Page 43: (n!! + 1) est-il premier ou non premier?

Dimanche 14 mai 2006 7 14 /05 /Mai /2006 10:14

Page 43: (n!! + 1) est-il premier ou non premier?

Un mél d’Olivier Voyard reçu via www.science.gouv.fr, que je reproduis avec l’autorisation de son auteur :

J'ai acheté dernièrement "Les indispensables mathématiques et physiques pour tous" de Alexandre Moatti (…) il me semble qu'il fait une erreur en écrivant - je cite - "Considérons de nouveau N = n!! + 1 : ce peut être un nombre premier ou non premier, ..." (page 43).

A mon sens ce nombre N est forcément premier et c'est d'ailleurs il me semble la démonstration qu'en avait fait Euclide pour en arriver au fait qu'il existait une infinité de nombres premiers. Il s'agissait alors d'une démonstration par récurrence et non d'une démonstration par l'absurde comme cela a été fait dans l'ouvrage. En espérant que cette remarque arrive dans les mains de l'auteur ...

(rappel, n!!, différent de n!, est le produit des nombres premiers inférieurs à n; 8!!=7!!= 7*5*3*2=210)

Plus
- Email
- Lien
- Imprimer

Par Alexandre Moatti - Publié dans : Courrier des lecteurs
Ecrire un commentaire - Voir les 2 commentaires

Précédent : Un peu d'humour pour commencer Retour à l'accueil Suivant : Accueil courrier des lecteurs

Commentaires

Votre remarque m'a fait pas mal réfléchir, et j'ai pensé un moment que la phrase incriminée était en effet fausse, ce qui eût été d'autant plus dommage qu'elle n'est absolument pas nécessaire au raisonnement qui suit page 43 (ce qui prouve qu'en mathématiques, il faut s'en tenir au strict nécessaire).

A la réflexion, je me suis dit que si n!!+1 était systématiquement premier, ce serait une méthode facile de construction de nombres premiers: or il n'en existe pas! De fait on vérifie que N= n!!+1 peut avoir des diviseurs premiers supérieurs à n:

par exemple N= 7!!+1 = 211 est certes premier.

mais N= 13!!+1 = 30 031 = 509 * 59.

Donc n!! +1 peut être un nombre premier ou non.

De fait on vérifie que N= n!!+1 peut avoir des diviseurs premiers supérieurs à n:

Merci en tout état de cause de cette remarque tout à fait intéressante.

Commentaire n°1 posté par Alexandre Moatti le 14/05/2006 à 10h28

Je m'étais fait la même réflexion que votre lecteur. En fait cette erreur vient du raisonnement par l'absurde, qui n'est pas la chose la plus naturelle qui soit et qui peut facilement être mal interprété. La démonstration, c'est : imaginons que N est le plus grand des nombres premiers. Alors je montre que N!! + 1 est premier (ou N!+1, ça revient au même, il me semble). Mais ce fait (N!!+1 est premier) n'est vrai que si l'on a fait l'hypothèse (fausse) de départ.

Commentaire n°2 posté par johnarvet le 24/06/2009 à 13h14

1,2,3,4,5

Pourquoi ce blog ?

Indispensables astronomiques

Communauté de blogs

Recommander