Lors d’un précédent billet (
Maths et magie ), j’évoquais le tour de cartes que me faisait mon grand-père, peut-être à l’origine de mon intérêt pour les maths. A la lecture d’un livre de vulgarisation, je me rends compte qu’un des autres jeux qu’il m’a appris, celui de la
maisonnette, est hautement mathématique !
Il me disait : trace la figure ci-dessous en passant une seule fois par chaque trait et sans lever le crayon, qu’il me prêtait d’ailleurs pour le faire. Essayez !
C’est à la lecture du récent
livre de Marc Chemillier,
Les mathématiques naturelles (Odile Jacob mars 2007) que je réalise que ce jeu est à rattacher à la théorie des graphes…
L’unique moyen de réussir le jeu de la maisonnette est de commencer par un sommet d’ou partent un nombre
impair de traits (en bas à droite ou en bas à gauche, cf. figure), pour arriver à l’autre sommet d’où partent un nombre
impair de traits. En effet, pour un point de passage (pas le point de départ ni le point d’arrivée), il est nécessaire que de ce point partent un nombre
pair de traits : à chaque fois que le tracé y arrive, il doit en repartir…donc un nombre pair.
C’est le mathématicien suisse Euler (1707-1783), de la naissance duquel nous célébrons cette année le tricentenaire, qui fait la théorie de ce que l’on appellera les cycles eulériens, en nous disant : un tracé peut être parcouru ainsi si et seulement s'il possède zéro ou deux sommets d'ordre impair (d'ouù partent un nombre impair de traits).
Merci à Marc Chemillier de nous avoir donné cet exemple, qui sort des sentiers battus, alors que pour les cycles d’Euler nous est systématiquement donné le problème des sept ponts de Königsberg ! (notons que Chemillier essaie aussi de le transposer dans l’environnement lutécien de l’île de la Cité et de l’île Saint-Louis…)