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CouvPocheIndispensables
J'ai créé ce blog lors de la sortie de mon livre "Les Indispensables mathématiques et physiques pour tous", Odile Jacob, avril 2006 ; livre republié en poche en octobre 2011 (achat en ligne) (sommaire du livre).
Je développe dans ce blog des notions de mathématiques et de physique à destination du plus large public possible, en essayant de susciter questions et discussion: n'hésitez pas à laisser vos commentaires!

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Indispensables astronomiques

Nouveauté octobre 2013, mon livre "Les Indispensables astronomiques et astrophysiques pour tous" est sorti en poche, 9,5€ (éditions Odile Jacob, éidtion originale 2009). Comme mon premier livre (Les Indispensables mathématiques et physiques), c'est un livre de notions de base illustrées avec des exemples concrets, s'appuyant sur les mathématiques (géométrie notamment) pour l'astronomie, et sur la physique pour l'astrophysique. Je recommande vivement sa lecture.

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6 décembre 2010 1 06 /12 /décembre /2010 16:37

Dans Le Monde du dernier week-end de novembre, il y avait toute une page de réactions de lecteurs à l’article datant de la semaine précédente, où Xavier Darcos estimait ne pas savoir « du tout » faire une règle de trois (résumé). Georges Marcellier indique que c’est une coquetterie de littéraire de se dire nul en mathématiques – j’avais aussi remarqué cela et le pointe souvent dans mes interventions (voir aussi l’éditorial du président de la Société mathématique de France, PDF).

 

Mais il y a une petite pépite dans ce courrier des lecteurs, c’est la lettre de Pierre Pelloso de Paris, un jeu mathématico-littéraire, justement : J'ai trois fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez. Quand vous aurez l'âge que j'ai, ensemble nous aurons 98 ans. Ce problème (connu) était paraît-il posé en 1928 au certificat d’études primaires – et l’on demandait une résolution arithmétique et non algébrique.

  Certificat_d-etudes_primaires_V3.jpg

Un certificat d'études primaires de 1921, Académie d'Aix (WikiCommons, André Payan-Passeron)

 

Pierre Pelloso indique que seuls 1% des personnes donnent une solution arithmétique, et 80% une solution algébrique (le reste ne sait pas résoudre, c’est le vivier des futurs ministres de l’Éducation nationale). Je défie mes lecteurs pour trouver une solution arithmétique. Je n’aime pas poser des questions dont je n’ai pas la réponse (très immodestement : tel Leibniz et son défi de la chaînette), aussi je propose une solution en premier commentaire ; mais elle est fort alambiquée, et encore je la donne en ayant en tête la solution trouvée par la méthode algébrique.

 

Je m’avance peut-être, mais en 1928 il y a fort peu de chances qu’on apprît au primaire à faire de l’algèbre et à poser des inconnues. Rappelez-vous, pour ceux qui ont connu çà, les problèmes de robinet et surtout de trains (qui introduisent un décalage temporel, comme ici) : il ne venait à personne l’idée de les résoudre algébriquement !

 

Alors à vos  (porte-)plumes ! Vous pouvez essayer de simplifier ma solution, mais je suggère plutôt que vous cherchiez par vous-même sans regarder mon premier commentaire.

___________________________________________________________________

Ajout d'août 2016 : Un prolongement intéressant de ce genre de sujets se trouve dans un article BibNum que j'ai édité depuis, grâce aux auteurs J. Gavin & A. Schärlig, à propos des méthodes dites de "fausse position" (ici, nombreux exemples dans l'onglet 'Analyse' ou dans le PDF 'Analyse' à télécharger).

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commentaires

daviet bruno 30/08/2011 08:49



Je vous propose la redaction suivante.


J'ai trois fois l'âge que vous aviez quand j'avais votre âge, c'est à dire "hier" pour simplifier le langage.


Notre différence d'âge reste la même aujourd'hui qu'hier. C'est la différence entre mon âge et le vôtre aujourd'hui et entre mon âge hier et le vôtre hier aussi. Votre âge est donc la moyenne
entre le mien aujourd'hui et le vôtre hier.


Vous avez donc aujourd'hui deux fois (moyenne entre 3 et 1) l'âge que vous aviez hier. Notre différence d'âge est égale, en nombre d'années à l'âge que vous aviez hier.


Quand vous aurez mon âge, vous aurez 3 fois l'âge que vous aviez hier et moi 4 fois, au total 7 fois l'âge que vous aviez hier. Le total étant 98 ans, vous aviez hier 14 ans et nous avons
aujourd'hui respectivement 28 et 42 ans. Nous aurons demain 42 et 56 ans dont le total fait bien 98 ans.



Marc Olive 20/02/2011 19:21



Bonjour,


Je ne fais ici que proposer un travail, initié depuis peu, qui consiste justement à rendre accessible toute une série de problème et question "de l'ancien temps". Ce travail se trouve sous la
rubrique "Algèbre" du site http://lapeiron.free.fr


Cordialement, un professeur de mathématiques qui tente de faire agir ses élèves...



