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CouvPocheIndispensables
J'ai créé ce blog lors de la sortie de mon livre "Les Indispensables mathématiques et physiques pour tous", Odile Jacob, avril 2006 ; livre republié en poche en octobre 2011 (achat en ligne) (sommaire du livre).
Je développe dans ce blog des notions de mathématiques et de physique à destination du plus large public possible, en essayant de susciter questions et discussion: n'hésitez pas à laisser vos commentaires!

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Indispensables astronomiques

Nouveauté octobre 2013, mon livre "Les Indispensables astronomiques et astrophysiques pour tous" est sorti en poche, 9,5€ (éditions Odile Jacob, éidtion originale 2009). Comme mon premier livre (Les Indispensables mathématiques et physiques), c'est un livre de notions de base illustrées avec des exemples concrets, s'appuyant sur les mathématiques (géométrie notamment) pour l'astronomie, et sur la physique pour l'astrophysique. Je recommande vivement sa lecture.

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14 janvier 2014 2 14 /01 /janvier /2014 06:56

Nous avons vu avec Berger, dans notre précédent billet, pourquoi il n’y a que 5 polyèdres réguliers (convexes) – nous nous sommes pour cela appuyés sur la relation d’Euler SA + F = 2 (nombre de sommets S, d’arêtes A, de faces F), valable pour tout polyèdre convexe. Toujours avec Berger, voyons une extraordinaire démonstration de cette relation, démonstration qu’il appelle affine.

 

On prend n’importe quel polyèdre convexe, et on imagine le couper par un plan qu’on va progressivement faire descendre du sommet supérieur du polyèdre (en le mettant dans une position donnée, peu importe) au sommet inférieur. Le dessin ci-dessous parlera mieux que moi (j’adore ces dessins manuscrits de Berger, nous en avions déjà utilisé un ).

EulerFiormule-BergerDessin Marcel Berger, in Géométrie vivante, Cassini 2010.

 

On peut prendre n’importe quelle direction de plan, à une condition : que ces plans parallèles ne contiennent jamais plus d’un sommet du polyèdre (on se convaincra aisément que c’est une condition facilement réalisable). On va alors faire le compte en faisant descendre le plan. En haut, quand le plan touche le sommet sans être entré dans le polyèdre, la somme (on appelle ainsi SA + F, par simplification) vaut 1 (S=1, A=F=0). En entrant depuis le sommet du haut dans le polyèdre, on capte autant de faces que d’arêtes (du sommet partent h arêtes, et le sommet appartient à h faces – comme déjà écrit, pour s’en convaincre, aplatir le voisinage du sommet sur un plan, et constater qu’il y a dans ce voisinage autant d’arêtes que de faces, i.e. autant d’arbres que d’intervalles) : donc S reste égal à 1. Continuons à faire descendre notre plan de coupe, et l’on rencontre un premier sommet dans cette descente (à chaque fois, l’on n’en rencontre qu’un puisque c’est la condition imposée au plan de coupe). Notre somme s’incrémente de +1 (le sommet), mais regardons ce qui se passe au niveau F et A. Je fais un dessin aplatissant le sommet, moins joli que celui de Berger.

Euler-afine.JPG

  À chaque traversée de sommet, S gagne 1, (A-F) gagne 1, S-A+F reste stable.

 

Le plan et son sens de descente sont en rouge. Il va « capter », dans ce cas, h’ nouvelles arêtes (ici 3), et h’ – 1 nouvelle faces (ici 2). Sur un sommet traversé, le nombre d’arbres (arêtes) n’est pas égal au nombre d’intervalles (faces), car les nouvelles arêtes « encadrent » les nouvelles faces. Ce qui fait qu’au passage d’un sommet qui n’est ni le premier ni le dernier, on a :

 

 

Avant

Après

sommets

S

S + 1

arêtes

A

A + h’

faces

F

F + h’ - 1

Somme d’Euler

transitoire

SA + F = 1

(comme au départ)

(S +1) – (A+ h’) + (F + h’ – 1)= SA + F

(inchangée)

 

Là, j'ai un peu trop décortiqué pour convaincre (ce qui m'oblige à introduire une variable h'). Une manière plus concise : pendant la “traversée” du polyèdre par le plan de coupe, la somme reste égale à 1, puisqu’à chaque sommet S s’incrémente de 1, mais (A-F) aussi, ce qui fait que SA + F reste constant, égal à sa valeur de départ, 1. Jusqu’à récupérer le dernier sommet, en bas, où il n’y a plus faces et arêtes en dessous, et la somme s’incrémente de 1 (le dernier sommet), pour arriver à 2. Comme l’écrit Berger sur son dessin, et c'est bien connu, 1 + 1 = 2. CQFD.

 

 


1. Pour aprofondir, on s'aperçoit avec Wikipédia que Descartes avait déjà trouvé dans un manuscrit inédit (écrit en 1680) la relation qu'Euler formalise en 1752, ce qui fait qu'en France (surtout sur Wikipédia, car pour ma part j'ai toujours entendu 'Relation d'Euler'), on appelle cela Théorème de Descartes-Euler.

 

2. Plus intéressant, on trouvera aussi sur l'extrait Wikipédia ci-dessus une extraordinaire généralisation aux dimensions supérieures par Poincaré 1893 :
Poincarepolyedres.png

Retenons que S – A + F vaut alternativement 0 (dans toutes les dimensions paires, à commencer par 2, dans le plan avec des polygones) ou 2 (dans toutes les dimensions impaires, à commencer par 3, dans notre espace avec des polyèdres).

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