Dans un précédent billet faisant suite à une visite d'un atelier TGV à Saint-Denis, j'avais parlé de la forme en Z de la caténaire entre deux poteaux de suspension, forme en Z nécessaire pour ne pas user le pantographe en un point (cisaillement), et permettant une usure répartie sur toute la largeur du pantographe.

Cette fois-ci intéressons-nous à un autre aspect de la caténaire, sa forme « dans l'autre sens », dans le plan vertical. En première approche, la caténaire, suspendue entre deux poteaux (on dit poteaux à la SNCF et pylônes chez EDF), pend la forme d'un fil pesant sous son poids, c'est-à-dire celle de la courbe mathématique de la chaînette. D'ailleurs faisons un peu de latin-italien-français : caténaire, c'est bien la catena (chaîne) latine, qu'on retrouve dans le football italien catenaccio (verrou, chaîne bloquante).

Mais, en fait, un fil de contact électrique prenant la forme d'une chaînette entre deux poteaux situés à plus de 100 m de distance est impensable, puisqu'il écraserait le pantographe. C'est pourquoi le système (cf. image) est composé de deux éléments : un câble porteur en haut qui, lui, a la forme de la chaînette entre deux poteaux, relié au câble de contact électrique par des fils métalliques suspenseurs de hauteur variable, « corrigeant » la flèche du câble porteur : le fil de contact s'aligne alors presque à l'horizontale et ne subit qu'une flèche minime qui est liée à l'écartement entre suspenseurs et non plus à celui entre les poteaux.

Levons les yeux quand nous prenons le train, moi je ne savais pas qu'il y avait du Leibniz (le « découvreur » de la courbe de la chaînette) dans l'alimentation électrique des trains!

Pour aller plus loin :
- La page «En regardant passer le train » sur le site de la Fondation C.Génial.
- Le texte de Leibniz sur la découverte de la chaînette expliqué sur le site BibNum.

Première étape : on étudie les triangles OKL et OKH, et on montre qu'ils sont dans le « rapport de Fermat » : sin i = HK/OK, sin r = OL/OK donc HK/sin i = OL/sin r, soit, comme sin i /V = sin r /v (par construction, billet précédent,V étant la vitesse dans le milieu du haut, v < V la vitesse dans celui du bas) HK / V = OL / v.

Deuxième étape : on trace (en vert) le rayon AK. Il coupe OH en un point I. On remarque que KI est l'hypoténuse d'un triangle KHI rectangle en H, donc KH < KI. On remarque aussi que IA est l'hypoténuse d'un triangle AOI rectangle en O, donc AO < AI. Pour la même raison, on a aussi BL < BK.

Troisième étape : On mesure le temps T_AKB (temps mis à parcourir la distance AKB).

T_AKB = T_AK + T_KB = T_AI + T_IK + T_KB  > T_AO + T_KH + T_KB (compte tenu de l'étape 2, puisque AO < AI et KH < KI).

Or, T_KH = HK/V et (première étape) = OL/v donc T_KH = OL/v ; or, OL/v = T_OL, donc T_KH = T_OL (c'est la conclusion de la première étape, les deux longueurs sont dans le rapport de Fermat, i.e. la lumière met un temps égal à les parcourir).

On reporte donc ci-dessus : T_AKB > T_AO + T_KH + T_KB = T_AO + T_OL + T_KB > T_AO + T_OL + T_LB puisque KB > LB. Donc T_AKB > T_AO + T_OL + T_LB = T_AOB. Donc le chemin AOB correspondant à sin i /V = sin r /v est bien le plus court. Merci Huygens !

AMA, encore un sigle... Année mondiale de l'astronomie, telle qu'a été déclarée 2009 par l'ONU et l'UNESCO. 2005, c'était la physique, en l'honneur du 100° anniversaire des quatre articles d'Einstein (relativité restreinte, E=mc², mouvement brownien, quanta de lumière), 2009 célèbre le 400° anniversaire de la découverte de la lunette astronmique par Galilée. Une révolution aussi, qui allait lui permettre d'observer les satellites de Jupiter (les « astres médicéens ») et les phases de Vénus. Deux observations majeures qui ébranlaient le dogme géocentrique... Meilleurs vœux à tous fidèles lecteurs, que votre soif de connaissances (« libido sciendi ») soit renouvelée en même temps qu'étanchée aux sources que vous trouverez... et commençons par un poncif en ces temps de morosité et de crise : la connaissance n'est-elle pas synonyme de progès pour chacun et pour l'humanité ?

Entamons l'AMA par un billet d'astronomie, découvrons un des points de Lagrange (et son application) : quand un petit corps quitte-t-il l'attraction terrestre pour passer à l'attraction solaire ? D'abord, un point : la question, pourtant intuitive, est mal posée : on ne quitte jamais une attraction ni ne rejoint l'autre, car on est toujours soumis à une attraction, la force de gravitation étant de portée infinie. Par ailleurs, même la Lune, gravitant autour de la Terre, est soumise avec cette dernière à la gravitation solaire. Mais on a du mal à se faire à ces notions, et la question ci-dessus vient spontanément.

Le point de Lagrange est un cas particulier du « problème des trois corps » (l'un des plus difficiles de la mécanique céleste !), traité avec l'approximation m petit devant M, M petit devant M', d petit devant D ; par exemple m satellite (Lune ou télecscope spatial), M Terre, M' Soleil.

Le point de Lagrange est la position de m où s'équilibrent la force d'attraction que subit m de la part de la Terre M, la force d'attraction du Soleil M', et la force centrifuge de rotation de m autour du soleil, cette dernière étant égale à ω²(D-d), ω étant la vitesse angulaire de m :

A droite, on exprime simplement que la Terre tourne à la même vitesse angulaire que le satellite ; en remplaçant ω dans la première formule, la résolution se fait avec un terme de développement en série de premier ordre à gauche, comme d est petit devant D :

Pour le système Terre-Lune perturbé par le Soleil, on trouve une distance d = 1 500 000 km (on vérifie au passage que d est petit devant D, distance Terre-Soleil, environ 1%). Ce « premier point de Lagrange » a une application : c'est là qu'on a mis en 1995 le satellite SoHO d'observation de l'activité solaire. Pourquoi ? Grâce à ce qui précède, il reste sur l'axe Terre-Soleil en permanence : alors qu'il devrait aller plus vite que la Terre car plus proche du Soleil, sa rotation est ralentie par le champ de gravitation terrestre qui le « ramène » dans l'axe. Ainsi, tourné vers le Soleil pour mieux l'observer, il accompagne la Terre dans son mouvement de révolution autour du Soleil, restant à égale distance d'elle et proche (il ne se met pas à tourner autour du Soleil en s'éloignant de la Terre), ce qui facilite les communications avec le satellite et sa surveillance. Voilà une application du (premier) point de Lagrange !