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CouvPocheIndispensables
J'ai créé ce blog lors de la sortie de mon livre "Les Indispensables mathématiques et physiques pour tous", Odile Jacob, avril 2006 ; livre republié en poche en octobre 2011 (achat en ligne) (sommaire du livre).
Je développe dans ce blog des notions de mathématiques et de physique à destination du plus large public possible, en essayant de susciter questions et discussion: n'hésitez pas à laisser vos commentaires!

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Indispensables astronomiques

Nouveauté octobre 2013, mon livre "Les Indispensables astronomiques et astrophysiques pour tous" est sorti en poche, 9,5€ (éditions Odile Jacob, éidtion originale 2009). Comme mon premier livre (Les Indispensables mathématiques et physiques), c'est un livre de notions de base illustrées avec des exemples concrets, s'appuyant sur les mathématiques (géométrie notamment) pour l'astronomie, et sur la physique pour l'astrophysique. Je recommande vivement sa lecture.

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7 avril 2012 6 07 /04 /avril /2012 07:31

Ce n'est pas l'explorateur Jacques Cartier, ni même le mathématicien Pierre (né en 1932) l'auteur de cette formule. C'est celle de la Fondation Cartier (nommée d'après le joaillier Louis Cartier 1875-1942) et de son exposition de mathématiques, déjà évoquée dans ce blog. Je vous donne cette formule :

Formule-de-Cartier-copie-1.JPG

 

Oui, vous avez déjà trouvé de tête, bravo !, , çà donne 6 ! + 36² - 5 = 720 + 1296 - 5 = 2011. C'était une des "attractions" de l'exposition : trouver 2011 en utilisant des opérateurs mathématiques sur des chiffres qui se suivent, à partir de 1 (la formule fait intervenir dans l'ordre 1, 2, 3, etc.), et ce bien évidemment en le moins de chiffres possible.

 

Ceci se faisait non sur un tableau noir avec une craie (les maths à l'ancienne) mais sur un tableau électronique : celui-ci vous disait quand vous trichiez (mettre deux chiffres non successifs) - il enregistrait aussi les "meilleures formules" (comme au flipper les meilleurs scores).

 

Je défie quiconque, debout, sans calculette, avec des gens regardant derrière, de trouver in situ dans des délais raisonnables cette magnifique formule. D'ailleurs les "meilleures formules" enregistrées étaient toujours des variations autour de celle-ci, avec des parenthèses et des crochets en plus... ce que ne détectait pas cette idiote de machine. J'avais moi-même péniblement trouvé, avec mon fils, une formule montant jusqu'à 12, que je ne me rappelle plus et qui n'a pas d'intérêt, vu celle-là !

 

Mais une fois qu'on voit la formule, on peut la commenter. Ce que nous allons faire.

 

D'abord (là c'est le mauvais joueur qui parle), le jeu ne disait pas qu'on pouvait utiliser les "doubles factorielles". Les indications mentionnaient toutefois l'opérateur factorielle.Du coup, je pense qu'on peut utiliser les doubles exponetiations (ce qui peut être utile pour les très grands nombres).

 

Ensuite, je me demandai pourquoi ce n'était pas 2012 qu'il fallait trouver (ceci dit l'exposition avait commencé en 2011). Eh bien parce que c'est nettement moins élégant (au sens... mathématique) pour 2012. Sauf si un lecteur du blog trouve une formule meilleure, la sule que je vois est de poursuivre la formule ci-dessus en retranchant 6 et en ajoûtant 7... Ce qui montre au passage qu'on peut virtuellement construire tout nombre ainsi, avec cette formule (assez élégante dans sa graphie, mais pas dans sa longueur - écrivez-la pour 2011 ou 2012 si vous y tenez) :

 

1 - 2 + 3 - 4 + 5 -  ...

 

Mais c'est le premier terme de la formule ci-avant qui attire l'attention, (1+2)!!. Je pense que c'est le plus grand nombre (720) qu'on peut atteindre avec 1 & 2. Car le seul moyen d'utiliser rentablement 1, c'est par l'addition : en multiplication, puissance, factorielle, il ne "vaut" rien.

 

Si l'on y met 3, on obtient (1+2+3)!! soit 720 ! (factorielle de 720), nombre qui dépasse déjà l'entendement ; ou si l'on écrit sans la double factorielle (1+2+3)!, on obtient le même résultat que pour (1+2)!! mais en ayant "gâché" le chiffre 3. Le (1+2)!3 est toutefois à retenir, donnant 216, et nous mettant au départ dans des gammes de nombres plus petits - mais qu'on peut rattraper par la suite avec des 45, etc. Ce n'est pas parce qu'on démarre par un plus petit nombre qu'on ne peut pas passer la vitesse supérieure après...

