Les indispensables mathématiques et physiques
La cycloïde, quelques idées physiques à présent : c’est la courbe suivie par un petit clou qui se
serait fiché sur votre roue de vélo (la valve du vélo, comme elle n’est pas exactement au bord du cercle tournant, suit une courbe plus générale dite trochoïde). Mais tous ces noms mathématiques
compliqués cachent des phénomènes physiques simples et intéressants. J’en veux pour preuve deux propriétés physiques remarquables de la cycloïde retournée (sa symétrique par rapport à un
axe horizontal), quand on y fait glisser un corps pesant comme une bille.
C’est d’abord une courbe tautochrone : placez une bille en haut de la courbe, une autre au milieu, une troisième tout près du bas de la cuvette, elles arriveront toutes trois en même temps en bas de la cuvette! Cette propriété physique a été exploitée par Christiaan Huygens (1629-1695) pour construire des horloges.
(voir l’animation Mathcurve)
Du point de vue de la physique, je me suis demandé si l’on ne pouvait pas « intuiter » (sans passer par les maths et les équations compliquées de la cycloïde) la propriété de tautochronie dans un champ de gravité (accélération constante) à partir de la définition de la cycloïde, à savoir le bord de la roue qui tourne à vitesse constante. Je me suis cassé les dents, n'ai pas trouvé... si quelqu'un a une idée ? (attention ce n'est peut-être pas possible...)
C’est d’abord une courbe tautochrone : placez une bille en haut de la courbe, une autre au milieu, une troisième tout près du bas de la cuvette, elles arriveront toutes trois en même temps en bas de la cuvette! Cette propriété physique a été exploitée par Christiaan Huygens (1629-1695) pour construire des horloges.
(voir l’animation Mathcurve)
Plus étonnant encore (figure ci-dessus), c’est une courbe brachistochrone : c’est le plus court chemin pour aller d’un
point à un autre (il arrive même que le chemin remonte !). Vous croyiez que le chemin le plus rapide pour aller de A à B est la droite AB, eh bien non c’est la
cycloïde !
Du point de vue de la physique, je me suis demandé si l’on ne pouvait pas « intuiter » (sans passer par les maths et les équations compliquées de la cycloïde) la propriété de tautochronie dans un champ de gravité (accélération constante) à partir de la définition de la cycloïde, à savoir le bord de la roue qui tourne à vitesse constante. Je me suis cassé les dents, n'ai pas trouvé... si quelqu'un a une idée ? (attention ce n'est peut-être pas possible...)
Dim 24 fév 2008
7 commentaires
Notre groupe de l'IREM va présenter aux prochaines journées des maths un travail sur la cycloïde. Notre sujet d'étude est : "Les cabinets scientifiques et l'enseignement des mathématiques au XVIIIème". La cycloïde et ses propriétés ont fait l'objet de nombreuses études détaillées par les plus grands noms parmi lesquels on trouve Leibniz, Jacques et Jean Bernouilli, le Marquis de L'Hospital et Newton. Votre question finale est celle que je me suis posée au tout début de cette étude et je n'ai pas non plus trouvé de réponse. Nul part l'idée d'un lien entre la vanne de la roue de bicyclette et les propriétés surprenantes de cette courbe. Je suis donc aussi très interessé par le sujet.
olivier Leguay - le 24/02/2008 à 16h05
Bonjour Olivier, il y a de belles pages sur la cycloïde vue par Huygens dans le livre de Simon Gindikin "Histoires de mathématiciens et physiciens", Editions Cassini, 2000. Des pages assez mathématiques, mais qui expliquent bien l'histoire de la cycloïde : mais sans doute connaissez-vous cet ouvrage. C'est intéressant en effet que l'IREM s'ocupe de cela : si vous trouvez une interprétation physique des propriétés de la cycloïde, donnez-nous des indications ici ou sur votre excellent blog. Mais à mon avis c'est difficile, sinon cela aurait déjà été fait.
A.M.
A.M.
Alexandre Moatti
Chemin le plus court ?????
Ne serait-ce pas plutôt le chemin le plus rapide ?
Ne serait-ce pas plutôt le chemin le plus rapide ?
Bartux - le 24/02/2008 à 20h41
Bien vu. Ecrit trop vite. C'était "court en temps", bien sûr, mais vous avez raison cela s'appelle rapide. Je rectifie, mais maintiens mon étonnement sur cette courbe comparée à la droite. Merci. A.M.
Alexandre Moatti
Intéressant, comme toujours. Une occurrence de "plus court chemin" a dû vous a échapper, et subsiste toujours dans le billet...
Enro - le 25/02/2008 à 17h50
Je viens de lire de façon un peu plus attentive l'excellent article de Jacques Dubois qu'il a publié sur Le Bulletin de l'Union des Physiciens 737 de 1991 concernant la cycloïde. J'ai bien l'impression que c'est Newton qui a fait le lien. En 1669, il parle du cercle générateur de la cycloïde et étudie l'accélération tangentielle constante le long de cette courbe pour un point pesant la parcourant. Le lien entre la cycloïde générée par le déplacement d'un cercle et le fait que cette courbe soit tautochrone semble donc réalisé ici.
