2 = Racine de 2 : le paradoxe de la diagonale

Dimanche 23 mars 2008 7 23 /03 /Mars /2008 11:06

2 = Racine de 2 : le paradoxe de la diagonale

$Diagonale-fractale.JPG$ On prend un carré de côté 1, et on décompose ses côtés en n segments égaux, donc un quadrillage de n² petits carrés qu'on va densifier. On trace la courbe violette qui part, comme la diagonale, d'en bas à gauche pour aller en haut à droite, mais en suivant des marches d'escalier comme indiqué.
La longueur de la courbe violette est toujours 2, puisque ses éléments verticaux se superposent au côté vertical de longueur 1, et ses éléments horizontaux se superposent au côté horizontal de longueur 1.
Quelle que soit la valeur de n (par exemple si l'on décompose en deux à chaque fois, n= 2 puissance p), la surface comprise entre la courbe violette et la diagonale se compose de 2n triangles de côté 1/2n donc de surface 1/8n². Cette surface vaut 2n x 1/8n² = 1/4n elle tend vers 0 quand on fait croître n : la courbe violette se rapproche de la diagonale. On a donc une courbe de longueur 2 qui tend vers une courbe de longueur √2, longueur de la diagonale. Soit ce paradoxe qui nous ferait dire 2 = √2.

J'aime bien une première explication avec les fractales. La courbe composée des petits triangles est de périmètre constant égal à 2 et délimitant une surface (comprise entre la courbe et la diagonale) nulle à l'infini (1/4n). C'est une fractale de dimension inférieure à 1, une « poussière de points (ou poussière de Cantor) » (pour ceux qui connaissent les dimensions fractales, voir mon livre chapitre XXI, on a P = facteur de similarité = 2, Q = facteur d'homothétie = 4, Dimension= LogP/LogQ= ½). Dans le flocon fractal, on « crée de la matière » (dimension fractale comprise entre 1 et 2) ; dans les poussières de points, on « évide de la matière » (dimension fractale comprise entre 0 et 1) ; mais cette poussière de points reste non dénombrable, ce qui explique qu'en fait « 2 n'est pas égal à √2 ».

J'ai trouvé une autre explication dans Albert Jacquard, L'équation du nénuphar : il invoque aussi Cantor pour indiquer que le nombre de tournants de la courbe violette tend vers l'infini des nombres entiers (aleph 0), alors que la diagonale représente l'infini des nombres réels (aleph 1) : ces deux infinis sont différents, donc « 2 n'est pas égal à √2 ».

Ces deux explications ne sont pas contradictoires, si vous avez vous-même d'autres idées d'interprétation, n'hésitez pas à nous en faire part en commentaires !

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Par Alexandre Moatti - Publié dans : D'autres quasi-indispensables mathématiques - Communauté : Les amis des maths
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Commentaires

C'est bluffant même si je n'ai pas bien compris les explications!

Ce paradoxe n'illustre-t-il pas de manière assez impressionnante qu'il ne faut surtout pas déduire la longueur d'une courbe à partir de la surface "sous" cette courbe?
De la même manière qu'on ne peut déduire la surface d'une forme à partir du volume qu'elle recouvre?

Dit autrement, la surface "inclue" entre deux courbes ne préjuge pas de leur différence de longueur: cette surface n'est pas une distance au sens mathématique. D'ailleurs l'inégalité triangulaire est-elle respectée avec cette pseudo-distance?

Commentaire n°1 posté par Xochipilli le 26/03/2008 à 22h33

Oui, mais si la ligne brisée est l'infini des entiers, elle devrait être plus petite que la diagonale, infini des réelles ?

Je le comprends alors comme ça de mon coté. Je connais par exemple 2 classes d'infinis. Il y a celui des entiers naturels par exemple, identique à celui des entiers relatifs, même si on peut croire qu'il y en a 2 fois plus, car on peut faire une bijection entre les deux (j'associe 1 à 1, 2 à -1, 3 à 2, 4 à -2... et je peux le faire sans en rater aucun, jusqu'à l'infini). Même classe d'infini donc.

En revanche, il y a une infinité de réels entre deux entiers qui sont eux aussi infinis. L'infini des réels est un infini d'infinis.

Ici, même principe. Il y a une infinité de points dans la diagonale. Et il y a une infinité de points dans CHAQUE segment qui sont eux mêmes en nombre infini. Il y a donc une infinité d'infinis de points dans la ligne brisée mais qu'une infinité dans la diagonale. Donc la longueur de la première reste naturellement supérieure à la seconde.