Alexandre Moatti 27/02/2011 00:08



Merci de nous faire connaître votre site, en effet intéressant. A.M.



Pierre Pelloso 14/01/2011 23:45



je remercie monsieur J.C. Bertails (N°14) qui a su traduire avec des mots précis la solution que je donnais ci-dessus, devenue incompréhensible du fait que mon tableau résumant l'énoncé n'a pas
été bien formatés in fine.



Jean-Claude Bertails 10/01/2011 19:36



J'avais aussi repéré cette "pépite" dans le courrier des lecteurs du Monde car elle m'a rappelé combien mon père, titulaire du seul certificat d'études primaires (vers 1921) nous impressionnait
par sa facilité à résoudre par l'arithmétique des problèmes nous paraissant à ma soeur et moi bien compliqués. Je suis sûr qu'il aurait trouvé la solution de celui-ci mais il n'est plus là pour
me le confirmer.


Selon moi il faut procéder comme suit :
1) Repérer les invariants : ici c'est bien sûr la différence d'âge.
2) On déduit de la première partie de l'énoncé que je suis âgé de trois fois notre différence d'âge et vous de deux fois.
3) On déduit de la deuxième partie de l'énoncé que quand mon âge aura augmenté de notre différence d'âge, vous aurez trois fois cette différence d'âge et moi quatre fois et que le total (98 ans)
représente donc sept fois notre différence d'âge.
À partir de là le problème est résolu.


N.B.1 : Ma démonstration ne comportant ni symbôle ni chiffre arabe devrait être accessible à un "littéraire".
N.B.2 : Un raisonnement mental rapide comme celui-ci est bien sûr facilité par la simplicité des nombres mis en jeu. Il n'empèche que ce type d'exercice de type "calcul mental" est aujourd'hui
hélas démodé au profit de recettes de cuisine moins fatigantes pour les méninges comme le confirme Mr Pelloso que je remercie de son stimulant courrier.



Edouard Laguillère 11/08/2015 10:41

Excellente démonstration, claire, simple et conduisant immédiatement au résultat.
Problème qui m'avait été posé au lycée en seconde par un copain dont le père était instituteur.
Il avait eu à résoudre quelques problèmes de ce type dans son cursus.
Et je l'avais résolu de tête, avec votre raisonnement.
Dommage que ce raisonnement ne soit pas plus connu.
Merci à vous pour cette démonstration.

ProfSciencesEnColere 22/12/2010 16:52



D'ailleurs, détermination graphique (géométrique?) d'un problème avec une belle élégance dans la symétrie des moitiés:


J'ai 5 fois l'âge que vous aviez quand j'avais la moitié de l'âge que vous avez.


Quand vous aviez la moitié de l'âge que j'ai, nous avions ensemble 84 ans.



ProfSciencesEnColere 22/12/2010 15:54



A cette époque, il n'était effectivement sans doute pas demandé de résolution algébrique.


Cela ne signifie pas qu'on demandait pour autant une résolution arithmétique.


Cette époque voyait une extraordinaire richesse dans les résolutions géométriques et c'est une telle solution qu'on m'avait racontée.


Tracer une droite (HA). (HA) est la droite du temps qui coule de gauche (Hier) à droite (Aujourd'hui).


Tracer vers le haut une demi-droite [Hh) et une demi-droite [Aa), toutes les deux perpendiculaires à (HA). [Hh) est la droite des âges d'hier; [Aa) est la droite des âges aujourd'hui.


Placer sur la demi-droite [Hh) un point Vh (Votre âge hier) à une distance quelconque de (HA). Placer alors ensuite un point Ma (Mon âge aujourd'hui) sur la demi-droite [Aa) à trois fois
(graphiquement, en reportant) la distance quelconque précédente de la droite (HA).


La condition "quand j'avais l'âge que vous avez" consiste à déplacer une droite parallèle à (HA), sécante à [Hh) au point Mh (Mon âge hier) et sécante à [Aa) au point Va (Votre âge aujourd'hui)
de manière à ce que les droites (Mh,Ma) et (Vh,Va) soient parallèles, puisqu'on prend toutes et tous un an par année écoulée... On découvre que Mh est à 2 distances quelconques de la droite (HA).
La démonstration n'était pas demandée, c'était un constat: l'élève avait soudainement l'intuition que c'était là que la condition de parallélisme était respectée.


La droite parallèle passant par Ma et parallèle à (HA) et la droite (Vh,Va) sont sécantes en un point Vd (Votre âge demain) qui respecte la condition que "vous aurez l'âge que j'ai".


On mène la demi-droite [Dd) des âges de demain qui est sécante à (HA) en D et qui est perpendiculaire à (HA) et qui passe par Vd.


La droite (Mh,Ma) est sécante en Md (Mon âge demain) à la demi-droite [Dd).


Md est à 4 distances quelconques de (HA) et Vd est à 3 distances quelconques de (HA), ce qui signifie que 7 distances quelconques sont égales à 94: une distance quelconque est égale à 94/7=14.


