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CouvPocheIndispensables
J'ai créé ce blog lors de la sortie de mon livre "Les Indispensables mathématiques et physiques pour tous", Odile Jacob, avril 2006 ; livre republié en poche en octobre 2011 (achat en ligne) (sommaire du livre).
Je développe dans ce blog des notions de mathématiques et de physique à destination du plus large public possible, en essayant de susciter questions et discussion: n'hésitez pas à laisser vos commentaires!

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Indispensables astronomiques

Nouveauté octobre 2013, mon livre "Les Indispensables astronomiques et astrophysiques pour tous" est sorti en poche, 9,5€ (éditions Odile Jacob, éidtion originale 2009). Comme mon premier livre (Les Indispensables mathématiques et physiques), c'est un livre de notions de base illustrées avec des exemples concrets, s'appuyant sur les mathématiques (géométrie notamment) pour l'astronomie, et sur la physique pour l'astrophysique. Je recommande vivement sa lecture.

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29 novembre 2008 6 29 /11 /novembre /2008 09:48

EPR, 3° ou 4° génération, pendant le débat télévisé des élections présidentielles flottait comme une vague imprécision à ce propos. Mais, plus embêtant, ce que recouvrent ces trois lettres était, là, totalement inconnu. EPR = european pressurized reactor, c'est le terme « pressurisé » qui nous intéresse ici, parce qu'il recouvre une notion physique simple qui devrait nous aider à retenir comment fonctionne un tel réacteur.

La terminologie d'abord, on parlait avant de REP = réacteur à eau pressurisée (ou pour les connaisseurs PWR = pressurized water reactor). Et pourquoi parle-t-on d'eau pressurisée ? Si l'on comprend cela, on retient le fonctionnement du réacteur dans son ensemble.

 

 

Le circuit rouge est le circuit à eau pressurisée. C'est lui qui récupère la chaleur du réacteur à fission de combustible d'uranium (en rouge à gauche) : on parle d'eau caloriportrice = porteuse de la chaleur, à 300-320°C dans un réacteur nucléaire. Le circuit rouge réchauffe le « ballon bleu » au centre, rempli d'eau : un peu comme lorsque vous touchez votre radiateur, votre main se réchauffe (et le radiateur chauffe la pièce), les tuyaux d'eau du circuit rouge réchauffent l'eau du circuit bleu.

Alors maintenant la question-clef : avez-vous déjà vu de l'eau à 300°C ? Non, car à température ordinaire, elle est devenue vapeur d'eau dès les 100°C. Pour avoir de l'eau liquide à 300°C, il faut qu'elle soit sous pression  (loi de Clapeyron, le changement d'état se fait suivant une courbe en p/T, p étant la pression et T la température, voir aussi le diagramme de phases ou diagramme de Clapeyron). C'est pourquoi le circuit rouge est un circuit à eau pressurisée, à 155 bars (soit 155 fois la pression atmosphérique), d'où le nom REP, et par analogie EPR.



Une bonne image animée sur Wikipedia {{en}}



Pour ceux qui souhaitent approfondir : Pourquoi 320°C pour ce circuit primaire et pas plus ? Je suppose : parce que le point critique de l'eau est à peine au-dessus, à 374°C, et qu'à partir de cette température on ne distingue plus l'état gazeux de l'état liquide (merci à Benjamin Bradu de nous avoir remémoré ces notions de diagramme des phases, de point triple, de point critique dans son article BibNum sur Kamerlingh Onnes prix Nobel de physique 1913)


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12 novembre 2008 3 12 /11 /novembre /2008 08:23

Non, ce n’est pas un billet pour un régime minceur, mais un thème savoureux issu des « Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres » (Bachet de Méziriac, 1612). D’ailleurs, sans que je le susse, un de mes précédents billets (le tour des 21 cartes) était dans ce recueil. Un cador, ce Bachet (1581-1638), injustement éclipsé par Bezout né cent ans après sa mort.

