24 février 2008
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La cycloïde, quelques idées physiques à présent : c’est la courbe suivie par un petit clou qui se serait fiché sur votre roue de vélo (la valve du vélo, comme elle n’est pas exactement au bord du cercle tournant, suit une courbe plus générale dite trochoïde). Mais tous ces noms mathématiques compliqués cachent des phénomènes physiques simples et intéressants. J’en veux pour preuve deux propriétés physiques remarquables de la cycloïde retournée (sa symétrique par rapport à un axe horizontal), quand on y fait glisser un corps pesant comme une bille.
C’est d’abord une courbe tautochrone : placez une bille en haut de la courbe, une autre au milieu, une troisième tout près du bas de la cuvette, elles arriveront toutes trois en même temps en bas de la cuvette! Cette propriété physique a été exploitée par Christiaan Huygens (1629-1695) pour construire des horloges.
Plus étonnant encore (figure ci-dessus), c’est une courbe brachistochrone : c’est le plus court chemin pour aller d’un point à un autre (il arrive même que le chemin remonte !). Vous croyiez que le chemin le plus rapide pour aller de A à B est la droite AB, eh bien non c’est la cycloïde !
(voir l’animation Mathcurve)
Ces deux propriétés physiques de cette courbe mathématique sont remarquables. Malheureusement les mathématiques sous-jacentes (les équations de la cycloïde) et les appellations grecques sont assez compliquées ! Est-ce pour cette raison qu’on en entend rarement parler ?
Du point de vue de la physique, je me suis demandé si l’on ne pouvait pas « intuiter » (sans passer par les maths et les équations compliquées de la cycloïde) la propriété de tautochronie dans un champ de gravité (accélération constante) à partir de la définition de la cycloïde, à savoir le bord de la roue qui tourne à vitesse constante. Je me suis cassé les dents, n'ai pas trouvé... si quelqu'un a une idée ? (attention ce n'est peut-être pas possible...)
9 février 2008
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(titre à chanter sur l'air "I like to be in America" de West Side Story)
Dans mon livre (chapitre 17, de la main de Mme Röntgen à la fission nucléaire), je donne quelques applications de la radioactivité, j’en ai donné aussi une sur ce blog, la datation au carbone 14. Je vous en présente une autre aujourd’hui, les détecteurs d’incendie à l’américium 241.
La plupart des détecteurs d’incendie (hôtels, lieux publics) fonctionnent avec une mini-source de ce produit radioactif (1 gramme de ce produit permet de fabriquer 5 000 détecteurs !). Le fonctionnement en est assez simple : le détecteur est constitué de deux plaques chargées par une pile, l’une positivement, l’autre négativement. Les molécules d’azote et d’oxygène de l’air, électriquement neutres, ne sont en temps normal pas attirées par une plaque ou l’autre : le courant ne circule pas. Mais, en présence de l’américium, les choses se passent différemment : l’américium émet une radioactivité alpha (la particule alpha est un noyau d’hélium 4He2, c’est à dire un atome d’hélium sans ses deux électrons, donc chargé positivement) ; ces noyaux arrachent leurs électrons aux molécules d’azote et d’oxygène de l’air ; celles-ci s’ionisent, c’est à dire deviennent chargées positivement (le dispositif est d’ailleurs appelé une chambre d’ionisation) ; elles sont attirées par la plaque négative, de même les électrons sont attirés par la plaque positive ; un courant permanent s’installe, fonctionnement normal du détecteur, quand il n'y a pas d’incendie. On a donc créé artificiellement un courant dans l’air situé à l’intérieur du détecteur, en le rendant conducteur grâce à l'Américium élément chimique radioactif.
Que se passe-t-il alors en cas d’incendie ? Les fines particules en suspension de la fumée, dans l’espace du détecteur, viennent capter des ions, les détournant de la plaque négative : l’intensité du courant diminue, et c’est précisément ce que détecte le détecteur, déclenchant l’alarme (ou la donnant à une centrale, pour un simple capteur).
