On a du mal à se convaincre que 0,99999...... = 1 (en tout cas j'ai moi du mal à m'en convaincre) ; c'est ce qu'on appelle un développement décimal illimité impropre. Le nombre 1 possède deux développements décimaux illimités 1,0000000.... et 0,9999999...., le second bien qu'impropre donne bien 1 : tous les informaticiens vous le diront (puisque l'ordinateur ne manipule pas un nombre de chiffres infini après la virgule) ; les mathématiciens philosophes vous diront « mais oui, cela vaut bien 1, il s'agit de conceptualiser ce que représente une suite infinie de chiffres ! » ; les mathématiciens non philosophes, adeptes de travaux pratiques, poseront X = 0,99999...., ils feront 10X = 9,999999...= 9 + X donc X = 1.

Pourtant on n'a aucun mal à se représenter que 1/3 = 0,333333..... là, le développement décimal illimité est propre (c'est le seul qui convient), mais la chose n'est pas fondamentalement différente. C'est-à-dire qu'on se voit mieux, expérimentalement, en travaux pratiques, faire la division à la main, abaisser les 0 après les 1, écrire les 3, etc.

Si vous aimez les TP de maths, et ne jurez que par les opérations, partez du résultat que vous avez trouvé après votre division 1/3 = 0,33333.... . Multipliez cette équation par 3 (encore une autre opération, vous êtes d'accord de la faire ?) ; vous obtenez... quoi : 1 = 0,999999.... Je vous l'avais bien dit, non ?

A propos de ce terme « impropre », en mathématiques (ici le développement décimal impropre), m'est revenue une anecdote salace pour la rentrée. Le professeur de MathSup rend les copies, et en grand au stylo rouge en haut de la copie, je vois la note et le commentaire :

« Attention une intégrale peut être impropre par les deux bouts ! »

Ce prof n'était pourtant pas un rigolo. Pas inventé, je crois même que j'ai encore la copie.