 

Etant donnée telle quantité que l’on voudra pesant un nombre de livres depuis 1 jusques à 40 inclusivement (sans toutefois admettre les fractions), on demande combien de poids pour le moins il faudrait employer à cet effet.

Ou : Trouver une série de poids avec lesquels on puisse faire toutes les pesées en nombre entier depuis 1 jusqu ‘à la somme des poids employés, cette somme étant la plus grande possible relativement au nombre de poids.


S’il n’y a que deux poids a et b, mettons a < b, on peut certes peser b + a, mais on doit aussi peser b + 1 qui lui est inférieur ou égal ; donc a = 1 : s’il n’y a que deux poids, l’un d’eux est forcément 1.


Le poids suivant est 3 : car avec 3 l’on pèse aussi 2 (3 d’un côté de la balance, 1 de l’autre coté) et 4. Tandis qu’avec 2 (et 1 qu’on a déjà) on ne peut peser 4, donc 3 est plus avantageux. D’autre part on ne peut sauter à 4 dès le deuxième poids, car avec 1 et 4 on aurait certes 3 (4 d’un côté de la balance, 1 de l’autre coté) mais il serait impossible d’avoir 2. Il en va de même pour tout poids supérieur à 4, qui ne permet pas de peser 2, même par différence. Donc le second poids est 3.

 

De proche en proche on peut ainsi démontrer que les quatre premiers poids sont 1, 3, 9, 27 : ce sont ces quatre poids qui permettent d’aller jusqu’à 40 (égal à 27 + 9 + 3 + 1) et de résoudre le problème posé par Bachet. Sachant qu’on peut peser par différence entre les plateaux, par exemple 19 se pèse avec 27 et 1 d’un côté, 9 de l’autre.

 

La solution générale est, on l’a compris, les poids de type 3n ; les n premiers permettent de peser jusqu’à S = 1 +…+ 3n ; le poids suivant dont on a besoin pour peser est 2S+1, on obtient alors tous les poids entre (S+1) et (2S+1) par différence de pesée sur les plateaux.

Or, S = ½ (3n+1 – 1) (multipliez par 3 : 3S = S +3n+1 – 1) : et donc le poids suivant (2S+1) c’est bien 3n+1; S étant la  dernière pesée possible avec les n premiers poids, on a besoin du poids suivant pour continuer ; ainsi la pesée suivant S, soit ½ (3n+1 +1) s’obtient en mettant 3n+1 d’un côté, tous les autres poids de l’autre [on pèse 3n+1 – S  = ½ (3n+1 +1) ]

Un délicieux problème dont je ne vous donne ici que la saveur, vous le lirez bien mieux décrit dans le livre du sieur Bachet que vous trouverez sur Internet (Edition Gauthier-Villars 1884, bibliothèque CNAM, page 154), mais dont j’aimerais bien avoir l’édition originale de 1612 entre les mains !


Sauf erreur de ma part – je n’ai toutefois rien vu sur cette comparaison – ce problème est analogue à celui du minimum de billets ou de pièces de monnaie : trouver un système monétaire qui minimise le nombre de pièces différentes – [à ceci prêt qu’on peut avoir plusieurs pièces de 1, 3, 9, etc dans son porte-monnaie]. Mais il est vrai que payer 19 euros à un commerçant en lui tendant une pièce de 27 et une pièce de 1 serait certes pédagogique mais guère commode !

 

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4 novembre 2008 2 04 /11 /novembre /2008 14:51

Une application intéressante des mathématiques : les algorithmes de « page ranking » (classement des pages) des moteurs de recherche comme Google. Si l’on cherche à attribuer un classement Xj à une page j, on s’intéresse aux pages i « pointant » vers j : Xj va être une somme des « points » Vij qui sont accordés à j par chacune des pages i, Xj = ∑i Vij, sachant que :

1) plus la page i qui pointe vers j a elle-même un rang élevé, plus le rang de j est élevé : en gros, Vij est proportionnel à Xi. Il est intéressant d’être référencé par des pages qui sont-elles mêmes bien classées.