Commentaire n°2 posté par Bab le 12/04/2008 à 16h21

Bonne remarque, l'image de Jacquard était sans doute un peu rapide : on garde en effet un infini non dénombrable dans chaque segement de l'escalier, aussi petit devient-il. Merci. A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 17/04/2008 à 10h55

Celà ne fait que démontrer la "difficulté" théorique du passage à la limite... L'irationnalité de la racine de 2 comme celle de Pi ne souligne que la différence de nature de la racine de 2 et des entiers (c'est à dire des nombres premiers).

Commentaire n°3 posté par AxelSCHNEIDER le 27/07/2008 à 23h14

Oui, mais je trouve que c'est intéressant de toucher du doigt ainsi, sur un exemple concret, les difficultés du passage à la limite... (comme pour le paradoxe d'Achille et de la tortue). Merci de votre commentaire. A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 28/07/2008 à 10h46

De la même façon, on peut démontrer que Pi=2, en prenant un demi-cercle de rayon 1 et donc de de longueur Pi. On construit alors 2 demi-cercles de rayon 1/2 et etc...

Mais, comme pour la racine de 2, celà est faux ! La longueur d'une courbe limite n'est pas la limite des longueurs ! (C'est là où Cantor se trompe : le nombre d'ensemble n'est pas l'ensemble des nombres... L'irrationalité de la racine carrée de 2 rend sa théorie des ensembles spécieuse car c'est un passage à la limite "faux" comme la démontré Godel en 1929... La limite de Pi et racine de 2 n'est 2 que parce que plus on va vers l'infini plus le nombre de nombres premiers tend vers 0 d'où le 1/2 de Riemman...).

On peut démontrer de manière tout aussi spécieuse que Pi et racine de 2 sont des nombres rationnels. De la même façon, on peut démonter par un passage à la limite erronée que l'ensemble des nombres entiers est un ensemble fini car {1,2,3,...,n} est un ensemble fini. L'infini n'est donc qu'un potentiel, comme les grecs l'ont affirmé depuis presque 2 milénaires : aleph 0 = alph 1. Il n'y a qu'un infini qui est une limite illimité, un "attracteur"... D'ou l'idée de Ramanujan de trouver une formule de la forme 2*Pi*Racine de 2*Lambda=1. Le passage à la limite entraine forcément la perte de la causalité. Ainsi, il nous faut réinterpréter Godel : il existe une proposition indécidable qui est vrai et qu'il ne faut pas décider : l'univers de Godel existe car sinon il y a un problème d'a-causalité temporelle... La constante cosmologique est donc différente de zéro mais explique à la fois l'expansion et la gravité. On retrouve la même démarche dans l'épistémiologie bouddhiste et la théorie de l'apoha (et donc l'approche indienne -de Ramanujan- de la réalité ultime...).

C'est ce que je tentes de dévellopper sur mon site : www.maformulederamanujan.org. Il faut dévellopper, comme l'a déclaré Godel, une théorie des concepts car sinon on ne comprendra jamais pourquoi lorsque l'on pose une masse au centre d'un cercle et du carré circonscrit de coté 1, Pi et la racine carrée de 2 restent des contantes malgré la relativité générale...

Commentaire n°4 posté par Axel SCHNEIDER le 28/07/2008 à 11h46

Plus interessant que le passage à la limite sont selon moi le dévelloppement de Pi en base à pas variable (1/3, 2/5, 3/7...) qui donne 2,22222... et le dévelloppement en fractions continues de racine de 2 qui donne 1,2,2,... Celà démontre que malgré leur irrationalité (et malgré la transcendance de Pi), ces 2 nombres ne sont effectivemenent pas aléatoires ntrinsèquement (l'expression est de Jean-Paul Delahaye). Il en est de même selon moi des nombres premiers.

Cependant, leur comportement "normal" apparait quand ils sont "en relation" dans un espace qui est allors snon-commutatifs et qui engendre son propre temps (cf Alain Connes) et les nombres entiers. Dans ma conjecture, ce sont les irrationnels qui engendrent les nombres rationnels....

On a donc un espace a trois dimensions euclidiennes qui engendre de facto une pseudo-dimmension de causalité (le temps ressenti d'Alain Connes), le temps du sytème galiléens classique.

Pour dévellopper la grande unification, les théoriciens des cordes rajoutent des dimensions. Dans ma conjecture, j'en enlève une, je retiens la vorticté (et donc son expansion) de mon espace "apophatique" comme dans l'univers de Godel de 1949 (cadeau d'Einstein et non moquerie sur la plus grande erreure de sa vie -non pas la constante cosmologique comme il le pensait dans un premier temps mais la lettre qui va entrainer le projet Manhatan) en retenant l'existence d'une constante cosmologique "indécidable" qui explique la gravité et la géométrie de l'univers.