En 1697, dans la première édition des Principia, il étudie le mouvement des des corps se déplaçant dans un fluide sans viscosité et incompréssible. Il montre en utilisant le cercle générateur et la théorie des fluxions, que le profil de la cycloïde correspond à la surface de moindre résistance. Même si la démonstration est absente des Principia, elle a été retrouvée dans ses écrits non publiés. La démonstration de la brachistochrone, une fois la précédente réalisée en découle en utilisant la théorie des fluxions.
olivier Leguay - le 25/02/2008 à 18h05
Beverycool, cela a l'air fort intéressant, il faudrait voir le texte de 1669 qui a l'air plus correspondre à notre recherche, et plus simple sans doute. Merci de votre apport. A.M.
Alexandre Moatti
Mais je n'ai rien trouvé de vraiment simple et directement accessible.
olivier Leguay - le 25/02/2008 à 18h13
Bonjour,
Le regretté Miguel de Guzmán a écrit un beau chapitre sur la cycloïde dans son livre "Aventures mathématiques" paru aux Presses Polytechniques et Universitaires Romandes en 1990.
Il rappelle le défi que Johann Bernoulli a lancé à tous les mathématiciens d'Europe en 1696 : "Si deux points A et B sont donnés sur un plan vertical, trouver le chemin AMB par lequel un point mobile M, soumis à la pesanteur, glisse du point A au point B en un temps minimal".
Newton, Leibniz, son frère Jakob et d'autres surent résoudre le problème.
Newton, Leibniz, son frère Jakob et d'autres surent résoudre le problème.
Je cite de Guzmán : "[La solution] de Johann Bernoulli, un mélange de physique et de géométrie, fut géniale, bien que moins féconde et générale que celle de son frère." Il fait référence à la méthode de Jakob qui débouchera sur le calcul des variations.
"Voici en quelques points un schéma de la solution de Johann."
1) "Quand la bille aura descendu la hauteur h, sa vitesse sera de RACINE(2gh) (loi de la chute libre). Mais nous ne savons pas encore quelle direction prendra cette vitesse."
2) "Nous savons (principe de Fermat) que la vitesse voyage d'un point à un autre dans le temps le plus petit possible."
3) "Nous savons aussi que la vitesse de la lumière varie selon le milieu où elle voyage.
Si la lumière voyage à des vitesses v1 et v2 dans deux milieux différents, la loi de la réfraction nous dit que [les angles d'incidence et de réfraction (a1) et (a2), mesurés par rapport à la normale sont tels que] : sin(a1)/v1 = sin(a2)/v2 = constante = k."
4) "Imaginons un milieu optique formé par des couches horizontales et fines tel que la vitesse de la lumière dans chaque couche soit v1, v2, ..., vn. Alors un rayon suivrait une trajectoire de façon que sin(aj)/vj = k et ce chemin du rayon de lumière serait le chemin du temps minimal pour aller de A à B aux vitesses indiquées."
5) "Dans notre cas, la vitesse en descendant de h est précisément RACINE(2gh). [...]."
6) "Ainsi, la courbe qui donne le chemin de temps minimal compatible avec la vitesse indiquée est celle qui satisfait sin(a)/RACINE(2gh) = k."
7) Il démontre enfin que la cycloïde est la courbe recherchée.
Nous sommes un peu loin de la roue de vélo. La méthode de Johann Bernoulli est-elle assez intuitive à vos yeux ?
Meilleures salutations,
Serma
PS : Je suis vexé car je n'ai pas reçu de réponse au "meilleur tour de carte" que j'ai envoyé à votre adresse des mines.org (http://people.brandeis.edu/~kleber/pubs.html).
Serma - le 02/03/2008 à 15h29
Merci Serma de cet apport. C'est très intéressant mais on reste encore pas mal dans les mathématiques (l'étape 7 surtout n'est sans doute pas évidente), et en effet comme vous le dites loin de la propriété "roue de vélo" de la cycloïde. On va étudier cela de plus près. A.M.
PS: j'ai retrouvé votre mél du 15 février - ne soyez pas vexé ! - le tour de cartes a l'air assez trapu quand même, là aussi je vais étudier cela. Merci de nouveau.
PS: j'ai retrouvé votre mél du 15 février - ne soyez pas vexé ! - le tour de cartes a l'air assez trapu quand même, là aussi je vais étudier cela. Merci de nouveau.
Alexandre Moatti
Brachistochrone : le retour de la roue de vélo
Une démonstration réalisée en Mathematica illustre la solution de Johann Bernouilli et montre que la cycloïde est la courbe recherchée.
Le player Mathematica est gratuit.
Serma - le 13/03/2008 à 13h35