Ce problème a aussi une solution graphique pour ceux (j'en suis) qui ont besoin d'un dessin pour comprendre.

<br /> <br /> Je vous propose la redaction suivante.<br /> <br /> <br /> J'ai trois fois l'âge que vous aviez quand j'avais votre âge, c'est à dire "hier" pour simplifier le langage.<br /> <br /> <br /> Notre différence d'âge reste la même aujourd'hui qu'hier. C'est la différence entre mon âge et le vôtre aujourd'hui et entre mon âge hier et le vôtre hier aussi. Votre âge est donc la moyenne<br /> entre le mien aujourd'hui et le vôtre hier.<br /> <br /> <br /> Vous avez donc aujourd'hui deux fois (moyenne entre 3 et 1) l'âge que vous aviez hier. Notre différence d'âge est égale, en nombre d'années à l'âge que vous aviez hier.<br /> <br /> <br /> Quand vous aurez mon âge, vous aurez 3 fois l'âge que vous aviez hier et moi 4 fois, au total 7 fois l'âge que vous aviez hier. Le total étant 98 ans, vous aviez hier 14 ans et nous avons<br /> aujourd'hui respectivement 28 et 42 ans. Nous aurons demain 42 et 56 ans dont le total fait bien 98 ans.<br /> <br /> <br /> <br />

<br /> <br /> Bonjour,<br /> <br /> <br /> Je ne fais ici que proposer un travail, initié depuis peu, qui consiste justement à rendre accessible toute une série de problème et question "de l'ancien temps". Ce travail se trouve sous la<br /> rubrique "Algèbre" du site http://lapeiron.free.fr<br /> <br /> <br /> Cordialement, un professeur de mathématiques qui tente de faire agir ses élèves...<br /> <br /> <br /> <br />

<br /> <br /> je remercie monsieur J.C. Bertails (N°14) qui a su traduire avec des mots précis la solution que je donnais ci-dessus, devenue incompréhensible du fait que mon tableau résumant l'énoncé n'a pas<br /> été bien formatés in fine.<br /> <br /> <br /> <br />

<br /> <br /> J'avais aussi repéré cette "pépite" dans le courrier des lecteurs du Monde car elle m'a rappelé combien mon père, titulaire du seul certificat d'études primaires (vers 1921) nous impressionnait<br /> par sa facilité à résoudre par l'arithmétique des problèmes nous paraissant à ma soeur et moi bien compliqués. Je suis sûr qu'il aurait trouvé la solution de celui-ci mais il n'est plus là pour<br /> me le confirmer.<br /> <br /> <br /> Selon moi il faut procéder comme suit :<br /> 1) Repérer les invariants : ici c'est bien sûr la différence d'âge.<br /> 2) On déduit de la première partie de l'énoncé que je suis âgé de trois fois notre différence d'âge et vous de deux fois.<br /> 3) On déduit de la deuxième partie de l'énoncé que quand mon âge aura augmenté de notre différence d'âge, vous aurez trois fois cette différence d'âge et moi quatre fois et que le total (98 ans)<br /> représente donc sept fois notre différence d'âge.<br /> À partir de là le problème est résolu.<br /> <br /> <br /> N.B.1 : Ma démonstration ne comportant ni symbôle ni chiffre arabe devrait être accessible à un "littéraire".<br /> N.B.2 : Un raisonnement mental rapide comme celui-ci est bien sûr facilité par la simplicité des nombres mis en jeu. Il n'empèche que ce type d'exercice de type "calcul mental" est aujourd'hui<br /> hélas démodé au profit de recettes de cuisine moins fatigantes pour les méninges comme le confirme Mr Pelloso que je remercie de son stimulant courrier.<br /> <br /> <br /> <br />

<br /> <br /> D'ailleurs, détermination graphique (géométrique?) d'un problème avec une belle élégance dans la symétrie des moitiés:<br /> <br /> <br /> J'ai 5 fois l'âge que vous aviez quand j'avais la moitié de l'âge que vous avez.<br /> <br /> <br /> Quand vous aviez la moitié de l'âge que j'ai, nous avions ensemble 84 ans.<br /> <br /> <br /> <br />

