Bonjour<br /> Dans votre énoncé du tvi , on n’a pas nécessairement x dans l’intervalle ouvert a b . car f est continue , elle n’est pas nécessairement bijective (strictement monotone par exemple)

c'est quoi ce baratin sudoku et tr merci pour mon prochaine théme de doctorat en analyse des sudokucomplexe hmmm voyons cher ami voyons...

Il m'est venu une autre idée sur le TR, liée à la folie des sudokus. Si la grille initiale du sudoku est composée de très peu de chiffres, par exemple 2, le sudoku est très facile et se remplit à la main; si elle est composée de très nombreux chiffres, là aussi le sudoku est très facile et on le complète rapidement. Il y a donc une nombre de chiffres optimal, ni trop ni trop peu, rendant le sudoku le plus difficile possible.Ce problème st sans doute plus compliqué qu'il n'y paraît, mais c'est en première approximation une application du TR...A. Moatti

Deux petites remarques stupides pour commencer : le théorème de Rolle n'est pas habituellement énoncé de la sorte. Il stipule que pour une fonction continue sur un intervalle fermé [a,b], dérivable sur ]a,b[ et telle que f(a)=f(b) alors il existe c dans ]a,b[ tel que f'(c)=0. C'est sous cette forme qu'il a ses applications les plus importantes (développement de Taylor). Ensuite, ces théorèmes ne sont pas vraiment méconnus... Ils font partie de tout cours d'analyse digne de ce nom de niveau bac+1. <br /> Une application amusante du TVI : supposons que vous gravissez une montagne en empruntant un chemin. Vous partez à 8h et arrivez à 15h. Vous passez la nuit sur place et redescendez le lendemain, en passant par le même chemin, partant à 8h et arrivant à 15h. Il y a alors nécessairement un point sur le chemin que vous aurez atteint les deux jours exactement à la même heure !<br /> Enfin une dernière remarque plus mathématique. Le tvi est si naturel que l'on pourrait imaginer qu'une fonction est continue ssi elle vérifie le tvi. Après tout, on dit aux élèves des petites classes qu'une fonction est continue si on peut la tracer sans lever le crayon. En réalité, cela est faux. La définition de la continuité par epsilon/delta est strictement plus forte que le tvi. On peut par exemple montrer (si je me souviens bien) que si f est dérivable, alors f' vérifie toujours le tvi. Pourtant f' n'est pas toujours continue. Cela donne une source de contre-exemple. On peut construire à la main des fonctions au comportement assez sauvage (continues nulle part sur un intervalle) et qui vérifient le tvi. C'est fait dans le fameux couterexample in analysis de Gelbaum and Olmsted.

Oui merci Paulo, pour nos lecteurs j'explicite: un polynôme de degré pair par exemple f (x)= x² + 1 peut ne pas avoir de racine réelle. En revanche un polynôme de degré impair a forcément une racine réelle. C'est en effet une application du TVI, car si l'on prend un tel polynôme par exemple f(x) = x³ + 1, alors il vaut -∞ quand x = -∞, et il vaut +∞ quand x = +∞, donc il passe par la valeur 0, donc comme le dit Paulo, il existe c tel que f(c) =0.Comme le montre cet exemple, il est certain qu'on retrouve TVI et TR de nombreuses fois dans les mathématiques. Mais ce qui me parait intéressant est de trouver des applications en dehors des maths, soit dans la physique (mon exemple du pendule de Foucault), soit dans la "vie quotidienne" (ma métaphore sur l'impôt).Alexandre Moatti

Pour le TVI on a une très connue: "tout polynôme P à coefficients réels et de degré impair admet, au moins,  une racine réelle". Il existe alors un numéro réel c tel quel P(c)=0.