Précision mathématique ou physique ?

Dimanche 8 mai 2011 7 08 /05 /Mai /2011 20:03

Précision mathématique ou physique ?

Je lis le remarquable Gaston Bachelard (1884-1962), trop oublié, trop vite balayé par la "sociologie des sciences" (rendez-vous dans une cinquantaine d'années pour savoir qui reste entre Bachelard et la "sociologie des sciences"). Il nous propose (La Formation de l'esprit scientifique. Contribution à une psychanalyse de la connaissance objective, Vrin 1938, constamment réédité depuis) un exercice qu'il donne à ses élèves:

soit un chêne de 150 cm de diamètre: calculer son périmètre à un centimètre près

A l'heure des calculettes, on ne comprend même plus l'intérêt de réfléchir à pareil exercice. Bachelard nous invite néanmoins à réfléchir, à ce propos, à l'articulation etre précision physique et précision mathématique.

Plus
- Email
- Lien
- Imprimer

Par Alexandre Moatti - Publié dans : D'autres quasi-indispensables mathématiques - Communauté : Les amis des maths
Ecrire un commentaire - Voir les 18 commentaires

Précédent : Poincaré passeur de science Retour à l'accueil Suivant : Traitement de formules mathématiques...

Commentaires

Combien de décimales a Pi en physique ?

Je veux dire : quelle expérience de physique nécessite de connaitre Pi avec le plus de décimales ?

Commentaire n°1 posté par Dr. Goulu le 08/05/2011 à 21h25

Oui, bonne question en effet. A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 08/05/2011 à 23h32

on multiplie par 22/7 et c'est largement suffisant, ou quelque chose m'échappe ?

Commentaire n°2 posté par Tom Roud le 08/05/2011 à 23h18

@Tom Roud et @Dr. Goulu : j'ai trouvé intéressant de réfléchir sur cette notion de précision mathématique vs. précision physique. Notamment parce que les calculettes peuvent donner des résultats qui seraient plus précis que la précision de la mesure !

Je n'ai pas utilisé 22/7, j'ai pour ma part raisonné comme suit : 3 (de 3,14....) donne 450 cm ; 1 (de 3,14....) donne 15 cm ; 4 (de 3,14....) donne 6 cm - la décimale suivante (1) ne contribuera pas pour la précision souhaitée >> on trouve 471 cm.

A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 08/05/2011 à 23h44

@ A.M : En fait ta méthode revient à multiplier par 157/50, ce qui n'est pas hyper simple mathématiquement. Mais ça a l'air plus simple parce qu'on compte en base 10. L'avantage de 22/7, c'est que tu as juste une multiplication par 3 (=21/7), qui donne 450 cm, puis une division pour le 1/7 restant, qui donne 21 au cm près.

Commentaire n°3 posté par Tom Roud le 09/05/2011 à 00h41

Bien vue, l'idée de sortir du sytème décimal. CEci dit, on y revient à la fin, puisque, sauf erreur de ma part, "le diamètre à 1cm près" fait bien intervenir le système métrique qui est décimal. A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 09/05/2011 à 10h22

En plus, comme la section d'un tronc d'arbre n'est jamais un cercle. Il vaut mieux dire 472 cm.

Commentaire n°4 posté par Diet le 09/05/2011 à 08h07

L'exercice est sans intérêt si objectif est le calcul . Mais l'important c'est de retrouver la relation permettant de trouver le résultat connaissant le diamètre

Commentaire n°5 posté par Cherif le 09/05/2011 à 08h42

Oui, le calcul n'a aucun intérêt : c'est la réflexion qui l'entoure qui est intéressante, en tout cas à mon sens. A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 09/05/2011 à 13h33

J'ai posé la question sur le nombre de décimales utiles ici :

http://physics.stackexchange.com/questions/9621/how-many-digits-of-pi-are-required-in-physics

et reçu une réponse très intéressante : pour la mesure du http://fr.wikipedia.org/wiki/Moment_magn%C3%A9tique_anomal il faut avoir 9 décimales de Pi ...

Allez sur stackexchange remonter ma réputation svp, 2 personnes ont voté contre moi :-(

Commentaire n°6 posté par Dr. Goulu le 09/05/2011 à 14h25

Les maths donnent : Perimetre = Pi * diamètre

Pour obtenir un résultat physique cohérent avec la mesure du diamètre, il suffit de garder le même nombre de chiffres significatifs (ici 3). On obtient P = 471cm à 1cm près. (si je me souviens on peut montrer ce résultat général par du calcul différentiel ).

En mathématiques, il ne me semble pas que l'on se pose ce genre de questions faisaint intervenir la notion de mesure et de grandeurs mesurables, on travaille avec des nombres...

