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CouvPocheIndispensables
J'ai créé ce blog lors de la sortie de mon livre "Les Indispensables mathématiques et physiques pour tous", Odile Jacob, avril 2006 ; livre republié en poche en octobre 2011 (achat en ligne) (sommaire du livre).
Je développe dans ce blog des notions de mathématiques et de physique à destination du plus large public possible, en essayant de susciter questions et discussion: n'hésitez pas à laisser vos commentaires!

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Indispensables astronomiques

Nouveauté octobre 2013, mon livre "Les Indispensables astronomiques et astrophysiques pour tous" est sorti en poche, 9,5€ (éditions Odile Jacob, éidtion originale 2009). Comme mon premier livre (Les Indispensables mathématiques et physiques), c'est un livre de notions de base illustrées avec des exemples concrets, s'appuyant sur les mathématiques (géométrie notamment) pour l'astronomie, et sur la physique pour l'astrophysique. Je recommande vivement sa lecture.

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18 juillet 2006 2 18 /07 /juillet /2006 07:25
Exhumons deux théorèmes très simples et méconnus de l’algèbre et imaginons leurs applications : le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) et le théorème de Rolle (TR), du nom du mathématicien français Michel Rolle (1652-1719). Tous deux s’appliquent à une fonction continue sur les nombres réels, nous en donnons une version simplifiée.


Le TVI nous dit qu’une fonction f continue sur le segment [a,b], avec sur l’axe des ordonnées c = f(a) et d = f(b), prend sur [a,b] toutes les valeurs intermédiaires comprises entre c et d : pout tout nombre réel y tels que c < y < d, alors  il existe x tel que a < x < b et y = f(x).





Le TR est plus simple encore, il nous dit que si f(a) = f(b) = c, alors il existe un point x compris entre a et b tel que la fonction f possède un extremum (minimum ou maximum) sur [a,b] en ce point x ; sur la figure on a représenté un maximum.






Ces deux théorèmes sont, je trouve, rafraîchissants par leur simplicité. Imaginons leurs applications.


Pour TVI, je reste dans le domaine scientifique en proposant l’application à la période T du pendule de Foucault (chapitre 11 de mon livre) : puisque T = ∞ à l’équateur et T = 1 jour au pôle Nord, alors T prend toute valeur intermédiaire entre 1 jour et ∞ quand on descend les latitudes du pôle vers l’équateur, ce qu’on vérifie puisque T = 1 jour / sin β, où β est la latitude.

Pour TR, j’ai choisi de l’illustrer dans le domaine économique par la fameuse phrase « Trop d’impôt tue l’impôt ». f étant le taux d’imposition, si f = 0, aucun impôt n’est recueilli ; mais si f = 100% aussi, aucun impôt n’est recueilli, car si tout votre revenu passe en impôts, vous ne travaillez plus ! Il existe donc un taux d’imposition optimal entre 0 et 100%, maximisant l’impôt recueilli...

D'autres idées d'applications?



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commentaires

rahane 18/10/2015 23:50

Bonjour
Dans votre énoncé du tvi , on n’a pas nécessairement x dans l’intervalle ouvert a b . car f est continue , elle n’est pas nécessairement bijective (strictement monotone par exemple)

Edward 20/09/2009 02:17

c'est quoi ce baratin sudoku et tr merci pour mon prochaine théme de doctorat en analyse des sudokucomplexe hmmm voyons cher ami voyons...

Soel 03/07/2016 08:12

C'est quoi cette fumisterie de merde sur le Sudoku et le Théorème de Rolle? Pour parler de maths il faut en faire; sinon ça pond des analogies bizarres!

Alexandre Moatti 08/10/2006 23:19

Il m'est venu une autre idée sur le TR, liée à la folie des sudokus. Si la grille initiale du sudoku est composée de très peu de chiffres, par exemple 2, le sudoku est très facile et se remplit à la main; si elle est composée de très nombreux chiffres, là aussi le sudoku est très facile et on le complète rapidement. Il y a donc une nombre de chiffres optimal, ni trop ni trop peu, rendant le sudoku le plus difficile possible.Ce problème st sans doute plus compliqué qu'il n'y paraît, mais c'est en première approximation une application du TR...A. Moatti

Fabien 31/08/2006 11:56

Deux petites remarques stupides pour commencer : le théorème de Rolle n'est pas habituellement énoncé de la sorte. Il stipule que pour une fonction continue sur un intervalle fermé [a,b], dérivable sur ]a,b[ et telle que f(a)=f(b) alors il existe c dans ]a,b[ tel que f'(c)=0. C'est sous cette forme qu'il a ses applications les plus importantes (développement de Taylor). Ensuite, ces théorèmes ne sont pas vraiment méconnus... Ils font partie de tout cours d'analyse digne de ce nom de niveau bac+1.
Une application amusante du TVI : supposons que vous gravissez une montagne en empruntant un chemin. Vous partez à 8h et arrivez à 15h. Vous passez la nuit sur place et redescendez le lendemain, en passant par le même chemin, partant à 8h et arrivant à 15h. Il y a alors nécessairement un point sur le chemin que vous aurez atteint les deux jours exactement à la même heure !
Enfin une dernière remarque plus mathématique. Le tvi est si naturel que l'on pourrait imaginer qu'une fonction est continue ssi elle vérifie le tvi. Après tout, on dit aux élèves des petites classes qu'une fonction est continue si on peut la tracer sans lever le crayon. En réalité, cela est faux. La définition de la continuité par epsilon/delta est strictement plus forte que le tvi. On peut par exemple montrer (si je me souviens bien) que si f est dérivable, alors f' vérifie toujours le tvi. Pourtant f' n'est pas toujours continue. Cela donne une source de contre-exemple. On peut construire à la main des fonctions au comportement assez sauvage (continues nulle part sur un intervalle) et qui vérifient le tvi. C'est fait dans le fameux couterexample in analysis de Gelbaum and Olmsted.

Alexandre Moatti 19/07/2006 00:30

Oui merci Paulo, pour nos lecteurs j'explicite: un polynôme de degré pair par exemple f (x)= x² + 1 peut ne pas avoir de racine réelle. En revanche un polynôme de degré impair a forcément une racine réelle. C'est en effet une application du TVI, car si l'on prend un tel polynôme par exemple f(x) = x³ + 1, alors il vaut -∞ quand x = -∞, et il vaut +∞ quand x = +∞, donc il passe par la valeur 0, donc comme le dit Paulo, il existe c tel que f(c) =0.Comme le montre cet exemple, il est certain qu'on retrouve TVI et TR de nombreuses fois dans les mathématiques. Mais ce qui me parait intéressant est de trouver des applications en dehors des maths, soit dans la physique (mon exemple du pendule de Foucault), soit dans la "vie quotidienne" (ma métaphore sur l'impôt).Alexandre Moatti

Paulo 18/07/2006 10:53

Pour le TVI on a une très connue: "tout polynôme P à coefficients réels et de degré impair admet, au moins,  une racine réelle". Il existe alors un numéro réel c tel quel P(c)=0.

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J'ai aussi un thème de recherche, l'alterscience, faisant l'objet d'un cours que j'ai professé à l'EHESS en 2008-2009 et 2009-2010. Il était en partie fondé sur mon second livre, "Einstein, un siècle contre lui", Odile Jacob, octobre 2007, livre d'histoire des sciences (voir billet sur ce blog, et notamment ses savoureux commentaires).

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