L’américium est un sous-produit des centrales nucléaires, un déchet de fission. L’uranium 238 peut capter un neutron (lors du bombardement de neutrons pour la fission) sans se fissionner ; en plusieurs étapes dans le réacteur, dont certaines de radioactivité beta, il se transforme en plutonium 241. Une dernière réaction de radioactivité beta du Plutonium permet d’obtenir de l’américium en quantités non négligeables :
Les réactions de radioactivité beta (comme celles-ci), dangereuses pour la vie humaine, se font toutes en réacteur nucléaire. La radioactivité alpha (comme celle qui se produit dans le détecteur) est une réaction peu puissante, non nocive.
3 février 2008
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On connaît la forme de la cycloïde (figure) qui correspond à la courbe décrite par un point fixe sur un cercle qui roule sans glisser sur un plan. Pascal et Mersenne s’étonnaient que les Anciens n’aient pas découvert cette courbe : de fait, c’est au XVII° siècle qu’elle va être " découverte " et caractérisée. Nous l’étudierons prochainement du point de vue de la physique, car c’est une courbe qui possède des propriétés naturelles intéressantes. En attendant, pour vous mettre en haleine, une petite devinette physico-mathématique : soit une boule de billard frappée à une vitesse V (donc lancée dans un mouvement de rotation sans glissement sur le tapis), peut-on exprimer en fonction de la vitesse V la longueur entre deux points de rebroussement de la cycloïde, c’est à dire la longueur AB ?
Published by Alexandre Moatti
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"Jeux" et curiosités mathématiques
21 janvier 2008
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Certaines lois économiques, même si elles ne sont pas scientifiquement fondamentales, sont intéressantes car elles font appel à l’intuition, et par ailleurs elles constituent une belle application des mathématiques à la vie courante. On a vu dans un précédent billet le principe des enchères de Vickrey (prix Nobel d’économie), et l’utilisation de ce mode d’enchères dans des sites internet.
Voyons à présent la « loi de Metcalfe » ; elle ne porte pas le nom d’un prix Nobel, mais, comme la loi de Moore, d’un dirigeant de l’industrie (fondateur de la société 3M) ; c’est une loi empirique, que vous pouvez « intuiter » facilement. Elle dit que certains réseaux à N utilisateurs croissent en fonction de N².
D’abord, par contraste, l’exemple d’un réseau qui n’obéit pas à cette loi : les abonnés à une chaîne de télévision. En jargon télécoms, c’est du « point-to-multipoint », ou du « broadcasting », c’est à dire qu’il n’y a pas de communications entre les abonnés eux-mêmes, mais entre un point central et les abonnés : ces réseaux croissent normalement en fonction du nombre d’abonnés N.
En revanche, les réseaux à communication entre utilisateurs, comme ceux de téléphone fixe, de GSM, d’e-mail, de peer-to-peer, ou les réseaux communautaires (Facebook et autres) actuellement en pleine croissance, obéissent à cette loi : le réseau prend de la valeur aux yeux d'un utilisateur en fonction du nombre potentiel d’utilisateurs avec lesquels il peut entrer en relation ; chacun des N utilisateurs peut le faire avec N utilisateurs (en fait N – 1 pour être précis, s’il ne se compte pas lui-même), donc existe un potentiel de N² communications possibles.
Les réseaux de Metcalfe sont des réseaux où la croissance, en N² donc, peut présenter deux phases fort différentes, et différentes des réseaux à croissance en N :
- Tant que N est faible, le réseau ne décolle pas : vous n’avez pas envie de vous abonner à un réseau où vous pourriez entrer en relation avec un nombre limité de personnes.
- A partir d’un certain nombre d’abonnés, l’abonnement se justifie, et le réseau va «exploser», avec un effet boule de neige en N² et non un effet linéaire en N.