<br /> <br /> A cette époque, il n'était effectivement sans doute pas demandé de résolution algébrique.<br /> <br /> <br /> Cela ne signifie pas qu'on demandait pour autant une résolution arithmétique.<br /> <br /> <br /> Cette époque voyait une extraordinaire richesse dans les résolutions géométriques et c'est une telle solution qu'on m'avait racontée.<br /> <br /> <br /> Tracer une droite (HA). (HA) est la droite du temps qui coule de gauche (Hier) à droite (Aujourd'hui).<br /> <br /> <br /> Tracer vers le haut une demi-droite [Hh) et une demi-droite [Aa), toutes les deux perpendiculaires à (HA). [Hh) est la droite des âges d'hier; [Aa) est la droite des âges aujourd'hui.<br /> <br /> <br /> Placer sur la demi-droite [Hh) un point Vh (Votre âge hier) à une distance quelconque de (HA). Placer alors ensuite un point Ma (Mon âge aujourd'hui) sur la demi-droite [Aa) à trois fois<br /> (graphiquement, en reportant) la distance quelconque précédente de la droite (HA).<br /> <br /> <br /> La condition "quand j'avais l'âge que vous avez" consiste à déplacer une droite parallèle à (HA), sécante à [Hh) au point Mh (Mon âge hier) et sécante à [Aa) au point Va (Votre âge aujourd'hui)<br /> de manière à ce que les droites (Mh,Ma) et (Vh,Va) soient parallèles, puisqu'on prend toutes et tous un an par année écoulée... On découvre que Mh est à 2 distances quelconques de la droite (HA).<br /> La démonstration n'était pas demandée, c'était un constat: l'élève avait soudainement l'intuition que c'était là que la condition de parallélisme était respectée.<br /> <br /> <br /> La droite parallèle passant par Ma et parallèle à (HA) et la droite (Vh,Va) sont sécantes en un point Vd (Votre âge demain) qui respecte la condition que "vous aurez l'âge que j'ai".<br /> <br /> <br /> On mène la demi-droite [Dd) des âges de demain qui est sécante à (HA) en D et qui est perpendiculaire à (HA) et qui passe par Vd.<br /> <br /> <br /> La droite (Mh,Ma) est sécante en Md (Mon âge demain) à la demi-droite [Dd).<br /> <br /> <br /> Md est à 4 distances quelconques de (HA) et Vd est à 3 distances quelconques de (HA), ce qui signifie que 7 distances quelconques sont égales à 94: une distance quelconque est égale à 94/7=14.<br /> <br /> <br /> La lecture graphique de tous les âges est immédiate.<br /> <br /> <br /> La possibilité de toutes les modifications du problème est elle aussi à peu près immédiate et on retombe sur un peu d'arithmétique liée aux règles de divisibilité pour inventer correctement le<br /> pendant du nombre 94.<br /> <br /> <br /> <br />

<br /> <br /> ceci est un parfait exemple qu'il ny a pas dichotomie litteraires-matheux.Ma solution au fil de l'analyse litterale du texte:<br /> <br /> <br /> J'ai trois fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez.<br /> Quand vous aurez l'âge que j'ai, ensemble nous aurons 98 ans.<br /> <br /> <br /> Point de départ: mon_<br /> age-difference=ton_age<br /> <br /> <br /> J'ai trois fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez:<br /> (ton_age-difference)*3=mon_age  ou (mon_age-2*difference)*3=mon_age ou 2*mon_age=6*difference (1) (on a remplacé ton age par mon<br /> age-difference)<br /> <br /> <br /> Quand vous aurez l'âge que j'ai, ensemble nous<br /> aurons 98 ans:<br /> <br /> <br /> (mon_age) + (mon_age+difference)=98  (à cet instant,<br /> ton_age=mon_age et mon age =mon_age+difference)  ce qui donne 2*mon age=98-difference<br /> (2)<br /> <br /> <br /> Nous<br /> avons donc<br /> <br /> <br /> (1)<br /> 2*mon_age=6*difference et<br /> <br /> <br /> (2)2*mon_age=98-difference  ce qui equivaut à<br /> <br /> <br /> 6*difference=98-difference, difference =98/7=14<br /> <br /> <br /> de (2), on<br /> tire  2*mon_age=98-14 ,mon_age=84/2<br /> <br /> <br /> donc  mon age =42 et ton_age=42-14=28<br /> <br /> <br /> <br />

<br /> <br /> |---|---|---|---|---|---|---|---> temps<br /> <br /> <br /> 0   A   B   C   D          98=t(0->C)+t(0->D)<br /> <br /> <br /> A : Age que vous aviez quand j'avais votre âge<br /> <br /> <br /> B : Votre âge<br /> <br /> <br /> C : Mon âge<br /> <br /> <br /> D : L'age que j'aurais quand vous aurez mon âge<br /> <br /> <br /> t(A->B)=t(B->C)=t(C->D) car on vieillit au même rythme<br /> <br /> <br /> =t(0->A) car J'ai trois fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez.<br /> <br /> <br /> et donc t(0->C) = Mon âge = (3/7) de 98 = 42 ans<br /> <br /> <br /> <br />

<br /> <br /> Re: "J'ai 3 fois l'age que vous aviez..."<br /> <br /> <br /> Algebre ou pas? <br /> <br /> <br /> 1) La traduction du probleme en langage mathematique ressemble a de l'algebre, parce qu'on doit ecrire des egalites: y = 3 (x-d), y = x+d, x+d + y+d = 98.  La question est de trouver d (la<br /> difference d'age), x (l'age du plus jeune), y (l'age du plus vieux). <br /> <br /> <br /> La solution, toutefois, n'a pas besoin d'etre "par l'algebre". <br /> <br /> <br /> 2) Par exemple, on pourrait dessiner les droites y = 3 (x-d) et y = x+d pour voir geometriquement les relations entre x, y et d.<br /> <br /> <br /> 3) Une approche "naive" serait de voir ce qui ce passe pour des petites quantites, comme 1, 2, 3, etc.  Si on fait ca ici, on peut commencer avec y = 3 (pour: 3 fois 1), alors x-d = 1,<br /> alors x = 2d = 2 (pour 2 fois 1).  Bien sur, ca ne va pas marcher avec 98; on voit que x+d + y+d = 7 (pour: 7 fois 1).  Mais en fait, ici le "1" peut designer un "bloc de temps" de<br /> n'importe quelle grandeur, on peut changer d'unite, donc on peut remplacer ce 1 par une inconnue t, pour laquelle on a l'egalite 7t = 98, alors t = 98/7 et le reste s'ensuit.<br /> <br /> <br /> 4) Comment justifier a priori le fait que l'inconnue la plus importante ici c'est d (la difference d'age)?  Raisonner comme un statisticien: d est la seule constante (parametre) dans ce<br /> probleme...<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> <br /> <br />