2) Inversement, plus la page i possède de liens vers d’autres pages, plus l’intérêt qu’elle porte à la page j est dilué : Vij est inversement proportionnel au nombre Ni de pages pointées par i.

Proportionnalité à Xi, proportionnalité inverse à Ni, on peut donc écrire de manière approximative : Xj =∑i Xi/Ni.

 

 

Or, le moteur de recherche est capable de connaître le Ni, nombre de liens sur chaque page (pointant vers j). Les Ni sont les paramètres, les Xi les inconnues. Un algorithme de page ranking revient, grossièrement, à trouver la solution d'une équation matricielle comme :

X = M X, où M est la matrice des coefficients 1/Ni.

 


Comme on se l'imagine, la résolution est plus compliquée, faisant intervenir le théorème de Perron-Frobenius sur les éléments propres de certaines matrices, et les chaînes de Markov : mais poser le problème ainsi me paraissait intéressant, comme application des mathématiques dans la vie quotidienne.

 

(merci à Jacques Bair et à son article dans le magazine TangenteSup de septembre-octobre de nous avoir mis sur cette piste)
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23 octobre 2008 4 23 /10 /octobre /2008 11:48
On part de l’algèbre (de Boole), de la logique, et de l’opération algébrique élémentaire [1 + 1 = 2 ? non, 10… en base 2 ; me revient l’histoire de Toto qui se plaint à son père « L’instituteur y fait rien que m’embêter à me poser des questions difficiles »…l’instituteur à l’enfant, devant le père courroucé : « OK, Toto, 2 + 2 çà fait combien ? » Toto : « Tu vois papa, y commence »] et on va vers l’opération algébrique, la même , l’addition, dans un ordinateur, une addition juste un peu plus complexe, et faite à une cadence de 1,5 milliards (processeur 1,5GHz) d’opérations unitaires par seconde (là Toto est indiscutablement battu…).

 

 

Etape 1 : On prend un transistor N (p.e. du silicium de valence 4 dopé par du phosphore de valence 5) (schéma) : si la grille G=0 (0V), le transistor est bloqué, aucun courant ne passe ; si G=1 (2V), le transistor est passant. Pour un transistor P (p.e. du silicium dopé au bore de valence 3), c’est rien que le contraire, comme dirait Toto.

 

 

Etape 2 : On réalise un inverseur (schéma) : si A est au potentiel haut (2V, A = 1): le transistor P (en haut, distingué du N par un point vert) est bloqué ; le transistor N (en bas) est passant. B est au potentiel de la masse en bas : B = 0. Si A est au potentiel bas (0V, A = 0), c’est rien que le contraire…B est au potentiel de la flèche en haut (2V, A=1). On a bien réalisé un inverseur avec deux transistors, avec la « table de vérité » suivante :

 


A B
1 0
0 1



Etape 3 : On réalise un full-adder (FA, addition de deux bits). Je vous passe le schéma électronique, plus compliqué, avec de nombreux transistors, mais regardons sa table de vérité (comme l’inverseur, tableau).

 

C A B R S
0 0 0 0 0
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1
1 0 0 0 1
0 1 1 1 0
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1

Avec trois entrées A,B,C (pour additionner deux bits, on besoin de trois entrées, on comprendra pourquoi à l’étape suivante), elle nous donne deux sorties R et S telles que A + B + C = 2R + S [ou, en base 2, A + B + C = 10R + S] ; et R, c’est quoi ?… une retenue ! Le full-adder, c’est le composant qui fait comme vous quand vous posez une addition à deux chiffres 9 + 7, il « pose » 6 (S) et il « retient » 1 (R).

 

Etape 4 : Alors maintenant, on réalise un « additionneur 8 bits », comme son nom l’indique il additionne deux nombres, soit deux octets – huit bits chacun, des 0 ou des 1, A7A6A5AA3A2A1A0 et B7B6B5B4B3B2B1B0. Vous mettez 8 full-adders en série, au premier à droite vous injectez A=A0, B=B0, C=0 (notations A,B,C de l’étape 3), il vous pose S0 et retient R0 ; au second à côté vous injectez A=A1, B=B1, C=R0 (la retenue, justement), il vous pose S1 et retient R1, et ainsi de suite…. !