Commentaire n°7 posté par vinprudh le 10/05/2011 à 14h20

Je suis un peu surpris de ne pas voir la réponse suivante : la question est mal posée — intentionnellement, bien sûr — et on ne peut faire ce calcul avec la précision requise.

Primo, la mesure du diamètre : 150 cm, est sans doute donnée « au centimètre près », ce qui, même en supposant la section parfaitement circulaire, interdit de donner une réponse à une précision inférieure à 3 cm.

Secondo... votre photographie est pourtant on ne peut mieux choisie : il est manifeste que le diamètre n’est pas bien défini, la section n’était pas circulaire. Est-ce le plus grand diamètre ? le plus petit ? Bref, il s’agit d’une mesure à la grosse mode, et donner quelque chose de plus précis que « 470 cm » (en précisant qu’on est loin de la précision demandée pour la réponse), me paraît une erreur.

Si j’étais le correcteur, vous aviez tous un petit 0 ! :P

Commentaire n°8 posté par H le 12/05/2011 à 13h04

Merci. Chacun sa façon de voir ce problème, c'est ce qui fait son intérêt. Vous en remettez en cause l'énoncé - c'est une façon de voir. A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 12/05/2011 à 14h33

J’ai dû mal m’exprimer. Je ne remets pas vraiment en cause l’énoncé, je veux simplement dire que pour moi la réponse attendue est : « on ne peut pas calculer un périmètre au centimètre près à partir d’un diamètre mesuré au centimètre près ; et dans le cas d’un arbre dont la section n’est pas parfaitement circulaire, *le* diamètre n’est pas bien défini et la précision demandée est d’autant moins atteignable ».

Commentaire n°9 posté par H le 12/05/2011 à 21h17

Voila un lien qui pourra aider à répondre (notamment en ce qui concerne la précision physique): http://www2.ulg.ac.be/sciences/pedagogique/dossierpds2004/dossier_signif.pdf

J'ajouterai que l'exemple du chêne est effectivement malheureux car malgré ma réponse précédente (dont je reconnais l'erreur), on ne peut pas parler de diamètre (il suffit de regarder la photo por s'en convaincre) et donc on ne peut pas appliquer la relation P=Pi*d. La méthode de mesure est dans ce cas mauvaise et il faut en changer, par exemple en faisant une mesure directe (on fait rouler le chêne et on mesure la trace de la circonférence, etc). Et qui dire si on cherche encore plus de précision, il faudrait aussi considérer les déformations locales du contour, bref, le chène n'etait peut etre pas le meilleur exemple pour illustrer la différence entre précision physique et mathématique.

Un énoncé plus correct aurait peut etre été : soit une roue parfaitement lisse dont le diamètre vaut 150 cm, calculer le périmètre... (on pourrait objecter que meme dans ce cas le diametre peut ne pas être parfaitement défini,
mais alors encore une fois c'est la méthode de mesure qu'il faut ainsi revoir pour eviter de commettre ce qu'on appelle une erreur systématique dans le jargon de la mesure et des incertitudes).

Si on veut résoudre simplement la précision le cas de la roue supposée parfaitement circulaire:
On connait la précision sur le diametre qui vaut 0.5 cm (en effet sans autre précision une règle communément admise veut qu'elle vale 1/2 unité du dernier chiffre significatif, soit 0.5cm).
On applique P=Pi*d. On obtient alors P = (471 plus ou moins 1,6) cm. J'obtiens 1,6 en faisant 0.5 * Pi = 1.5707... que j'arrondi à 1.6 cm. Pour 471, j'applique la règle des chiffres significatifs (le resultat d'une multiplication est arrondi à autant de chiffres signifcatifs que la donnée qui en compte le moins, cf doc en lien ci-dessus).

Commentaire n°10 posté par vinprudh le 13/05/2011 à 10h45

@H, @vinprudh (merci du lien), à tous : je suis étonné (favorablement) de la densité de la discussion autour de ce billet. Elle montre à quel point un problème en apparence simple peut donner lieu à visions diverses.

Par exemple : pour ma part, je ne considère pas que le problème soit "mal posé" (par Bachelard). Dans mon esprit, dans ce problème, la physique commence après l'énoncé - le chêne reste un cercle parfait jusqu'au moment où l'on commence à résoudre le problème - je reconnais que c'est totalement conventionnel, mais çà nous force à réfléchir sur "jusqu'à quel point accepte-t-on l'abstraction?". Certes, une roue parfaitement lisse (mais cela existe-t-il?) eût mieux convenu - mais visiblement cela n'a pas effleuré l'esprit de Bachelard qui, comme moi, a accepté (sans s'en rendre compte sans doute) l'abstraction géométrique de l'énoncé, certes contradictoire avec la résolution concrète, physique, qu'il en propose.