 

Bref, ce jeu est assez amusant, même a posteriori.

 


PS : Le jeu que je vous propose, en commentaires, est plus simple : vous contruisez vous-même une formule de Cartier que vous jugez "esthétique" (en utilisant des nombres successifs - NB: pour la graphie d'exponentiation, on peut utiliser ^), et vous la faites deviner en commentaires ! Attention pas sérieux s'abstenir : vous nous faites réfléchir sur un vrai résultat (pas du bidon) - pour preuve vous donnez la réponse deux jours après...

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commentaires

Quentin 10/04/2012 23:04


Pour 2012, on a par exemple ((1^2)+(((3)!^4)-(5-(6)!))). Le C++ bloque aussi sur 5...

Quentin 10/04/2012 22:59


Avant Python, il y avait le C++:
http://qbonnard.github.com/2011/10/25/The_answer_is_2011_the_question_can_be_brute_force.html 


Pour la petite histoire, c'est de là que vient la formule de la fondation Cartier ;)

Dr. Goulu 10/04/2012 15:26


Bon, alors je m'y suis mis, mais en trichant, comme je l'avais fait pour ce problème très similaire : http://drgoulu.com/2012/01/18/jeu-de-lannee-2012-et-autres-cest-fini/ 


Voici pour commencer tous les entiers positifs inférieurs à 10000 que j'arrive à faire avec 1,2,3 dans l'ordre et les opérations +,-,*,/,^,! et !! : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13,
14, 15, 16, 18, 23, 24, 25, 27, 36, 42, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 54, 63, 64, 65, 95, 96, 97, 119, 120, 121, 144, 216, 240, 288, 360, 383, 384, 385, 672, 714, 717, 718, 719, 720, 721, 722, 723,
726, 729, 768, 1439, 1440, 1441, 2160, 2304, 4320] notez l'absence du 10 ...


en ajoutant le 4, on arrive à faire 693 entiers sur 10'000. Le premier entier irréalisable (?) est le 76, et la prochaine année réalisable est


2016 =  ((1+2)!)!+(3!)^4


Note : J'ai utilisé WolframAlpha pour vérifier mes formules et éliminer des parenthèses surnuméraires générées par mon soft. Exemple : http://www.wolframalpha.com/input/?i=+%28%281%2B2%29%21%29%21%2B%283%21%29%5E4


En ajoutant le 5, Python frise l'apoplexie combinatoire, mais j'arrive à produire presque tous les entiers de 1 à 10000. Le premier manquant est 538. Mais 2012 manque aussi à l'appel. Mais je
vous offre les 4 prochaines années :


2013 = -1-(2-3!*(4!!)!/5!) 


2014 = -1*(2-3!*(4!!)!/5!)


2015 = -1+2*(3+4)!/5


2016 = 1*(2^3)!/(4*5) 


Si je torpille votre enthousiasme, sachez que mon programme trouve 2 autres solutions assez différentes pour 2015 et 2016, que je laisse à votre sagacité :-)

Alexandre Moatti 10/04/2012 15:35



Superbe ! Merci. Je vais regarder cela à tête reposée. A.M.



Ethaniel 07/04/2012 17:07


La formule devrait en réalité commencer par ((1+2)!)! : en effet, la « double factorielle » notée par deux points d’exclamation accolés existe bien mais n’est pas l’application itérée de
l’opération factorielle !


Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Analogues_de_la_factorielle (multifactorielles) pour plus de détails .

Alexandre Moatti 07/04/2012 23:15



Je connais cette notation n!! mais elle me paraît purement conventionnelle ppur le produit n*(n-2)... Je k'ai déjà vue utilisée pour la primorielle (produit des
nombres premiers infériers à n. pour éviter la confusion, il faudrait en effet écrire ((1+2)!)!  Merci. A.M.



Olivier 07/04/2012 12:28


Euh, j'ai probablement raté un morceau, mais pour moi la formule donnée fait 796, pas 2011. C'est à cause du 3^4 qui devient 36^2 dans la suite... Ai-je loupé quelque chose ?

Alexandre Moatti 07/04/2012 12:30



Exact - à force de remuer la formule jour et nuit dans ma tête j'avais oublié un signe, mais quel signe ! - j'ai rectifié, mis un point d'exclamation après le
3... Merci. A.M.



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