 

L’additionneur 8 bits, c’est le composant qui fait comme vous quand vous posez une addition à plusieurs chiffres, il transporte les retenues d’un FA à l’autre vers la gauche comme vous transportez les retenues d’une colonne à l’autre vers la gauche… (une précision sur C dernière sortie à gauche sera donnée en commentaire). On obtient bien la somme S7S6S5S4S3S2S1S0

 

 

Etape 5 : moi j’aime bien visualiser les choses. Les étapes 1, 2, 3 correspondent à une réalité physique, à un composant électronique : l’additionneur 4bits est par exemple chez le fabricant TexasInstr le 7483. Dans la même famille des 7400, voyez la photo d’une broche 7400 correspondant à quatre portes logiques (NON-ET). Cette photo familière est là pour visualiser la broche, comprendre ce qu'il y a derrière : une architecture de circuit (comme celles du transistor ou de l'inverseur données ci-dessus) et une table de vérité.

 

 





Tout ceci est bien expliqué (sans Toto) sur Wikibooks
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12 octobre 2008 7 12 /10 /octobre /2008 18:12
Le site BibNum " Textes fondateurs de la science", sur lequel j'ai pas mal travaillé, a été ouvert cette semaine à http://bibnum.education.fr, avec pour l'instant une douzaine de textes commentés.
Il s'agit de textes importants de la science (pour l'instant surtout physique et mathématiques, mais à étendre à la biologie, aux sciences humaines, à la philosophie,...) commentés et analysés par des scientifiques d'aujourd'hui, afin d'expliquer la démarche de l'auteur, la mise en contexte de sa "découverte" et son actualité dans la science de nos jours ou ses applications.
L'histoire des sciences et des techniques est utile pour l'enseignement de la physique et des mathématiques; elle est utile pour la compréhension de la science mais aussi de la démarche scientifique : peut-être certains professeurs de lycées et collèges trouveront à cet effet de l'inspiration à la lecture de ces "textes fondateurs" et de leur mise en perspective.

Vous pouvez aussi proposer des textes à commenter, ou proposer de les commenter vous-même (formulaire de contact).

[voir aussi "Qui sommes-nous?", "FAQ", "Recommandations aux auteurs (PDF)"]
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28 septembre 2008 7 28 /09 /septembre /2008 08:50

J'ai eu la chance de participer au cinquantenaire de l'Institut des Hautes études scientifiques (Bures s/Yvette) ; sans doute un des plus importants centres au monde en mathématiques et en physique mathématique, animé par Jean-Pierre Bourguignon. Toutes les conférences étaient intéressantes, j'en mentionnerais deux.

J'avais déjà évoqué dans ce blog  Marc Chemillier et les "ethnomathématiques" ; il nous parlé du Vanuatu (ex- Nouvelles Hébrides), et des artistes qui y dessinent des tortues sur le sable, voir la vidéo :

Un cycle d'Euler autrement plus compliqué que celui de l'enveloppe ! Mais il respecte lui aussi la règle - un graphe peut être dessiné sans lever la main si et seulement s'il possède zéro ou deux sommets d'ordre impair (celui duquel on part et celui auquel on arrive; si c'est le même point de départ et d'arrivée il y a 0 sommet d'ordre impair ; pour les sommets qui ne sont ni point de départ ni point d'arrivée, on y arrive et on en repart à chaque fois, donc ils sont forcément d'ordre pair).
La conférence d'Etienne Ghys était totalement nouvelle pour moi - le titre en était alléchant « 3264 » (lire  cette conférence sur la page d'E.Ghys). Il s'agissait principalement de coniques (la conique correspond à la coupe par un plan d'un cône complet -pas un demi-cône :ce peut être une ellipse, une parabole ou une hyperbole). Il nous a rappelé un résultat de Chasles (1793-1880) : il existe 3264 coniques tangentes à cinq coniques données dans un plan ! Ces coniques peuvent être réelles ou complexes ;  les mathématiciens ont cherché à savoir lesquelles pouvaient être réelles.