Quant à la photo, elle est de moi (ou plutôt c'est moi qui l'ai mise sur le billet), elle n'est vous vous en doutez pas de Gaston. Elle est là simplemet pour illustrer (nécessaire dans un blog), mais je m'aperçois qu'elle induit une autre vision de l'énoncé et le perturbe. On pourrait ajouter en légende de la photo "document non contractuel à l'énoncé" . A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 13/05/2011 à 11h10

Merci à Vinprudh de m’avoir compris !

AM, je disais bien : intentionnellement mal posé, je supposais qu’il s’agissait d’un « piège », qu’en invitant à réfléchir à la précision nécessaire à un calcul, Bachelard invitait à réfléchir à la précision des mesures physiques dont ce calcul dépend. Bref je ne récusais pas l’énoncé !

Je farfouille depuis hier dans le fratras qui me sert de bibliothèque, je ne retrouve pas mon exemplaire de La formation de l’esprit scientifique. Auriez-vous l’amabilité de nous copier le passage afin que nous examinions la réponse suggérée par Bachelard ?

Commentaire n°11 posté par H le 14/05/2011 à 17h06

@H :vous avez raison. Retour aux sources oblige. Je n'ai malheureusement pas sous la main, là maintenant, mon exemplaire. Dès que possible je mettrai le texte exact de la réponse de Bachelard.

àtous : au fait je suis un peu étooné quaucun commentaire ne porte sur la première partie du billet (Bachelard vs. sceince social studies - je ne donne pas de noms). Pour moi Bachelard est bien meilleur ! Des avis ?

A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 14/05/2011 à 17h58

pondu un article sur l'expérience de physique nécessitant le plus de décimales de pi ici : http://drgoulu.com/2011/05/15/combien-de-decimales-de-pi-en-physique/

Merci à Alexandre et aux autres commentateurs pour avoir soulevé différents aspects de cette question plus intéressante qu'il n'y paraît de prime abord.

Commentaire n°12 posté par Dr. Goulu le 15/05/2011 à 21h11

Merci à toi de tes contributions toujoyrs intéressantes sur mon blog, comme l'est ton blog. A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 17/05/2011 à 09h32

Bonjour,

a moins d'une différence entre certaines éditions, votre énoncé n'est pas celui donné par G. Bachelard dans "La Formation de l'Esprit Scientifique". Le problème posé par Bachelard est plus simple que celui que vous annoncez. Je cite la page 214 du livre :

"Ainsi, j'ai souvent donné, en vue de l'éducation des saines approximations, le simple problème suivant : calculer à un centimètre près le rayon moyen d'un chêne de 150 centimètres de circonférence.".

Vous constaterez que le vrai problème posé par Bachelard est plus simple (et plus profond, à mon sens) que celui que vous énoncez.

Commentaire n°13 posté par open_riichi le 16/05/2011 à 09h48

Oui, en effet, j'ai recherché (à la demande du commentateur H ci-dessous) le texte exact de Bachelard (en ligne ici, pour faire plus simple). Mea culpa. Le problème est l'inverse, je l'avais cité de mémoire ! Mais je revendique la libre inspiration, et finalement le problème que j'ai posé a suscité nombre de réflexions intéressantes.

Il est vrai que la première quastion à caractère physique que nous aurions pu nous poser est : "un chêne de 150 cm de diamètre, purée!". A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 17/05/2011 à 09h39

En physique, le résultat d'une multiplication ne peut avoir plus de chiffres significatifs que la donnée qui en compte le moins. à partir d'un diamètre de 150cm (3 chiffres significatifs) et voulant ateindre une précision au cm, sachant que le résultat vaudra quelques centaines de cm (3 chiffres significatifs également), il est nécessaire de connaitre pi avec au moins également 3 chiffres significatifs. Donc 3,14 est une précision suffisante pour atteindre le résultat attendu, c'est à dire un périmètre de 471cm.

Le problème de Bachelard est plus intéressant : car à partir d'un périmètre de 150cm, le diamètre calculé sera de l'ordre des dizaines de cm et donc 2 chiffres significatifs seront suffisants pou pi (3,1), ce qui donne un diametre de 48cm.

Toute la subtilité est de ne pas confondre nombre de chiffres significatifs et nombre de décimales.

Enfin pour conclure, tout bon physicien pourrait objeter que si on est face à un arbre dont on a pu mesurer le diamètre, il est tout aussi simple de mesurer son périmètre et la connaissance de pi ne sert à rien ici.

Commentaire n°14 posté par C.Bernizet le 18/05/2011 à 14h55

Sur le premier calcul nous sommes donc tous d'accord (471 cm), quellles que soient les circonvolutions pour y arriver.

