Jeudi 26 janvier 2012
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23:07
J'avais déjà parlé de
l'article sur Galois dont je suis co-auteur dans BibNum en décembre, à propos des fractions continues, tout à fait fascinantes.
Nous avons récemment publié une annexe complémentaire à cet article, intitulé
"Quelques variations sur les fractions continues", sous forme de quelques exercices amusants sur la représentation d'un certain nombre (voisin du nombre d'or) en fraction continue. Ce nombre a la
propriété de donner 1 quand il est ajoûté à son carré.
On demande de démontrer une des formules suivantes, assez amusantes (elles sont toutes trois équivalentes) :
Exercez-vous à démontrer ces formules (attention, n'essayez pas de réduire au même dénominateur !
). Une indication : commencez à vous intéresser au premier membre [dans chaque équation] - vérifiez qu'il s'agit bien du nombre
qui vérifie une certaine équation algébrique. Sinon allez voir les solutions dans l'annexe de l'article BibNum (onglet
"Analyse" ou PDF "à télécharger").
Les fractions continues sont passionnantes car c'est un mode de REPRéSENTATION d'un nombre, finalement au même titre que son écriture
décimale. Le nombre ci-dessus (qui n'est là que comme exemple), c'est
a) 0,618 033.... ?
b) 1/2 (√5 – 1) ?
c) la fraction continue composée de 1 ci-dessus
?
Finalement, laquelle de ces trois REPRéSENTATIONS a plus de valeur que l'autre ? À méditer...
Lundi 31 octobre 2011
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09:52
Vu dans Tangente Sup n°62 (oct.2011) un joli problème, je vous le donne avec la solution
- vous avez juste à vérifier ou à faire vérifier par vos élèves. Voici une manière de partager un gâteau carré en cinq parts égales :
Procédé : on part du milieu du côté du haut et on se dirige vers un des deux
sommets opposés, etc.
Vérifiez (facile) que chacune des parts a bien comme surface le
cinquième de celle du carré.
Supposons que parmi nos 5 convives, finalement Prosper ne se sert pas. Chacun des quatre autres prend sa part biscornue, et on
recommence l'opération avec le carré central. Prosper à nouveau décline, on donne à chacun des autre autres la part biscornue, etc. À la fin, chacun des quatre hôtes (hors Prosper) aura mangé le
quart du gâteau. OUI, mais dans ce cas mieux valait découper plus simplement dès le départ (couper les cheveux un carré en quatre !)
Mardi 17 mai 2011
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11:30
À la suite de certains billets (le problème des trois portes dans mon
livre p. 101-103 le problème des quatre cartes sur ce blog, un problème de naissances
sur ce blog,...), voici encore, dans la même veine des "incertaines probabilités", deux sujets
contre-intuitifs (extraits de G. Bronner, L'Empire de l'erreur, Élements de sociologie cogintive, P.U.F. 2007).
Problème A . Une ville possède deux maternités, l'une grande avec 45 naissances quotidiennes en moyenne, l'autre plus
petite avec 15 naissances quotidiennes en moyenne. Chaque jour où le seuil de 60% de naissances masculines est dépassé, la maternité fait une croix dans son carnet de bord. Au bout d'un an,
quelle maternité aura vraisemblablement le plus de croix dans son carnet ? La petite maternité ? La grande ? ou les deux seront-elles à égalité ?
Problème B. Une maladie, qui touche une personne sur mille, peut être détectée par un test. Ce test a un taux
d'erreurs positives de 5% (c'est à dire qu'il produit 5% de faux positifs - le test marque la présence de la maladie alors qu'en fait elle n'est pas présente). Un individu est soumis au
test. Le résultat est positif. Quelle est la probabilité pour qu'il ait la maladie ?
Dimanche 8 mai 2011
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20:03
Je lis le remarquable Gaston Bachelard (1884-1962), trop oublié, trop vite balayé par la "sociologie des sciences" (rendez-vous dans
une cinquantaine d'années pour savoir qui reste entre Bachelard et la "sociologie des sciences"). Il nous propose (La Formation de l'esprit scientifique. Contribution à une psychanalyse de la
connaissance objective, Vrin 1938, constamment réédité depuis) un exercice qu'il donne à ses élèves:
soit un chêne de 150 cm de diamètre: calculer son périmètre à un centimètre près
A l'heure des calculettes, on ne comprend même plus l'intérêt de réfléchir à pareil exercice. Bachelard nous invite néanmoins
à réfléchir, à ce propos, à l'articulation etre précision physique et précision mathématique.
Dimanche 27 mars 2011
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12:22
Le Berger nous guide pauvre horde de moutons pas assez matheux : après nous
avoir fait découvrir les cercles du tore (sur ce blog et sur BibNum), il nous dit qu’il suffit de baisser les yeux (toujours dans la rue, mais à l’inverse
d’ici) pour voir des polygones réguliers… sur les enjoliveurs des roues de
voiture.
Pour les polygones réguliers dans les enjoliveurs on en voit (jusqu’à l'ordre 20 dixit Berger), ainsi que des polygones réguliers étoilés – il n’est donc pas nécessaire de lever les yeux pour voir des étoiles ! Magnifique dessin à la main de (l’étoile du)
Berger ci-dessous :
1° challenge (facile) : indiquez en commentaire ce que signifie la
fraction en bas à gauche et le petit signe cabalistique en bas à droite de chaque polygone.
2° challenge : c’est plus difficile de distinguer dans la vraie vie des
enjoliveurs ceux qui sont simples et ceux qui sont étoilés (avec les masses d’aluminium les deux ont vite fait de se confondre dans notre vision). Je lance un concours de photos de polygones
étoilés sur enjoliveurs. Je commence avec un (5,2) sur Mercédès Swatch ci-dessous. Toutes photos de polygones ETOILES d’ordre supérieur, ou bien (5,2) où l’étoile est plus visible encore, sont
les bienvenues : vous pouvez les mettre en ligne à un endroit de votre choix et me prévenir par le courriel de contact ci-dessous, ou me les envoyer au même courriel, je les publierai dans
ce billet en vous créditant (préciser aussi l’automobile).
3° challenge : ma courte expérience de photographe d’enjoliveurs étoilés
m’a montré qu’il est plus facile de reconnaître un étoilé d’un régulier quand le polygone est d’ordre impair. Si vous avez la même idée, expliquez pourquoi…
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