(c’est ce qui semble se passer actuellement avec les réseaux communautaires de type Facebook ; c’est ce qu’il m’a semblé se passer entre septembre 1997 et janvier 1998 avec les GSM en France : on en voyait très peu avant cette période, par comparaison par exemple avec l’Italie, et d’ailleurs la France était à la traîne du développement du GSM en Europe ; après 1998, le réseau GSM a commencé à croître de manière importante).
Vous avez d'autres idées de réseaux en N ou N² (type Metcalfe) ? Mettez-les en commentaire !
12 janvier 2008
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Un pavé [un clin d'oeil au pavage de Penrose :)- ] de 800 pages pour ceux qui font de la vulgarisation en mathématiques ou en physique, c'est LE Penrose "A la découverte des lois de l'univers", qui vient d'être traduit en français. Pas à la portée de tous, mais un outil de base, ou quelques friandises à déguster de temps à autre, c'est selon.
Dans le chapitre 3, Penrose nous montre en termes simples comment l'on peut construire la suite des nombres dits "naturels" comme une abstraction mathématique totalement indépendante d'une quelconque réalité, simplement en utilisant la théorie des ensembles.
On commence par l'ensemble le plus simple (mais l'est-il réellement ?), l'"ensemble vide", qui ne contient aucun élément. On le note ainsi : Ø ou { }. Les accolades désignent un "ensemble" : l'ensemble ci-avant ne contient aucun élément entre les accolades, c'est un ensemble "vide", on lui attribue le nombre 0. Nous enfonçons peut-être des portes ouvertes, mais c'est de la définition précise que jaillit l'abstraction...
On définit ensuite l'ensemble suivant : {Ø} ou {{ }}. C'est un ensemble composé d'un élément, et cet élément est l'ensemble précédent. On lui attribue le chiffre 1. [*]
On définit ensuite l'ensemble suivant : {Ø, {Ø}} ou {{ }, {{ }}}. C'est un ensemble composé de deux éléments, l'esemble vide et l'ensemble précédent. On lui attribue le chiffre 2. [**]
On définit ensuite l'ensemble constitué par l'ensemble vide, l'ensemble défini dans le paragraphe [*], et l'ensemble défini dans le paragraphe [**]. On lui attribue le chiffre 3.
Et ainsi de suite, on a compris.
Ce qui permet à Roger Penrose de conclure : " Cette méthode a le mérite de nous montrer que des notions telles que les nombres naturels peuvent, littéralement, êtres construites à partir de rien, en utilisant simplement la notion abstraite d'ensemble ".
(dans cette phrase j'aime bien le "littéralement" : il se rapporte à "à partir de rien". Car c'est en effet à partir de l'ensemble vide - rien - que l'on construit là la suite des nombres naturels)
(voir commentaire ci-dessous sur la typographie)
25 décembre 2007
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Ce sont parfois des lectures en histoire ou en vulgarisation des sciences qui me donnent des idées pour alimenter ce blog. A cet égard, un certain nombre de grands scientifiques furent aussi des vulgarisateurs de talent : on connaît le cas de Richard Feynman (1918-1988, prix Nobel de physique 1965), ses cours et sa manière d’aborder la physique. On connaît moins ces talents qu’avait Erwin Schrödinger (1887-1961, prix Nobel de physique 1933). Son ouvrage Physique quantique et représentation du monde contient quelques pages tout à fait abordables sur la poussière de Cantor (que j'utilise dans le chapitre 20 de mon livre, consacré aux fractales) ; son ouvrage Qu’est-ce que la vie ? (1946) contient des pages passionnantes sur la physique appliquée à la biologie : les interrogations que se pose l’auteur sur les phénomènes physiques intervenant en biologie ont d’ailleurs guidé ceux qui allaient développer cette science (la créer, pourrait-on dire) après-guerre (date de la découverte de l’ADN 1953). Nous restons ici en physique : regardons comment Schrödinger, sur une expérience simple, mêle des notions d’observation, de mathématiques et de physique théorique (le mouvement brownien). On prend un bac rempli d’eau, on verse du permanganate de potassium (colorant violet) à gauche du bac. Apparaissent des volutes violettes, denses à gauche et beaucoup moins denses à droite : 
Après un temps plus ou moins long, la solution s’harmonise de manière uniformément violet pâle. Pourtant, chacune des molécules de permanganate se meut indépendamment des autres, avec les mêmes chances d’aller à droite ou à gauche (mouvement de type brownien) : il n’y a pas de raison a priori, au niveau microscopique, que la concentration de la solution s’harmonise. 