Le temps de la ralativité générale n'est pas celui des espaces non-commutatifs de Connes (une rivière ne coule pas 2 fois au même endroit...). L'espace - temps - énergie realtiviste est un espace à 3 dimensions qui engendre la causalité (non-commutatitvité), c'est-à-dire le temps dont parle Alain Connes. Cette conjecture s'appuie notamment sur l'epistémiologie bouddhiste dévelloppée notamment par Dharmakirti et Dignagua. Le mathématicien et les mathématiqes ne peuvent échapper à l'univers qui les contient...

Commentaire n°5 posté par Axel SCHNEIDER le 29/07/2008 à 18h27

Vous mélangez beaucoup de choses, non ? En tout cas, j'ai du mal à vous suivre. A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 31/07/2008 à 08h23

A oui, dans ma conjecture Achille ne ratrappe pas la tortue car 2*racine de 2*Pi n'est pas un nombre entier et donc le temps et l'espace relativistes sont non commutatifs et c'est tant mieux car sinon il n'y aurait pas de causalité et pas de libre arbitre...

Commentaire n°6 posté par Axel SCHNEIDER le 29/07/2008 à 18h41

Je ne raconte pas plus d'inepties que Cantor ou que Jacquard : l'explication de la création de matière dans le passage d'une dimension fractale de 1 à 2 ne repose sur aucune démonstation mathématiques rigoureuse : c'est de la science fiction à la Bogdanov ! L'explcation surl'infini des réels et l'infini des entiers n'est pas plus démontrée : comment expliquer alors que l'on peut de la même façon démontrer que Pi=2 à la limite ? Quel sorte d'infini est-ce alors ? Je conjecture quand à moi qu'un espace géométrique ou algébrique est forcément non commutatif. Alain Connes dit que les algèbres non-commutatifs engendre leurs propres temps. Je pense quand à moi que la logique est inverse : un espace algébrique ou géométrique engendre une pseudo-dimension de temps qui est justement la propriété de non commutativité... Ainsi, s'il y a un indénombrabilté nous ne somme pas dans un espace géométrique ou algébrique : pour qu'il y ai un dénombrement il faut qu'il y ai un temps algébrique. Il est étonnant que l'on ne remette pas en cause les théories de Cantor alors que Godel a démontré que justement les infinis sont indécidables. L'infini des entiers n'est ni plus grand ni plus petit que l'infini des réels. Ce n'est pas grave en soit (contrairement aux interprétations trop rapides des théorèmes d'incomplétude). L'espace algébrique que l'on détermine pour analyser la "réalité" ne cré pas de matière ou le temps : il nous montre simplement que ne pouvant être en abime de la réalité, il nous faut admettre qu'il existe au moins une proposition inécidable : l'infini des réels et l'infini des entiers, le discet et le continu... Je souhaites simplement dévellopper l'idée qu'il n'y a peut-être en faite que 3 dimensions et que le temps, la quatrième dimensions du système galiléen n'est peut-être que la résultante de l'espace algébrique (cadre d'analyse conceptuel). C'est une conjecture, simplement et je crois que je n'aurrai hélas jamais les compétences pour aller plus loin hélas...). Dans ce cadre le paradoxe de la diagonale que vous évoquez (le problème du passage à la limite) rejoint l'impossibilité de la quadrature du cercle : prenons un carré de coté 1 et donc de surface 1. Pour calculer la circonférence du cercle qui circonscrit le carré on doit d'abord calculer la diagonale (racine de 2) avant de multiplier par Pi. Ainsi le paradoxe de la diagonale que vous évoquez est une erreure de raisonnement dans le passage à la limite. On ne respecte pas la non-commutativité, le temps de l'algébre... Il y a un principe d'indécidabilité dans le passage à comme il existe un principe d'incertitude en mécanique quantique et une indécibalité de la constante cosmologiqe. La remarque de n°2 est donc rès pertinente et contredit l'argument de la diagonale de Cantor...

Commentaire n°7 posté par SCHNEIDER le 31/07/2008 à 12h09

Je crois qu'il convient de réexpliquer clairement le "paradoxe de la diagonale" et ne pas tomber dans les pseudo-explications de Jacquard ou celles, encore plus spécieuse selon moi, des très à la mode dimensions fractales...

