Le chemin le plus court – un peu de réflexion - Les indispensables mathématiques et physiques

Vendredi 13 février 2009 5 13 /02 /Fév /2009 08:37

Le chemin le plus court – un peu de réflexion

Un peu de réflexion, un problème (qui sera à tiroirs) soumis à votre sagacité. Les problèmes de "chemin le plus court" sont toujours intéressants, pour nous sortir du cadre naturel qu'est la droite (certains parleront de "chemin le plus rapide", je préfère chemin le plus court - en temps) - voir un tel problème dans ce blog déjà.
Soit un cavalier situé en A, il veut se rendre en B, avec une contrainte, celle d'aller faire boire son cheval à la rivière (en bleu) en chemin. Saurez-vous proposer ce chemin le plus "court" ?

Rajoût Ajout: attention quelqu'un a trouvé la solution en commentaire - si vous voulez chercher ne regardez pas les commentaires !

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Par Alexandre Moatti - Publié dans : "Jeux" et curiosités mathématiques - Communauté : Les amis des maths
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Commentaires

Bonjour,

il suffit de créer le point symétrique B' de B par rapport à la rivière, puis tracer une ligne du point A au point B', qui coupera la rivière par le point R.

Le chemin le plus court est alors: A - R - B

Commentaire n°1 posté par Ludovic Levesque le 13/02/2009 à 09h47

Bravo à Ludovic, il n'a pas fallu deux heures pour que la solution apparaisse, sous sa plume. Ceci va m'obliger à dérouler mon quizz plus vite que je ne pensais ! A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 13/02/2009 à 10h12

Arrf j'ai regarde les commentaires trop vite ..!
Est-ce demontrable facilement ?

Commentaire n°2 posté par pierre le 13/02/2009 à 11h28

Ah oui, ne pas regarder trop vite les commentaires - je vais rajouter cela dans le corps de l'article. Sinon, pour vous répondre, il existe une solution mathématique simple (basée sur les triangles semblables) et une solution physique simple (loi d'incidence de Snell-Descartes). Je me propose de les exposer prochainement. A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 13/02/2009 à 12h03

Il me semble que l'idée reste la même : utiliser un segment de droite joignant A au symétrique de B.

Commentaire n°3 posté par ecjs le 13/02/2009 à 13h58

Ou B au symétrique de A, c'est équivalent. A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 16/02/2009 à 22h08

Tres joli reponse, que j'ai lue en commentaire, ayant eu du mal à trouver sans mel nacer dans des calculs (berk...)

A posteriori, la demonstration est limpide: le chemin le plus court est aussi le chemin le plus court pour aller de A à B' en croisant la riviere. Il est evident, dans ce cas, que c'est la ligne droite de A à B'. D'ou le passage A-R-B. Tres mignon, j'adore.

Commentaire n°4 posté par Herve Kabla le 13/02/2009 à 14h15

Argh, je suis vraiment un taupin de base, moi je me suis précipité comme un idiot pour faire le calcul pour trouver que si on appelle a la distance de A à la rivière et b la distance de B à la rivière, il faut que le cheval aille à une distance proportionnelle à a/(a+b) de la projection orthogonale de A, ce qu'on retrouve effectivement immédiatement avec le théorème de Thalès...

Commentaire n°5 posté par Tom Roud @ Darwin le 13/02/2009 à 15h04

Ce problème m'a fait penser à l'énoncé de R.P Feynman dans son livre Lumière et Matière (voir mon dernier billet) où il redémontre la première loi de Snell-Descartes (à savoir comment la lumière se réfléchit sur un miroir) à l'aide de l'électrodynamique quantique.

Dans le même style :
Concernant la 2ième loi de Snell-Descartes (la réfraction de la lumière à travers un changement de milieu) Feynman fait une métaphore avec un maitre nageur qui doit aller sauver une (belle) jeune fille qui se noye. Quel est alors le trajet le plus rapide pour aller sauver la (belle) jeune fille sachant que le maitre nageur court 5 fois plus vite sur le sable qu'il ne nage (et que la jeune fille n'est pas juste en face du maitre nageur par rapport au bord de mer).

Commentaire n°6 posté par Benjamin Bradu le 14/02/2009 à 15h42

Benjamin, vous me coupez mes effets ! Bien évidemment mon prochain billet donnait la réponse à l'énigme, et faisait le lien avec la loi de la réflexion lumineuse (d'où d'ailleurs le titre de mon bullet "un peu de réflexion" qui n'était pas anodin... et mon billet suivant parle du chemin le plus court pour le maître-nageur, et fait le lien avec la loi de la réfraction lumineuse. Mais tant pis je ferai quand même mes billets, na! Je ne savais d'ailleurs pas que c'était dans Feynman, merci de votre précision. A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 16/02/2009 à 22h13

Désoler d'avoir coupé les effets de transition, ce n'était pas le but.
Sinon je ne sais si Feynman est à l'origine de cette métaphore mais en tout cas, il l'a utilisée en 1985 et il y a de fortes chances qu'il en soit le géniteur.

Commentaire n°7 posté par Benjamin Bradu le 17/02/2009 à 12h05

Mais pouvons nous calculer la longeur (exacte) la plus courte donc le chemin passant par A-R-B si nous connaissons la longueur BB' et comment faire ?

Commentaire n°8 posté par dobi le 10/11/2010 à 13h46

Je ne comprends pas votre question : la longueur ARB est évidemment égale à BB'. A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 12/11/2010 à 11h04

1,2,3,4,5

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