Euler a inventé le ballon de football!

Mardi 24 juillet 2007 2 24 /07 /Juil /2007 23:29

Euler a inventé le ballon de football!

C’est le tricentenaire de la naissance du mathématicien suisse Euler (1707-1783) ; on connaît la célèbre relation d’Euler sur les polyèdres s + f - a = 2, où s est le nombre de sommets, a le nombre d’arêtes, f le nombre de faces.

Nous allons, avec cette relation, essayer de construire le ballon de football, en partant du principe qu’il est composé d’hexagones (au nombre de x) et de pentagones (au nombre de y), et en sachant que ce sont des bouts de cuir plats qu’on veut coudre pour en faire ce qui se rapproche le plus d’une sphère.

Il y a d’abord un peu de théorie derrière, liée à la nature des polyèdres réguliers : on sait qu’il n’existe qu’un nombre fini de tels polyèdres, du tétraèdre à l’icosaèdre, le plus grand, composé de 20 faces triangulaires. Il est important de comprendre qu’on ne peut pas construire de polyèdres réguliers avec des hexagones, ou tout polygone au-delà de l’hexa (heptagone, etc.) ; car, comme on le voit dans la figure ci-dessous, trois hexagones jointifs en leurs sommets pavent le plan, c’est à dire forment l’angle de 360°. Pour qu’on puisse le " refermer " en un solide de type polyèdre (on appelle cela aussi toîter la figure, en faire un toit), il faut que la somme des angles à chaque sommet soit strictement inférieure à 360°.

On ne peut donc pas prendre des polyèdres au-delà de l’hexagone pour construire le ballon ; on ne peut pas non plus prendre que des hexagones, car c’est le cas limite (chaque sommet donne 360°), qui ne marche pas. On se place donc juste en-dessous du cas limite, avec x pentagones et y hexagones.

Allons-y. On peut écrire les identités suivantes : f = x + y , a = ½ (5x + 6y), s = 1/3 (5x + 6y) (c’est assez facile, avec x hexagones et y pentagones, on a au total 5x + 6y côtés, et chaque côté est partagé entre deux faces du ballon ; même raisonnement pour les sommets). La relation d’Euler donne donc, en appliquant s – a + f = 2, le résultat x = 12 : y disparaît dans la résolution, mais on est sûr qu’il y a douze pentagones.

A partir de là, il y a plusieurs façons de raisonner :

Méthode 1 : Comme on sait que trois hexagones ne sont jamais jointifs (sinon on n’arriverait pas à replier, cf. théorie ci-dessus), à chaque sommet il y a au moins un pentagone, donc chaque sommet appartient à au moins un pentagone ; comme il y a 12 pentagones, il y a au plus 60 sommets dans le ballon. Pour que le ballon soit le plus rond possible, il faut qu’il y ait le maximum de sommets, donc s = 60 ; or s = 1/3 (5x + 6y), donc y = 20.

Méthode 2 : Comme on ne peut fermer le solide avec trois hexagones en un point, en chaque point il y a soit : a/ deux hexagones et un pentagone (120 + 120 + 108 qu’on peut refermer) ; b/ un hexagone et deux pentagones (120 + 108 + 108) ; c/ trois pentagones (108 + 108 + 108). Le cas optimal dans le sous-optimal (le plus proche d’une sphère) est celui où on est le plus proche de 360, donc c’est le cas a/. Dans ce cas, chaque sommet appartient à un et un seul pentagone, il y a donc bien 60 sommets exactement, donc on déduit comme ci-dessus y = 20.

A signaler que le cas c/ ci-dessus (que des pentagones, disparition des hexagones) conduit au solide à 12 pentagones, c’est le dodécaèdre à 12 faces et 20 sommets : voir ci-contre, cela ressemble à un ballon de foot mais n’en est pas un. Je ne sais pas à quel solide correspond le cas b/, s’il correspond à quelque chose.

Le cas a/ est le ballon de foot (douze pentagones et vingt hexagones), et on peut remarquer que c’est " l’icosaèdre tronqué ", c’est à dire le plus grand solide auquel on a rogné les pointes (on tronque chaque triangle au tiers de la pointe) pour le rapprocher d’une sphère, chacune des douze pointes devenant un pentagone, et chacune des vingt faces triangulaires devenant un hexagone :

Cà y est, vous n'avez plus qu'à coudre le patron composé de 12 pentagones et 20 hexagones: a = 90 donc 90 coutures:

(image S. Mehl)

Pour aller un peu plus loin. (PDF)

Pour aller beaucoup plus loin (la théorie complète) (PDF)
(ajout février 2010) voir aussi le billet simplifié que j'ai fait dans le site Futura-Sciences

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Par Alexandre Moatti - Publié dans : D'autres quasi-indispensables mathématiques - Communauté : Les amis des maths
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Commentaires

Bonjour, À propos du ballon de foot (24 juillet 2007), je ne comprend pas le raisonnement "facile" par lequel, si x représente les hexagones et y les pentagones, a=1/2(5x+6y); comment y = à la fois 12 et 20; ni comment l'équation du 1er degré 60=1/3(5x+6y) avec y=12 donne un nombre entier?!?? Je suppose que vous avez permuté x et y dans l'énoncé de la question — qu'il y a donc en fait x pentagones et y hexagones — mais j'espère me tromper, car alors c'est à désespérer de faire trouver belles et amusantes des maths qui vous font passer à vos propres yeux pour un idiot tout en vous bouffant votre temps. De plus, si vous ne donnez pas TOUS les détails des calculs, cela implique que vous vous adressez à des lecteurs déjà familiers de la chose (en clair, que vous prêchez des convaincus) alors que votre blog s'adresse en principe à des lecteurs désireux d'apprendre, c'est-à-dire qui ne connaissent pas déjà. Alexandre

Commentaire n°1 posté par Alexandre le 14/09/2007 à 09h16

Merci de toutes ces critiques, je les prends comme constructives. Comme vous m'en faites la remarque, j'ai en effet interverti x et y à un endroit (eh oui, hélas! c'est rectifié, merci !!!), mais le texte restait correct. Quant à vous, ne désespérez pas !!! A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 14/09/2007 à 15h16

Voici l'illustration en 3D (réalisé sous ATIA V4 et importé dans CATIA V5), l'equivalent chimique du ballon de football, le C60...

http://www.3dvia.com/hkabla/media/2EFF122436081A2C

Commentaire n°2 posté par Herve Kabla le 24/09/2007 à 11h13

dans le document associé "pour aller beaucoup plus loin" je lis : Les hexagones formés de cinq côtés
égaux et de cinq angles égaux.

heu....

Commentaire n°3 posté par damiano le 28/08/2011 à 12h32

Oui, en effet, la fourche de l'auteur a là langué - ne lui jetons pas la pierre, le document est d'une bonne tenue. Merci de votre ultra-vigilance. A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 28/08/2011 à 12h59

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