Pentagone et nombre d'or (2)

Dimanche 21 octobre 2007 7 21 /10 /Oct /2007 20:47

Pentagone et nombre d'or (2)

Deuxième étape de cette étude du pentagone et du nombre d’or (après le billet ci-dessous), c’est la magnifique preuve géométrique de l’irrationalité du nombre d’or (je me suis inspiré d’un cours sur le nombre d’or trouvé grâce aux Blog Inclassables mathématiques, mais la démonstration est ici différente).

Il suffit de 1) remarquer que le rapport diagonale du pentagone / côté du pentagone, égal au nombre d'or, se répète à l’infini, voir figure ci-dessus 2) s’interroger sur la notion de commune mesure à la base du concept de nombre rationnel.

Faisons un raisonnement par l’absurde. Si Phi le nombre d’or est rationnel (égal à p/q), ceci signifie qu’on peut trouver une commune mesure au côté et à la diagonale du pentagone, c’est à dire un nombre m tel que (voir ci-contre, m est la longueur entre deux traits noirs sur chaque segment violet) :

- " il y va p fois m " dans le côté du pentagone (ou np fois, n entier quelconque, p entier donné, m peu importe s’il est entier ou non, c’est " la commune mesure ").
- " il y va q fois m " dans la diagonale du pentagone (ou nq fois, n entier quelconque, q entier donné).

Or, on conçoit aisément que la " mise en abîme " infinie du pentagone et du pentagone étoilé (figure en haut), donc la mise en abîme de la diagonale et du côté du pentagone, ont pour conséquence, que :

- le rapport entre diagonale et côté reste égal à Phi, puisque c’est toujours la même figure qui se répète à l’infiniment petit.

- MAIS, diagonale et côté du pentagone, tout en restant de rapport constant, deviennent de plus en plus petits, c’est à dire inférieurs à toute commune mesure m qu’on leur trouverait (à partir d’un certain moment, il ne peut même plus " y aller UNE fois m " dans le côté ou dans la diagonale qui deviennent plus petits que m). Donc, il ne peut exister de commune mesure m entre la diagonale et le côté du pentagone, donc le nombre d’or est irrationnel.

On passage, on en profitera pour réfléchir aux expressions de la langue française, directement dérivées de l’irrationalité : " ceci est sans commune mesure avec cela " ou " d’une bêtise incommensurable " (cette dernière expression ainsi employée à tort, puisque quelque chose est incommensurable avec autre chose, et non par lui-même).

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Par Alexandre Moatti - Publié dans : D'autres quasi-indispensables mathématiques - Communauté : Les amis des maths
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