Faisons alors une analyse en découpant la solution en petites tranches de largeur dx, de concentrations très voisines, mais diminuant de la gauche vers la droite. Si l’on prend le plan de gauche de la tranche centrale (tranche figurée en gras sur la figure), même s’il y a mouvement brownien donc aléatoire, il y aura plus de molécules le traversant de la gauche vers la droite que de molécules le traversant dans l’autre sens, tout simplement parce qu’il y a plus de molécules à gauche de ce plan qu’à droite. On peut en dire autant du plan de droite de la tranche centrale : mais quand on fait le bilan global de la tranche centrale, elle gagne plus de molécules sur son plan de gauche qu’elle n'en perd sur son plan de droite, et ceci est vrai tant qu’il existe un différentiel de concentration dans la solution. Schrödinger introduit ainsi de manière imagée la fameuse équation de la diffusion. La concentration C de la solution en une tranche dx varie dans le temps en fonction de la variation des différentiels de concentration entre tranches voisines : ![Permanganate3.JPG]()
K est un facteur de proportionnalité; le facteur d²C/dx², en dérivées secondes, exprime le raisonnement présenté ci-dessus : à travers le plan de gauche le transfert se fait en de la différence de concentration dC/dx à l’abscisse x, à travers le plan de droite il se fait en fonction de la différence de concentration dC/dx à l’abscisse x + dx ; quand on fait le bilan global de la tranche, comme ci-dessus, à savoir qu’on retranche ce qu’on perd à droite de ce qu’on gagne à gauche, c’est la dérivée seconde d²C/dx² qui apparaît. Cette équation est caractéristique de nombreux phénomènes physiques, comme la diffusion des molécules à l’intérieur d’une solution, ou la diffusion de la chaleur (harmonisation de la température à l’intérieur d’une pièce par exemple, remplacer C par T). Elle avait été donnée par Joseph Fourier dès 1808 dans son Mémoire sur la chaleur, mais la visualisation que nous en donne Schrödinger m’a paru tout à fait parlante.
19 décembre 2007
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J’aime bien ces petits problèmes, qui comme celui du courant et du contre-courant, mélangent mathématiques et physique, obligent à réfléchir à la physique du sujet avant de la traduire dans la mathématique.
Voilà le problème des concombres : ils contiennent 99% d’eau. On fait reposer 500 kilos de concombres pendant la nuit. Le lendemain ils ne contiennent plus que 98% d’eau : quel est alors leur poids ?
Vous mettez la réponse en commentaire ?
[de Paul Halmos, mathématicien et vulgarisateur hongrois (1916-2006, voir Problèmes pour mathématiciens, petits et grands, Editions Cassini) ; cité par Tangente, novembre 2006].
Published by Alexandre Moatti
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"Jeux" et curiosités mathématiques
1 décembre 2007
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On n’apprend plus beaucoup les bases astronomiques, c’est dommage… pourtant, il suffit parfois de leverle nez, dans sa classe ou en allant au bureau pour observer et s’étonner. Pourquoi et quand voit-on la Lune en plein jour ? Nous ne rentrons pas ici dans une discussion des phases de la Lune, mais donnons quelques bases observationnelles, par ce qu’on ne voit pas la Lune en plein jour n’importe quand et n’importe comment ! 1) d’abord une observation de base, souvent méconnue : la pleine Lune ne peut se voir que la nuit. Vous ne verrez jamais la pleine Lune en plein jour. La pleine Lune correspond à l’opposition des astres (Soleil-Terre-Lune), la Lune « se lève » quand le Soleil « se couche », et vice-versa. 
