Densité des nombres premiers: théorème de Tchébycheff (1850)

Samedi 29 juillet 2006 6 29 /07 /Juil /2006 10:45

Densité des nombres premiers: théorème de Tchébycheff (1850)

Le sympathique livre « 250 problèmes de théorie élémentaire des nombres » du mathématicien Wladimir Sierpinski (1882-1970) est paru en 1970 à Varsovie, traduit par P. Mehr en 1972 aux Editions Hachette (préface de Denis Gerll qui fut mon professeur et d'André Warusfel).

En annexe, hors ces 250 problèmes, il nous livre la magnifique démonstration du théorème de Tchébycheff. Il est émis par J. Bertrand comme hypothèse en 1845, et démontré par Tchébycheff (mathématicien russe, 1821-1894) en 1850. Son énoncé est simple :

Pour tout n entier ≥ 2, il existe au moins un nombre premier strictement compris entre n et 2n.

Si son énoncé est simple, sa démonstration est loin de l’être, avec 14 lemmes et 6 corollaires, faisant intervenir la décomposition de n! en facteurs premiers, la racine cubique de 4 puissance n,...

Citons quelques résultats intermédiaires, ou théorèmes déduits :

1.    Si n ≥ 6, entre n et 2n se trouvent au moins deux nombres premiers distincts.
2.    Si n ≥ 4, entre n et 2(n-1) se trouve au moins un nombre premier.
3.    Dans la décomposition de n! en facteurs premiers se trouve au moins un nombre premier dont l’exposant est 1.
4.    n! ne peut être la puissance d’un entier avec un facteur supérieur à 1.
5.    Si pk est le kème nombre premier, pk+1 < 2 pk et pk+2 < pk+1 + pk

On voit donc la richesse de ce théorème d’énoncé simple et intuitif, mais qui a sans doute donné du fil à retordre à des générations de mathématiciens !

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Par Alexandre Moatti - Publié dans : D'autres quasi-indispensables mathématiques
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Commentaires

Très intéressant ton article sur le théorème de Tchébycheff! J'ai cherché sur google et j'ai rencontré une application de ce théorème. Le lien est: http://www.proba.jussieu.fr/pageperso/nourdin/LeSiteDeLAgregatif/premier.pdf.

Merci pour ton blog!

Commentaire n°1 posté par Paulo le 29/07/2006 à 22h07

Oui, merci pour ce lien qui nous indique que n! ne peut jamais être un carré parfait, ce qu'on pourrait penser évident mais qui est loin de l'être, comme le théorème de Tchébycheff.

C'est d'ailleurs le point 4. ci-dessus, équivalent au théorème. On le déduit du point 3.:en effet il existe dans la décomposition de n! au moins un nombre premier d'exposant 1, donc n! n'est jamais un carré parfait, ni la puissance supérieure d'un nombre entier.

Commentaire n°2 posté par Alexandre Moatti le 31/07/2006 à 08h39

1,2,3,4,5

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