatch ci-dessous. Toutes photos de polygones ETOILES d’ordre supérieur, ou bien (5,2) où l’étoile est plus visible encore, sont
les bienvenues : vous pouvez les mettre en ligne à un endroit de votre choix et me prévenir par le courriel de contact ci-dessous, ou me les envoyer au même courriel, je les publierai dans
ce billet en vous créditant (préciser aussi l’automobile).
3° challenge : ma courte expérience de photographe d’enjoliveurs étoilés
m’a montré qu’il est plus facile de reconnaître un étoilé d’un régulier quand le polygone est d’ordre impair. Si vous avez la même idée, expliquez pourquoi…
Dimanche 19 septembre 2010
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J'ai bien aimé "le media du jour" de Wikimedia commons, vidéo de construction à la règle et au compas d'un pentagone :
ici.
(voir aussi les constructions de Descartes à la règle et au compas - il n'avait pas
enregistré de fichier SVG ou MP4...)
Dimanche 9 mai 2010
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12:06
On connaît le cône classique de révolution (le sablier), et ses coupes par tous types de plans qui donnent les coniques
(ellipses, paraboles, hyperboles), dont la coupa pr un plan perpendiculaire à l’axe du cône qui donne un cercle. Ce sont les seuls cercles du cône de révolution.
On a vu que dans le tore on trouvait une famille étonnante de cercles hors les méridiens et parallèles, les cercles de Villarceau.
Prenons maintenant un cône qui n’est pas un cône de révolution – un cône comme ci-dessous. On pourrait
dire qu’il est construit à partir d’un triangle rectangle : on fait monter un cercle le long des deux droites ci-dessous qui forment un triangle rectangle (l'image est volontairement
quelconque pour vous permettre d'exercer votre imagination).
Cette figure comprend bien évidemment une famille de cercles, celui qu’on voit là et ceux qui lui sont parallèles (le
cercle montant vers le sommet). La question est : existe-t-il une autre famille de cercles (à l’inverse du cône de révolution) ? et si oui laquelle ? A vos
commentaires !
(question en hommage à Adrien Douady qui posait ce sujet à sa
petite-fille, comme me l’a récemment raconté son fils Raphaël)
Samedi 24 avril 2010
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16:17
La somme des angles d’un triangle, c’est bien connu, vaut… l’angle plat (regardez la démonstration d’Euclide sur Wikipedia). Mais, c’est moins connu, la somme des angles d’un quadrilatère convexe (par exemple un carré) vaut… deux angles plats
(360°). La somme des angles d’un pentagone (5 côtés) vaut… trois angles plats (540°). La somme des angles d’un hexagone vaut… quatre plats (720°). La somme des angles d’un polygone convexe à n
côtés vaut (n – 2) angles plats. Je vous propose deux démonstrations graphiques de cela.
La première, c’est de remarquer qu’un carré, c’est deux triangles accolés, donc deux plats pour la somme des
angles ; un pentagone c’est un triangle accolé à un quadrilatère, donc trois plats (cf. figure ci-après) ; un hexagone, c’est deux quadrilatères accolés ou un
pentagone accolé à un triangle, etc.
La seconde ressemble à celle du triangle telle que mentionnée ci-dessus. Elle consiste à « remplacer un sommet
par un côté » dans un polygone convexe à n côtés: il devient un polygone convexe à (n+1) côtés. Regardons ce qui se passe. À gauche, en violet, l’angle α du sommet d’un polygone convexe. Au milieu, on trace un trait qui va servir de support au nouveau côté – il forme un
angle β (peu
importe la valeur de cet angle, elle va disparaître). À droite, on décale légèrement un des côtés de l’angle initial (en conservant le parallélisme), c’est ce que j’appelle « le remplacement
d’un sommet par un côté ». Les angles marqués en noir sont conservés. On en déduit facilement les angles marqués en violet, et on remarque que la somme des deux angles violets vaut
π + α (β disparaît). Ainsi, en remplaçant un sommet par un côté, on est passé de α (angle initial, à
gauche) à π + α (à droite) pour la valeur contributive à la somme des angles de la figure. On a bien augmenté la somme des angles d’une
valeur π en ajoutant un côté.
Pour ceux qui veulent aller plus
loin : on remarquera que la démonstration d’Euclide « la somme des angles
d’un triangle vaut 180° » n’est valable qu’en utilisant le 5° postulat « Par un point extérieur à une droite, on peut faire passer une et une seule parallèle à cette droite ».
D’ailleurs, dans les géométries non-euclidiennes où ce 5° postulat n’existe pas, la somme des angles d’un triangle est inférieure à π (géométrie
hyperbolique) ou supérieure (géométrie sphérique) (mon ouvrage chapitre 8, Vivons-nous dans une géométrie euclidienne ?). Ci-dessus aussi intervient le 5° postulat, de manière
évidente dans la seconde démonstration, je crois aussi dans la première démonstration. Votre avis sur ce dernier point ?
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