On connaît le cône classique de révolution (le sablier), et ses coupes par tous types de plans qui donnent les coniques (ellipses, paraboles, hyperboles), dont la coupa pr un plan perpendiculaire à l’axe du cône qui donne un cercle. Ce sont les seuls cercles du cône de révolution.

On a vu que dans le tore on trouvait une famille étonnante de cercles hors les méridiens et parallèles, les cercles de Villarceau.

Prenons maintenant un cône qui n’est pas un cône de révolution – un cône comme ci-dessous. On pourrait dire qu’il est construit à partir d’un triangle rectangle : on fait monter un cercle le long des deux droites ci-dessous qui forment un triangle rectangle (l'image est volontairement quelconque pour vous permettre d'exercer votre imagination).

Cette figure comprend bien évidemment une famille de cercles, celui qu’on voit là et ceux qui lui sont parallèles (le cercle montant vers le sommet). La question est : existe-t-il une autre famille de cercles (à l’inverse du cône de révolution) ? et si oui laquelle ? A vos commentaires !

(question en hommage à Adrien Douady qui posait ce sujet à sa petite-fille, comme me l’a récemment raconté son fils Raphaël)