Dessin Etienne GhysEn 1997, Les mathématiciens Ronga, Tognoli et Vust ont exhibé un cas où ces 3264 coniques sont réelles (chacune des arêtes d'un pentagone supporte une hyperbole, cf. figure). En 2005, un jeune mathématicien français, Jean-Yves Welschinger, a démontré, pour les tangentes à cinq ellipses non sécantes dans un plan, qu'il existait au moins 32 coniques réelles tangentes (qu'on peut effectivement dessiner), et a démontré l'optimalité de son théorème : il en existe au moins 32 pour toute configuration des ellipses, mais il y a des configurations où il n'y en a qu'effectivement 32...

Ghys a qualifié ce résultat de « beau théorème » au sens que lui donnait Hilbert : 1) simple à énoncer ; 2) faisant suite à une longue histoire (c'est la cas après les coniques de Gauss et de Chasles) ; 3) faisant appel à des méthodes nouvelles (Welschinger utilise la méthode des jauges, inspirée de la physique théorique récente ; nul doute que Chasles ignorait cette méthode, idem. Fermat & Wiles) ; 4) engendrant de nouveaux développements possibles (c'est le début d'une « géométrie énumérative réelle »).

Une belle après-midi, avec de nombreux collégiens et lycéens, montrant des mathématiques vivantes et animées.

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6 septembre 2008 6 06 /09 /septembre /2008 08:06

On a du mal à se convaincre que 0,99999...... = 1 (en tout cas j'ai moi du mal à m'en convaincre) ; c'est ce qu'on appelle un développement décimal illimité impropre. Le nombre 1 possède deux développements décimaux illimités 1,0000000.... et 0,9999999...., le second bien qu'impropre donne bien 1 : tous les informaticiens vous le diront (puisque l'ordinateur ne manipule pas un nombre de chiffres infini après la virgule) ; les mathématiciens philosophes vous diront « mais oui, cela vaut bien 1, il s'agit de conceptualiser ce que représente une suite infinie de chiffres ! » ; les mathématiciens non philosophes, adeptes de travaux pratiques, poseront X = 0,99999...., ils feront 10X = 9,999999...= 9 + X donc X = 1.

Pourtant on n'a aucun mal à se représenter que 1/3 = 0,333333..... là, le développement décimal illimité est propre (c'est le seul qui convient), mais la chose n'est pas fondamentalement différente. C'est-à-dire qu'on se voit mieux, expérimentalement, en travaux pratiques, faire la division à la main, abaisser les 0 après les 1, écrire les 3, etc.

Si vous aimez les TP de maths, et ne jurez que par les opérations, partez du résultat que vous avez trouvé après votre division 1/3 = 0,33333.... . Multipliez cette équation par 3 (encore une autre opération, vous êtes d'accord de la faire ?) ; vous obtenez... quoi : 1 = 0,999999.... Je vous l'avais bien dit, non ?


A propos de ce terme « impropre », en mathématiques (ici le développement décimal impropre), m'est revenue une anecdote salace pour la rentrée. Le professeur de MathSup rend les copies, et en grand au stylo rouge en haut de la copie, je vois la note et le commentaire :

« Attention une intégrale peut être impropre par les deux bouts ! »

Ce prof n'était pourtant pas un rigolo. Pas inventé, je crois même que j'ai encore la copie.


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7 août 2008 4 07 /08 /août /2008 07:29

(lire le précédent billet, ceci est la suite)

2° variante du pouce. Refaites A, puis B si c'est B qui décale l'image (ou C si c'est C). Toujours dans cette position décalée, évaluez « au pif » , ou plutôt au pouce (mouillé), la distance mesurée par ce décalage. Par exemple vous visez un arbre en A, en position décalée (B ou C) vous êtes aligné sur un arbre voisin, à peu près dans le même plan perpendiculaire à vous : évaluez la distance entre les deux arbres, par exemple en vous disant, il y a un décalage de trois troncs, et le tronc de cet arbre est d'à peu près 20 centimètres. Multipliez par 10, ceci vous donne la distance à laquelle vous êtes de l'arbre. Etonnant non ? Méthode bien connue des scouts pour mesurer la distance qui sépare d'un objet (et sans doute aussi des militaires!). Elle est utile, car mesurer au doigt mouillé une distance entre deux objets situés dans un plan perpendiculaire à soi est plus facile que d'évaluer une distance depuis soi-même.

