Arc-en-ciel et dérivée

Vendredi 25 juillet 2008

Je m'intéressais à la mathématique de l'arc-en-ciel (peut-être pour un prochain livre pour l'Année mondiale de l'Astronomie 2009 ?) et j'avais besoin de la dérivée de Arcsin (arcsinus, l'inverse de sinus, si y=sinx, alors x=arcsiny). Eh oui, cela paraît incroyable, mais on a besoin de cela si on veut approfondir le phénomène de l'arc-en ciel ! L'arc-en-ciel, c'est un mirage qu'on observe dans un rideau de pluie ou d'humidité, quand on tourne le dos au soleil, sur une certaine incidence des rayons solaires i qui minimise une fonction f(i) sous contrainte sini=nsinr (loi de réfraction de Descartes, n= 4/3 indice de l'eau)... Et, tout d'un coup, un trou, je n'arrive pas à me rappeler la formule pour la dérivée de l'inverse d'une fonction f. Autrement dit, je connais la dérivée de la fonction sinus, comment obtiens-je la dérivée de la fonction Arcsin?
Je me souviens de (f × g)', mais pas de (f^--1)’ ...

C'est alors que je me rappelle que la dérivée est un opérateur de composition, puisqu'il exprime, en physique, des mouvements infinitésimaux qui peuvent être eux aussi composés:

d f[g(x)] / dx = d f(y)/ dy × dy/dx, où l'on pose y = g(x)
d f[g(x)] / dx = f'(y) × g'(x)
d (f o g) = g' × (f' o g), où o est la fonction composée

Voilà la formule que je cherchais ; à partir de ce moment-là c'est plus facile ; on peut aussi en déduire (f^--1)’ mais ce n'est pas nécessaire. J'écris la formule avec g = Arcsin et f = sin :

f o g = Id (Id est la fonction Id(x)=x)
En dérivant et en appliquant la formule:
1 = d(Id) = d (f o g) = Arcsin' × sin ' (Arcsin x) = Arcsin' × cos (Arcsin x)
Donc la dérivée de Arcsin est Arcsin'(x) = 1/cos (Arcsin x)

Je suis bien avancé, me direz-vous, mais cos (Arcsinx) est un nombre qui possède une propriété :

cos² (Arcsinx) + sin² (Arcsinx) = 1
cos²(Arcsinx) = 1 - x²
(Arcsinx)' = 1/√(1-x²)

J'aurais pu retrouver cette dérivée facilement sur Internet, mais je me suis dit que les mathématiques, c'était beau, notamment à partir de la physique de l'arc-en-ciel ! Pour la beauté de cette formule, j'ai continué pour retrouver la dérivée la plus simple, celle de l'exponentielle (qui est sa propre dérivée) g = exp , f = Log :

1 = exp' × Log ' (exp)
Or Log' (y) = 1/y, donc exp' = 1/(1/exp) = exp.
CQSMCQFD (ce qu'on savait mais ce qu'il fallait démontrer)

Par Alexandre Moatti - Publié dans : D'autres quasi-indispensables mathématiques - Communauté : Les amis des maths
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Commentaires

trop puissant

Commentaire n° 1 posté par all le 25/07/2008 à 14h41

Conclusion : Il faudrait vraiment que les moteurs de blogs incluent un module equation...

Commentaire n° 2 posté par Matthieu le 28/07/2008 à 21h47

Oui, vous avez raison, mais Over-Blog vient (enfin) d'introduire un module "caractères spéciaux" qui n'est pas trop mal, en tout cas qui suffit me semble-til pour ce genre de billets. C'est vrai que pour des formules plus élaborées un éditeur de formules manque. A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 31/07/2008 à 08h25

C'est la démonstration faite en classe de mathématiques supérieures.

Commentaire n° 3 posté par ecjs le 01/08/2008 à 20h53

En attendant ce module, il est possible de réaliser des écritures mathématiques de bonne qualité en insérant des images réalisées avec pretty print : http://prettyprint.free.fr/13941.html

Commentaire n° 4 posté par olivier Leguay le 03/08/2008 à 11h39

excellent !!!!!

