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CouvPocheIndispensables
J'ai créé ce blog lors de la sortie de mon livre "Les Indispensables mathématiques et physiques pour tous", Odile Jacob, avril 2006 ; livre republié en poche en octobre 2011 (achat en ligne) (sommaire du livre).
Je développe dans ce blog des notions de mathématiques et de physique à destination du plus large public possible, en essayant de susciter questions et discussion: n'hésitez pas à laisser vos commentaires!

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Indispensables astronomiques

Nouveauté octobre 2013, mon livre "Les Indispensables astronomiques et astrophysiques pour tous" est sorti en poche, 9,5€ (éditions Odile Jacob, éidtion originale 2009). Comme mon premier livre (Les Indispensables mathématiques et physiques), c'est un livre de notions de base illustrées avec des exemples concrets, s'appuyant sur les mathématiques (géométrie notamment) pour l'astronomie, et sur la physique pour l'astrophysique. Je recommande vivement sa lecture.

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21 octobre 2007 7 21 /10 /octobre /2007 18:47

Deuxième étape de cette étude du pentagone et du nombre d’or (après le billet ci-dessous), c’est la magnifique preuve géométrique de l’irrationalité du nombre d’or (je me suis inspiré d’un cours sur le nombre d’or trouvé grâce aux Blog Inclassables mathématiques, mais la démonstration est ici différente).

Mise-en-abime.JPGIl suffit de 1) remarquer que le rapport diagonale du pentagone / côté du pentagone, égal au nombre d'or, se répète à l’infini, voir figure ci-dessus 2) s’interroger sur la notion de commune mesure à la base du concept de nombre rationnel.

Faisons un raisonnement par l’absurde. Si Phi le nombre d’or est rationnel (égal à p/q), ceci signifie qu’on peut trouver une commune mesure au côté et à la diagonale du pentagone, c’est à dire un nombre m tel que (voir ci-contre, m est la longueur entre deux traits noirs sur chaque segment violet) :MesurePhi.JPG

- " il y va p fois m " dans le côté du pentagone (ou np fois, n entier quelconque, p entier donné, m peu importe s’il est entier ou non, c’est " la commune mesure ").

- " il y va q fois m " dans la diagonale du pentagone (ou nq fois, n entier quelconque, q entier donné).



Or, on conçoit aisément que la " mise en abîme " infinie du pentagone et du pentagone étoilé (figure en haut), donc la mise en abîme de la diagonale et du côté du pentagone, ont pour conséquence, que :
 
- le rapport entre diagonale et côté reste égal à Phi, puisque c’est toujours la même figure qui se répète à l’infiniment petit. 
- MAIS, diagonale et côté du pentagone, tout en restant de rapport constant, deviennent de plus en plus petits, c’est à dire inférieurs à toute commune mesure m qu’on leur trouverait (à partir d’un certain moment, il ne peut même plus " y aller UNE fois m " dans le côté ou dans la diagonale qui deviennent plus petits que m). Donc, il ne peut exister de commune mesure m entre la diagonale et le côté du pentagone, donc le nombre d’or est irrationnel.
On passage, on en profitera pour réfléchir aux expressions de la langue française, directement dérivées de l’irrationalité : " ceci est sans commune mesure avec cela " ou " d’une bêtise incommensurable " (cette dernière expression ainsi employée à tort, puisque quelque chose est incommensurable avec autre chose, et non par lui-même).

 

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commentaires

beverycool 23/10/2007 13:44

Je trouve très "joli" ce type de démonstration avec la notion de descente infinie. Je l'ai découverte dans le livre de Benoit Rittaud : " Le fabuleux destin de racine de 2". C'est cet argument que j'ai donné cette année en seconde , pour conclure à l'irrationnalité de racine de 2, cette impossibilité de simplifier une infinité de fois par 2 , une fraction composée de nombres pairs.

Alexandre Moatti 23/10/2007 14:20

Oui, vous avez raison de rappeler ce terme "descente infinie", mais ce qui me paraît encore plus beau ici, c'est que la descente infinie est non pas algébrique (impossibilité de simplifier une fraction), mais purement géométrique et graphique (mise en abîme, comme des miroirs).A.M.

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J'ai aussi un thème de recherche, l'alterscience, faisant l'objet d'un cours que j'ai professé à l'EHESS en 2008-2009 et 2009-2010. Il était en partie fondé sur mon second livre, "Einstein, un siècle contre lui", Odile Jacob, octobre 2007, livre d'histoire des sciences (voir billet sur ce blog, et notamment ses savoureux commentaires).

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