La lecture graphique de tous les âges est immédiate.


La possibilité de toutes les modifications du problème est elle aussi à peu près immédiate et on retombe sur un peu d'arithmétique liée aux règles de divisibilité pour inventer correctement le
pendant du nombre 94.



Alexandre Moatti 30/12/2010 16:58



Merci (erratum : à la fin, lire 98 et non 94). Très belle solution, disons
géométrique... Mais vraiment pouvait-on avoir une telle intuition au certificat d'études en 1928 ? A.M.



macoumba 21/12/2010 15:30



ceci est un parfait exemple qu'il ny a pas dichotomie litteraires-matheux.Ma solution au fil de l'analyse litterale du texte:


J'ai trois fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez.
Quand vous aurez l'âge que j'ai, ensemble nous aurons 98 ans.


Point de départ: mon_
age-difference=ton_age


J'ai trois fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez:
(ton_age-difference)*3=mon_age  ou (mon_age-2*difference)*3=mon_age ou 2*mon_age=6*difference (1) (on a remplacé ton age par mon
age-difference)


Quand vous aurez l'âge que j'ai, ensemble nous
aurons 98 ans:


(mon_age) + (mon_age+difference)=98  (à cet instant,
ton_age=mon_age et mon age =mon_age+difference)  ce qui donne 2*mon age=98-difference
(2)


Nous
avons donc


(1)
2*mon_age=6*difference et


(2)2*mon_age=98-difference  ce qui equivaut à


6*difference=98-difference, difference =98/7=14


de (2), on
tire  2*mon_age=98-14 ,mon_age=84/2


donc  mon age =42 et ton_age=42-14=28



Vincent Dunias 16/12/2010 02:10



|---|---|---|---|---|---|---|---> temps


0   A   B   C   D          98=t(0->C)+t(0->D)


A : Age que vous aviez quand j'avais votre âge


B : Votre âge


C : Mon âge


D : L'age que j'aurais quand vous aurez mon âge


t(A->B)=t(B->C)=t(C->D) car on vieillit au même rythme


=t(0->A) car J'ai trois fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez.


et donc t(0->C) = Mon âge = (3/7) de 98 = 42 ans



annie peterson 13/12/2010 16:47



Re: "J'ai 3 fois l'age que vous aviez..."


Algebre ou pas? 


1) La traduction du probleme en langage mathematique ressemble a de l'algebre, parce qu'on doit ecrire des egalites: y = 3 (x-d), y = x+d, x+d + y+d = 98.  La question est de trouver d (la
difference d'age), x (l'age du plus jeune), y (l'age du plus vieux). 


La solution, toutefois, n'a pas besoin d'etre "par l'algebre". 


2) Par exemple, on pourrait dessiner les droites y = 3 (x-d) et y = x+d pour voir geometriquement les relations entre x, y et d.


3) Une approche "naive" serait de voir ce qui ce passe pour des petites quantites, comme 1, 2, 3, etc.  Si on fait ca ici, on peut commencer avec y = 3 (pour: 3 fois 1), alors x-d = 1,
alors x = 2d = 2 (pour 2 fois 1).  Bien sur, ca ne va pas marcher avec 98; on voit que x+d + y+d = 7 (pour: 7 fois 1).  Mais en fait, ici le "1" peut designer un "bloc de temps" de
n'importe quelle grandeur, on peut changer d'unite, donc on peut remplacer ce 1 par une inconnue t, pour laquelle on a l'egalite 7t = 98, alors t = 98/7 et le reste s'ensuit.


4) Comment justifier a priori le fait que l'inconnue la plus importante ici c'est d (la difference d'age)?  Raisonner comme un statisticien: d est la seule constante (parametre) dans ce
probleme...


 



Alexandre Moatti 14/12/2010 11:04



L'idée géométrique 2) est intéressante, je n'y avais pas pensé.


J'aime bien aussi votre approche 3), pratique, elle devrait pouvoir permettre de s'apercevoir assez rapidement que les deux âges sont dans le présent dans un
rapport 3/2 (la seconde partie du problème, avec 98, a moins d'intérêt : on pourrait dire "ensemble nous avons 70 ans" que cela ne changerait rien au sujet).


Votre point 4) est fort intéressant : en effet d (la différence d'âge) est la valeur à considérer - et se dire que c'est la seule constante
aide.


A.M.



Pierre Pelloso 13/12/2010 12:22



ah mon adresse de mèl n'apparaît pas, la voici:


 


pelloso@univ-paris12.fr



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J'ai aussi un thème de recherche, l'alterscience, faisant l'objet d'un cours que j'ai professé à l'EHESS en 2008-2009 et 2009-2010. Il était en partie fondé sur mon second livre, "Einstein, un siècle contre lui", Odile Jacob, octobre 2007, livre d'histoire des sciences (voir billet sur ce blog, et notamment ses savoureux commentaires).

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