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CouvPocheIndispensables
J'ai créé ce blog lors de la sortie de mon livre "Les Indispensables mathématiques et physiques pour tous", Odile Jacob, avril 2006 ; livre republié en poche en octobre 2011 (achat en ligne) (sommaire du livre).
Je développe dans ce blog des notions de mathématiques et de physique à destination du plus large public possible, en essayant de susciter questions et discussion: n'hésitez pas à laisser vos commentaires!

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Indispensables astronomiques

Nouveauté octobre 2013, mon livre "Les Indispensables astronomiques et astrophysiques pour tous" est sorti en poche, 9,5€ (éditions Odile Jacob, éidtion originale 2009). Comme mon premier livre (Les Indispensables mathématiques et physiques), c'est un livre de notions de base illustrées avec des exemples concrets, s'appuyant sur les mathématiques (géométrie notamment) pour l'astronomie, et sur la physique pour l'astrophysique. Je recommande vivement sa lecture.

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28 mai 2006 7 28 /05 /mai /2006 14:56

On connaît les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 voire par 11. On parle plus rarement, notamment avec nos enfants, du critère de divisibilité par 7 ou 13, qui se trouve être commun aux deux nombres.

Je retrouve cela dans un petit bijou de livre comme on n’en fait plus, à ouvrir avec un coupe-papier, W. J. Reichmann, " La Fascination des nombres ", (Payot 1959), paru l’année de ma naissance, que j’ai acheté chez Gibert pendant mes études je pense, sans doute introuvable maintenant, comme sont introuvables les " Que sais-je? " de Jean Itard sur l’arithmétique ou sur les nombres premiers (bibliographie 3 de mon livre).

 

Soit un nombre N dont on veut tester la divisibilité, on le partage en tranches de trois chiffres à partir de la droite. On ajoute et on soustrait alternativement chacune de ces tranches jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’une tranche de trois chiffres. Si ce nombre de trois chiffres est divisible par 7 ou 13, alors le nombre initial l’est.On ramène ainsi l’examen de la divisibilité par 7 ou 13 de tous les nombres à celle des nombres de trois chiffres.

 

  • Exemple : 745 857 320.
  • On mène l’opération décrite : 745 – 857 + 320 = 208, nombre divisible par 13.
  • Donc le nombre initial l’est, on vérifie 745 857 320 = 13 * 57 373 640

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commentaires

Inconnu 29/08/2017 19:35

Merci!! Ça m'a servi pour mon cours de maths du lycée!!!!

Samuel 18/09/2016 19:06

C tropcompliqué

Mehdi 20/02/2015 02:48


Bonjour, 


j'ai essayé cette méthode avec le nombre 58895146900 est divisible par 13, mais avec la méthode que vous avez illustrez cela ne fonctionne pas.


J'ai également essayé avec le nombre entier 76451977 qui est divisible par 7 mais votre méthode ne marche pas ne fonctionne pas pour ce chiffre également. Merci de voir si cela marche ou pas

Gilles G. Jobin 08/07/2006 14:35

Une petite recherche chez Abebooks.fr m'a permis de découvrir le Reichmann chez un bouquiniste de Montréal. La commande passée, je le recevais deux jours plus tard !

Alexandre Moatti 21/06/2006 08:57


Pour nos lecteurs non familiers avec les notations de Jean-Jacques ce complément en rouge dans sa démonstration :

Démonstration : la même vaut pour 7 et 13.
1000=-1 mod 7 et 1000000=1 mod 7 donc

1000 est congru à –1 modulo 7, c’est à dire que le reste de la division de 1000 par 7 fait –1 (ou 6) : en effet on vérifie 1000 = 143*7 – 1 ; 1 000 000 est congru à 1 modulo 7, on vérifie 1 000 000= 142 857*7 +1

pour tout entier n>0 : (10^3)^2n = 1 mod 7 et (10^3)^2n-1 = -1 mod 7

1000(2n) comme 1 000 000 et 1 est congru à 1 modulo 7.

Un entier quelconque s'écrit :
a*(10^3)^2n + b*(10^3)^2n-1 + ... + x*10^6 + y*10^3 + z

Dans l’exemple numérique du post initial 745 857 320 = 745*106 + 857*103 + 320

Le reste de sa division par 7 sera donc nul si z-y+x-...-b+a=0

 
Autres critères de divisibilité (très joli- merci)

par 7 : retrancher 2 fois le dernier chiffre de ceux qui le précèdent..
exemple : 16198 -> 1619-2*8=1603 -> 160-2*3=154 -> 15-2*4=7 donc divisible par 7
Démonstration : 10a+b=0 mod 7 10a-21b+b=0 mod 7 10a-20b=0 mod 7 a-2b=0 mod 7
par 13 : ajouter 4 fois le dernier chiffre à ceux qui le précèdent
exemple : 16198 -> 1619+4*8=1651 -> 165+4*1=169 -> 16+4*9=52 ->5+4*2=13 donc divisible par 13
Démonstration : 10a+b=0 mod 13 10a+39b+b=0 mod 13 10a+40b=0 mod 7 a+4b=0 mod 13
Jean-Jacques/ Alexandre

 

jean-jacques kerneis 20/06/2006 13:47

Démonstration : la même vaut pour 7 et 13.
1000=-1 mod 7 et 1000000=1 mod 7 donc
pour tout entier n>0 : (10^3)^2n = 1 mod 7  et (10^3)^2n-1 = -1 mod 7
Un entier quelconque s'écrit :
a*(10^3)^2n+ b*(10^3)^2n-1+ ... + x*10^6+y*10^3+z
Le reste de sa division par 7 sera donc nul si z-y+x-...-b+a=0
Autres critères de divisibilité :
par 7 : retrancher 2 fois le dernier chiffre de ceux qui le précèdent..
exemple : 16198 -> 1619-2*8=1603 -> 160-2*3=154 -> 15-2*4=7 donc divisible par 7
Démonstration : 10a+b=0 mod 7  10a-21b+b=0 mod 7 10a-20b=0 mod 7 a-2b=0 mod 7
par 13 : ajouter 4 fois le dernier chiffre à ceux qui le précèdent
exemple : 16198 -> 1619+4*8=1651 -> 165+4*1=169 -> 16+4*9=52 ->5+4*2=13 donc divisible par 13
Démonstration : 10a+b=0 mod 13  10a+39b+b=0 mod 13 10a+40b=0 mod 7 a+4b=0 mod 13
Jean-Jacques

ddt 13/06/2006 14:31

Je veux juste ajouter un sous critère de divisibilité par 7, qui marche aussi bien pour les grands chiffres que les petits, mais surtout pour les petits (

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J'ai aussi un thème de recherche, l'alterscience, faisant l'objet d'un cours que j'ai professé à l'EHESS en 2008-2009 et 2009-2010. Il était en partie fondé sur mon second livre, "Einstein, un siècle contre lui", Odile Jacob, octobre 2007, livre d'histoire des sciences (voir billet sur ce blog, et notamment ses savoureux commentaires).

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