Première étape : on étudie les triangles OKL et OKH, et on montre qu'ils sont dans le « rapport de Fermat » : sin i = HK/OK, sin r = OL/OK donc HK/sin i = OL/sin r, soit, comme sin i /V = sin r /v (par construction, billet précédent,V étant la vitesse dans le milieu du haut, v < V la vitesse dans celui du bas) HK / V = OL / v.

Deuxième étape : on trace (en vert) le rayon AK. Il coupe OH en un point I. On remarque que KI est l'hypoténuse d'un triangle KHI rectangle en H, donc KH < KI. On remarque aussi que IA est l'hypoténuse d'un triangle AOI rectangle en O, donc AO < AI. Pour la même raison, on a aussi BL < BK.

Troisième étape : On mesure le temps T_AKB (temps mis à parcourir la distance AKB).

T_AKB = T_AK + T_KB = T_AI + T_IK + T_KB  > T_AO + T_KH + T_KB (compte tenu de l'étape 2, puisque AO < AI et KH < KI).

Or, T_KH = HK/V et (première étape) = OL/v donc T_KH = OL/v ; or, OL/v = T_OL, donc T_KH = T_OL (c'est la conclusion de la première étape, les deux longueurs sont dans le rapport de Fermat, i.e. la lumière met un temps égal à les parcourir).

On reporte donc ci-dessus : T_AKB > T_AO + T_KH + T_KB = T_AO + T_OL + T_KB > T_AO + T_OL + T_LB puisque KB > LB. Donc T_AKB > T_AO + T_OL + T_LB = T_AOB. Donc le chemin AOB correspondant à sin i /V = sin r /v est bien le plus court. Merci Huygens !