Il faut poser le paradoxe ainsi et ne pas inverser le problème comme vous le faite dès l'énoncé. Le poser tel que vous le fait est une perversité de plus car dès l'exposé du paradox, vous suggérez que l'espae algébrique st relativiste et donc que c'est la racine de 2 qui varie et non la longueur de la "ligne brisée".

De façon plus simple le paradoxe s'expose ainsi :

- Considérez un triangle rectangle isocèle de la figure. Si chacun des côtés égaux vaut 1, l'hypoténuse, d'après le théorème de Pythagore, vaut alors Ö2. Il faut tracer la ligne brisée en commençant à l'angle en bas à gauche et non pas comme vous le faite au milieu du "petit" carré (voilà l'erreur de Cantor car pour établir sa démonstration de la diagonale il "préétabli" une correspondance "biunivaoque" entre les nombres naturels et les nombres réels compris entre 0 et 1. C'est justement ce qui n'est pas possible car la racine de 2 est un nombre irrationnel...),

Alors, construisez la ligne brisée en vous portant 1/4 vers le haut, 1/2 vers la droite, 1/2 vers le haut, 1/2 vers la droite et 1/4 vers le haut. Désignez cette ligne par L1. Puis doublez le nombre des « gradins », ce qui donne la ligne brisée L2 et ainsi de suite... En continuant indéfiniment à doubler le nombre des « gradins », nous avons une suite de lignes brisées qui tend vers une limite, l'hypoténuse du triangle rectangle, Par conséquent la longueur de la ligne brisée est Ö2 .

Est-ce vrai ? Non, c'est faux. Quelle est sa longueur?

La longueur de la ligne brisée limite semble être Ö2 pour la seule raison que la limite est l'hypoténuse du triangle rectangle. Considérez la première ligne, L1. Il est évident que la somme des segments horizontaux est 1 et que la somme des segments verticaux est aussi 1. Par conséquent, la longueur de L1 est 2. Le même raisonnement s'applique à L2 et L3...

Dans chacun des cas, la somme des segments horizontaux est 1, de même que la somme des segments verticaux.

Donc L2 et L3, comme L1, ont pour longueur 2. Et quel que soit le nombre de fois où l'on double et redouble la division, la somme des segments horizontaux reste 1, et la somme des segments verticaux reste 1. Par conséquent chacune des lignes brisées a pour longueur 2. Il en résulte que la longueur de la ligne brisée limite est aussi 2 et non /2 qui n'est que sa limite. C'est pourtant simple... Et bien pas pour certain comme par exemple pour Cantor !

Une courbe ne couvre jamais une surface et les tenants des dimensions fractales ne retiennent cette hypothèse car ils se trompent dans le passage à la limite : la limite du périmétre de la fractale de Koch c'est l'infini mais l'aire de "ce" flocon est finie ! c'est comme la courbe de Sierpinski qui tendrait à la limite à remplir complétement un carré (2 dimensions). Il nous faut eneffet réviser nos bases et revnir à la démonstration de Sierpinski des "points doubles" de 1915 (et oui, c'est vieux : W. SIERPINSKI Comptes Rendus de l'Académie des Sciences -volume 160-1915-p. 302).

Commentaire n°8 posté par Axel SCHNEIDER le 01/08/2008 à 17h27

Sur le sujet des paradoxes et "pourquoi il ne faut pas vouloir toujours tout demontrer", si j'ai bien compris, lire cet article intéressant de Jean-Yves Girard: "Le statut paradoxal du paradoxe". C'est la: http://iml.univ-mrs.fr/~girard/paradoxe2.pdf

Soit c'est un fou, soit c'est un genie, mais sans comprendre tout ce qu'il dit loin de la, je penche plutot pour la seconde hypothèse.. :-)

Cheers,

Christophe.

= Change is the only constant. --Heraclitus =

Commentaire n°9 posté par Christophe Muller le 09/09/2010 à 17h00

Merci de cette URL. J'aime beaucoup ce qu'écrit J.Y. Girard : j'avais mis en bibliographie de mon premier ouvrage son livre Seuil où il introduit le théorème de Gödel, livre remarquable à tous égards + je me rappelle d'un de ses articles sur Internet, à propos des théories pseudo-scientifiques, il parlait du PAUPERISME au sujet de Popper, c'est assez amusant... mais là je dois dire que, dans le paragraphe "Diagonale de Cantor", je ne comprends rien à ce qu'il écrit. A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 09/09/2010 à 23h09