Et la parallaxe dans tout cela ? Oui c'est pourtant bien cela mon colonel ! Dans la variante A comme la variante B, le décalage est dû à la parallaxe induite par votre œil non directeur : situé à quelques centimètres de votre œil directeur, il induit un angle de parallaxe constant quand vous ne regardez qu'avec lui. Tous les objets vont avoir cet écart angulaire. Pour reprendre la comparaison avec les étoiles, votre œil droit c'est la Terre au solstice d'été, et votre œil gauche la Terre au solstice d'hiver. Pour votre pouce, l'écart angulaire α est tel que tg(α/2) = distance de votre nez à votre œil / distance de votre nez à votre pouce. Le rapport dix que nous en déduisons est à peu près constant pour tout type d'individu (humain), enfant, femme, homme, grand, petit. Toutes les distances rentrant dans cet écart angulaire α peuvent être évaluées avec ce facteur 10, en vertu de l'égalité des triangles semblables:

Distance évaluée "au pif" entre les deux objets décalés au loin / Distance qui sépare votre pouce de l'objet au loin = Distance entre vos deux yeux / Distance entre le milieu de vos yeux et votre pouce au bout de votre bras tendu = 1/10

(pour être précis j'ai mesuré moi-même expérimentalement le dernier rapport, j'ai trouvé 7 cm et 63 cm, soit 1/9 : donc moi je multiplierai par 9)

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7 août 2008 4 07 /08 /août /2008 07:15

J'ai décrit dans un précédent billet comment l'angle de parallaxe sert au calcul de la distance des étoiles, et les péripéties que cette méthode a connues dans l'histoire de l'astronomie. Mais la parallaxe, c'est aussi un effet simple, quotidien, et même qui peut vous servir à mesurer des distances terrestres et non stellaires !

Première application (négative) : l'erreur de parallaxe. Quand vous utilisez votre double-décimètre, ou plutôt votre règle graduée (car il faut une certaine épaisseur pour que cette erreur se produise), et que vous ne regardez pas bien au-dessus du point que vous cherchez à mesurer, vous allez avoir une mesure légèrement décalée sur votre règle.

Deuxième application, que nous allons discuter. Tendez le bras à l'horizontale devant vous, dressez votre pouce à la verticale, ongle vers vous.
1° variante du pouce. A - Vos deux yeux ouverts, alignez votre pouce sur un repère vertical éloigné d'au moins cinq mètres. Même si cela apparaît flou, votre regard « accommode » votre pouce et ce repère vertical. B - Ensuite fermez l'œil gauche, gardez l'œil droit ouvert. C - Ensuite fermez l'œil doit, gardez l'œil gauche ouvert. Normalement, dans un des deux cas (B ou C), votre pouce a dû se décaler. La position A coïncide avec une seule des deux positions B et C, qui ne coïncident pas entre elles : si A coïncide avec B (quand vous faites C le pouce se déplace), on dit que votre œil directeur est l'œil droit. C'est lui qui dirige votre regard quand vous « accommodez » en A, quand vous fermez votre œil directeur l'image se décale ; si A coïncide avec C, votre œil directeur est l'œil gauche.
L'œil directeur est une propriété physiologique (comme être gaucher ou droitier) : cette propriété a son importance, moi je l'ai apprise au service militaire : ayant l'œil directeur gauche, je devais mettre le fusil à gauche pour viser dans la lunette, ce qui pour un droitier était incommode. Le décalage de l'image est une conséquence de la parallaxe (nous y reviendrons), mais ce n'est pas à l'armée qu'on me l'a dit.