Bachelard semble dire qu'il faut utiliser deux décimales de Pi : peut-être pouvez-vous détailler votre raisonnement (comme je l'ai fait moi-même pour le mien, plus haut en commentaires)?

Pour votre dernière phrase, oui, en effet, merci ! (sauf si l'on a perdi entretmps son otuil de mesure!)

A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 18/05/2011 à 16h07

Merci d’avoir mis le texte de Bachelard en ligne, la collision entre les deux questions est intéressante.

Pour les gens que les techniques intéressent, ce que je sais de l’ancien métier de mon papa : quand les forestiers « cubent » (ie estiment le volume d’un arbre sur pied, en vue d’une coupe), ils utilisent le diamètre à 1 mètre 50 du sol (de mémoire, en fait en pratique c’est grosso modo à la hauteur des coudes du cubeur) et la hauteur (estimée à l’œil) ; le diamètre est mesuré au « compas », en fait une sorte de gros pied à coulisse qui permet une mesure à quelques centimètres près. Voir image http://mfr-foret.com/Compas%20forestier.JPG

La question de la précision du cubage se pose alors... au vu de la précision des mesures, demander une précision d’un cm³ sur le volume devrait faire bondir toute personne raisonnable !! J’en rigole tout seul.

Commentaire n°15 posté par H le 25/05/2011 à 11h00

Page suivante, Bachelar raille :

Le Père Mersenne demande : « je vous prie de me dire combien un homme haut de six pieds ferait plus de chemin avec la tête qu’avec les pieds, s’il faisait le circuit de la Terre ». Étant donnée la grossièreté de la connaissance du rayon terrestre, on saisit l’absurdité toute géométrique de la question posée par le Père Mersenne, en dehors de l’insignifiance totale de la question.

Grossière erreur ! 2π(R + ΔR) - 2πR = 2π ΔR ; l’intérêt (le seul intérêt) de ce problème resté classique est justement que la réponse peut être faite sans connaître le rayon terrestre...

Commentaire n°16 posté par H le 25/05/2011 à 14h55

Je remarque en passant que le but de Bachelard est bien de critiquer les calculs précis faits avec des mesures imprécises (exemple du prix de vente d’un terrain), qui est le travers que je dénonçais dans la réponse « 471 cm »... ;)

Commentaire n°17 posté par H le 25/05/2011 à 14h58

Je n’ai pas répondu à votre question sur la sociologie des sciences... je n’en pense pas beaucoup de bien non plus :) Je n’ai lu qu’un seul texte vraiment conséquent, un livre d’une biologiste américaine reconvertie à l’histoire et la sociologie des sciences, et dont le nom m’échappe ; ça ne m’a pas convaincu.

À part ça, chaque fois que j’en rencontre des bribes au fil de mes lectures, je m’agace. Voyez mes commentaires à cette note :

http://www.enroweb.com/blogsciences/index.php?2011/06/02/452-est-ce-la-methode-scientifique-qui-guide-le-travail-du-chercheur&cos=1

Je reste très mesuré, j’essaie de me comporter en internaute bien éduqué. Sachez qu’intérieurement, je profère pis-que-pendre ! Je trouve terrible qu’au lieu de prendre le temps d’expliquer les concepts, notament celui de liaison génétique, d’expliquer ce qu’écrit Mendel, où est son erreur (ou quelle restricition il faudrait y apporter pour que ce n’en soir plus une), d’expliquer les travaux de Bateson, bref, d’expliquer pourquoi la seconde loi de Mendel porte son nom et pourquoi elle est généralement fausse, on se contente d’asséner quelques prétendues vérités premières, le tout laissant suspecter qu’on est incapable du travail de digestion et vulgarisation dont j’ai tracé les contours ci-dessus.

Voilà, il fallait que ça soit dit, et ça me fournit l’occasion de vous répondre, d’une pierre, deux coups.

Commentaire n°18 posté par H le 05/06/2011 à 22h17

Merci H de vos précisions sur votre position sur la sociologie des sciences. Je vous réponds très tard. J'ai lu avec intérêt le lien et vos commentaires sur un article d'enroweb. Enroweb (alias AB) est le dynamique président de l'association Café des Sciences, à laquelle ce blog est relié et moi-même j'appartiens. L'association et son président mènent des actions dynamiques et originales; mais je suis tojours très surpris, comme vous, de la perméabilité à la sociologie des sciences du milieu des (jeunes) vulgarisateurs ou analystes de la diffusion de la culture scientifique. A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 28/08/2011 à 13h15

1,2,3,4,5

Pourquoi ce blog ?

Indispensables astronomiques

Communauté de blogs

Recommander