Le problème de cet article sur les paradoxes, c'est qu'il me semble que l'auteur n'a pas véritablement compris pourquoi les paradoxes énoncés n'en étaient pas ! D'un coté il explique qu'il n'y a pas moyen de contourner la diagonale de Cantor, de l'autre il affirme le statut paradoxal du paradoxe. C'est dommage quand on à fait un bouquin sur le théorême de Godel que de ne pas avoir compris la théorie des catégorie. La diagonale de Cantor serait contournable si pi n'étaitr pas un irratinnel transcendant... Il est simple cependant de voir la que la phase de la racine de 2 est double de la racine de 3 (Vesica piscis) en comparant les fractions continues [1, 2, 2, 2, 2....] et [1,1,2,1,2,1...]. On ne peut exprimer la racine de 3 en fonction de la racine 2. On peut regarder comment se comporte la fraction continue de 1/racine de 2 et 1/racine de 3. On a une translation mais on conserve la phase ! Rien de tel pour pi... Il n'y a aucun paradoxe : pi est transcendant. Contrairement a ce que laisse penser votre analyse, il existe des nombres premiers indivisible en 2 : les nombres premiers de Gauss qui ne sont jamais hypothésnuse d'un triplet de Pythagore non trivial...

Commentaire n°10 posté par Axel SCHNEIDER le 14/04/2011 à 09h40

L'erreur est surtout de dire que la courbe en escalier TEND à devenir la diagonale quand n augmente.

Ce sont deux courbes différentes, l'une ne tendra jamais vers l'autre, elles sont des géométries complètement différentes.

Commentaire n°11 posté par Rhodes le 17/04/2011 à 10h05

Je ne crois pas qu'il y ait besoin d'invoquer les fractals ou les infinis d'ordre différent pour déjouer un paradoxe qui n'est autre chose que l'application d'un propriété fausse. Le «paradoxe» illustre très clairement que ce n'est pas parce qu'une courbe tend vers une autre que sa longueur tend vers l'autre. Je ne vois là rien de paradoxal : si je me promène (en ligne droite) avec un chien jeune et fougueux en laisse,je peux bien imaginer qu'il peut parcourir une très grande distance (en tournant autour de moi) alors que je vais simplement acheter du pain.

Si on veut le reformuler en termes plus sophistiqués, il faut mettre une topologie sur l'ensemble des courbes : on dira que deux courbes sont proches si, pour un paramétrage convenable, les points sont proches. Pour cette topologie, la fonction "longueur" (pas trop bien définie d'ailleurs) n'est pas continue.

Si on change de topologie et qu'on exige, pour que deux courbes soient proches, que non seulement les points soient proches mais en plus les vitesses soient proches en chaque instant, alors la longueur devient continue. Mais les deux courbes (l'escalier et la ligne droite) ne sont plus proches.

En termes encore plus techniques, pour que l'intégrale de la dérivée d'une suite de fonctions converge vers l'intégrale de la limite, il faut

Commentaire n°12 posté par Jer le 21/05/2012 à 11h58

Merci de votre commentaire. Bien éviddemment mon titre sur "paradoxe" n'est pas prendre au pied de la lettre. Ceci dit je trouve ntéressante l'approche par les fractales, même s'il y a d'autres explications sans doute plus rigoureuses. Votre explicatio n'est pas contradictoire avec la mienne - mais elle se termine en plein milieu d'une phrase : avez-vous la suite ? A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 24/05/2012 à 22h49

En termes encore plus techniques, pour que l'intégrale de la dérivée d'une suite de fonctions converge vers l'intégrale de la limite, il faut non seulement que la suite des dérivées converge vers la dérivée de la fonction limite. Dans notre cas très précis, la suite des dérivées (une fonction qui passe de -1 à 1 sur des intervalles de plus en plus petits) n'a pas de limite, le théorème qui va bien ne s'applique pas.

Commentaire n°13 posté par Jer le 27/05/2012 à 09h16

Il n'y a aucun paradoxe je trouve.

Vous avez découpé votre carrée en 10 carrées de hauteur et 10 carrées en largeur. Si vous ajoutez vos 10 traits horizontaux de valeurs 1 unité et vos 10 traits vertictaux de valeurs 1 unité, vous obtenez un triangle rectangle dont le coté adjacent vaut 10 unités et le coté opposé vaut 10 unités, donc finalement, vous tournez en rond. Vous pouvez découpez votre carrée ou votre triangle rectangle en 10000 carrées de haut et 10000 carrées en large, ça ne changera rien, vous réobtiendrai toujours votre carrée initial ce qui n'arriverai pas si vous aviez pris environ 1,414 unités plutôt que 1 unité.

Commentaire n°14 posté par Nouveau le 24/01/2013 à 19h34

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