Commentaire n° 5 posté par cours maths le 07/08/2008 à 11h00

Bonsoir Alexandre,

Très bon ce article!
Il y a un bon éditeur LaTeX qui donne les équations en images! Il est sur http://www.codecogs.com/components/equationeditor/equationeditor.php et je l'utlise sur mon blog.

Paulo.

Commentaire n° 6 posté par Paulo le 24/08/2008 à 23h17

il ne me semble pas avoir besoin de tout cela : genre Bouasse.
la figure a une symétrie : D= un tour +2(A-2B) donc dD=0 ssi

dA = 2 dB qui joint à Descartes : sinA = n sin B qu'on différencie, donne cos A = sqrt( (n^2-1)/3) : 2 cas de pertinence : n=1 certes; n=2 (cat's eye)

Plus difficile à faire comprendre aux élèves : pourquoi D extrémal représente-t-il accumulation de lumière ? c'est quoi une "gloire", demandent-ils?

Certes, votre exemple {dy/dx est un rapport }est judicieux , mais vous voyez, pour l'arc-en-ciel, on peut aller un cran plus loin et se passer de Arc sinus ( en 2de ou en 3ème).

cordialement
laure t

Commentaire n° 7 posté par Tucru le 11/09/2008 à 18h36

Mon billet porte plutôt sur ce que je décris, à savoir trouver la dérivée de l'inverse d'une fonction. L'arc-en-ciel n'était là que comme une voie pour m'amener là ; bien évidemment la méthode que vous décrivez pour l'arc-en-ciel est plus simple, je l'utilise par ailleurs, c'est la méthode la plus abordable ; mais ce n'est pas là-dessus que porte mon billet.
Ceci dit, sur la pédagogie de l'arc-en-ciel, vous avez 100% raison : le plus difficile est de comprendre pourquoi il y a accumulation de lumière à l'extrêmum de la fonction.
A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 12/09/2008 à 08h44

Serait-il possible de modifier toutes les occurences du mot "inverse" (comme dans "fonction inverse") par "réciproque" (comme dans "application réciproque")?
En effet, la notation (f-) est déjà assez ambigüe.
J'ai le poil qui se hérisse quand je lis un mot à la place d'un autre.. ;-)

Certes on pourra me répondre que l'opération de "fabrication de la réciproque" s'appelle "inversion" (locale), mais tout de même, évitons les confusions, s'il vous plait! :-)

Je précise que je suis arrivé là après avoir cliqué sur un lien de liberation.fr.

Commentaire n° 8 posté par un passant le 24/06/2009 à 00h18

Merci de votre précision. C'est vrai que "réciproque" serait plus approprié, j'avais oublié ce terme. Mais ne peut-on considérer que dans le groupe muni de l'opération composition, f-1 est bien l'inverse de f ? D'autant qu'il n'y a là pas d'ambiguité avec une autre utilisation du mot "inverse". A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 24/06/2009 à 23h46

Certes, d'un point de vue rigoureux, parler ici de l'inverse d'une fonction n'est PAS une erreur.
Cependant, je maintiens que, quand un produit (la multiplication) est plus "naturel" qu'un autre (la composition), la bienséance voudrait qu'on lui laisse le mot "inverse" et en chercher un autre pour la seconde opération. ;-)
(De même qu'on préfèrera les notation fog ou f(g) à fg.)
Enfin, je dis surtout ça pour des lecteurs novices qui chercheraient des repères pour comprendre (beaucoup de mes élèves ont des problèmes pour retenir la formule de dérivation d'un quotient, alors si en plus le vocabulaire devient ambigu..)

Et par exemple, en reprenant les calculs de cette page, on pourrait écrire que: f-1'(y)=1/f'(x)
soit: "la dérivée de l'inverse de f, en y, est égale à l'inverse du nombre dérivé de f en x"

PS: j'admets que mon exemple relève (un peu) de la mauvaise foi quand même.

Commentaire n° 9 posté par le même passant le 25/06/2009 à 00h38

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