(suite prochainement pour ne pas faire un billet trop long: la deuxième variante + l'explication - en attendant entraînez-vous avec cet exercice physiologique de  la première variante - non recommandée pour les cyclopes - ceux qui connaîtraient la deuxième variante, on ne souffle pas)

(lire la suite - 9 août)

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25 juillet 2008 5 25 /07 /juillet /2008 09:00
Je m'intéressais à la mathématique de l'arc-en-ciel (peut-être pour un prochain livre pour l'Année mondiale de l'Astronomie 2009 ?) et j'avais besoin de la dérivée de Arcsin (arcsinus, l'inverse de sinus, si y=sinx, alors x=arcsiny). Eh oui, cela paraît incroyable, mais on a besoin de cela si on veut approfondir le phénomène de l'arc-en ciel ! L'arc-en-ciel, c'est un mirage qu'on observe dans un rideau de pluie ou d'humidité, quand on tourne le dos au soleil, sur une certaine incidence des rayons solaires i qui minimise une fonction f(i) sous contrainte sini=nsinr (loi de réfraction de Descartes, n= 4/3 indice de l'eau)... Et, tout d'un coup, un trou, je n'arrive pas à me rappeler la formule pour la dérivée de l'inverse d'une fonction f. Autrement dit, je connais la dérivée de la fonction sinus, comment obtiens-je la dérivée de la fonction Arcsin?
Je me souviens de (f × g)', mais pas de
(f--1)’ ...


C'est alors que je me rappelle que la dérivée est un opérateur de composition, puisqu'il exprime, en physique, des mouvements infinitésimaux qui peuvent être eux aussi composés:

d f[g(x)] / dx = d f(y)/ dy  × dy/dx, où l'on pose y = g(x)
d f[g(x)] / dx = f'(y)  × g'(x)
d (f o g) = g' × (f' o g), où o est la fonction composée

Voilà la formule que je cherchais ; à partir de ce moment-là c'est plus facile ; on peut aussi en déduire (f--1)’ mais ce n'est pas nécessaire. J'écris la formule avec g = Arcsin et f = sin :

f o g = Id (Id est la fonction Id(x)=x)
En dérivant et en appliquant la formule:
1 = d(Id) = d (f o g) = Arcsin' × sin ' (Arcsin x) = Arcsin'
× cos (Arcsin x)
Donc la dérivée de Arcsin est Arcsin'(x) = 1/
cos (Arcsin x)

Je suis bien avancé, me direz-vous, mais cos (Arcsinx) est un nombre qui possède une propriété :

cos² (Arcsinx) + sin² (Arcsinx) = 1
cos²(Arcsinx) = 1 - x²
(Arcsinx)' = 1/√(1-x²)

J'aurais pu retrouver cette dérivée facilement sur Internet, mais je me suis dit que les mathématiques, c'était beau, notamment à partir de la physique de l'arc-en-ciel ! Pour la beauté de cette formule, j'ai continué pour retrouver la dérivée la plus simple, celle de l'exponentielle (qui est sa propre dérivée) g = exp , f = Log :

1 = exp' × Log ' (exp)
Or Log' (y) = 1/y, donc exp' = 1/(1/exp) = exp.
CQSMCQFD
(ce qu'on savait mais ce qu'il fallait démontrer)


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Alterscience (janvier 2013)

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Récréations mathéphysiques

RécréationsMathéphysiques

Mon dernier ouvrage est sorti le 14 octobre 2010 : Récréations mathéphysiques (éditions Le Pommier) (détails sur ce blog)

Einstein, un siècle contre lui

J'ai aussi un thème de recherche, l'alterscience, faisant l'objet d'un cours que j'ai professé à l'EHESS en 2008-2009 et 2009-2010. Il était en partie fondé sur mon second livre, "Einstein, un siècle contre lui", Odile Jacob, octobre 2007, livre d'histoire des sciences (voir billet sur ce blog, et notamment ses savoureux commentaires).

Einstein, un siècle contre lui