2) quand vous voyez la Lune le matin, c’est forcément la Lune décroissante, celle qui va vers la nouvelle Lune, ce qu’on appelle le dernier quartier, formant un demi-cercle parfait sur sa gauche. Ce demi-cercle parfait est alors orienté vers l’est et le Soleil levant. Ceci correspond à la quadrature des trois astres, la Lune « a six heures d’avance » par rapport au Soleil : elle se lève en pleine nuit et se couche en plein midi. Sur la photo ci-contre, vous la voyez ce jour, à 10h00 (on l’observait encore à 11h).
3) quand vous voyez la Lune l’après-midi, c’est forcément la Lune croissante, celle qui va vers la pleine Lune, ce qu’on appelle le premier quartier, formant un demi-cercle parfait sur sa droite. Ce demi-cercle parfait est alors orienté vers l’ouest et le Soleil couchant. Ceci correspond à l’autre quadrature des trois astres, la Lune « a six heures de retard » par rapport au Soleil : elle se lève en plein midi et se couche en pleine nuit. Sur la photo ci-contre, on l’observe il y a quelques mois, en fin d’après-midi.
Désolé pour les photos, un peu petites et sans zoom, mais croyez-moi !, ou observez vous-même demain matin dimanche 2 décembre...(photo 1), ou dans quinze jours l'après-midi (photo 2)!
22 novembre 2007
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On connaît au-dessus d’une voie ferrée la caténaire (et non le catener comme on entend parfois, et comme on lit dans un grand journal du soir pas plus tard qu'aujourd'hui page 11 !) : c’est le méplat en cuivre conduisant le courant d’alimentation du train. On connaît aussi sur la motrice le pantographe, en contact avec la caténaire pour capter ce courant; au passage, la partie haute du pantographe s’appelle l’archet, joli nom…
Mais saviez-vous que la caténaire n’est pas rectiligne, parallèle aux rails, comme on pourrait l’imaginer, et comme on le perçoit en regardant rapidement pylônes, câbles de support de caténaires et caténaires. Si c’était le cas, la caténaire serait en contact toujours avec le même point du pantographe : il y aurait effet de cisaillement, et finalement usure au même point et rupture du pantographe.
C’est pourquoi la caténaire est montée en Z (très allongé) au-dessus de la voie : le pantographe (figure) est ainsi balayé sur toute sa longueur par la caténaire, il n’y a pas usure en un seul point du pantographe. C’est d’ailleurs pour cette raison que le pantographe a une certaine largeur (en gros celle du Z formé par la caténaire).
(source visite SNCF Etablissement du Landy , Seine St-Denis, le 21 novembre, dans le cadre de la Fondation C.Génial)
Published by Alexandre Moatti
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Le saviez-vous
18 novembre 2007
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(Suite du précédent billet ) . A travers la boîte de dialogue d’une image JPEG (une fois l’image ouverte dans MS Photo Editor, click droit sur « Propriétés »), on retrouve des éléments importants de codage et de résolution des images (celle-ci vient d’un appareil photo numérique ordinaire):
1) Type, Couleurs (24 bits) : on retrouve les 24 bits, soit 2puissance8*2puissance8*2puissance8 = 16 millions de couleurs.
2) Résolution 118 pixels/cm : un pixel est un point codé par une des 16 millions de couleurs. Comme 1 pouce = 2,54 cm, on retrouve 118*2,54 = 300 pixels par pouce, ou 300 dots per inch, 300 dpi résolution traditionnelle d’une image.
3) Taille 1600*1200 = 1 920 000 pixels, ce qui correspond à un appareil photo numérique (non récent) de 2 Mégapixels.
4) Largeur 1600/118 = 13,56 cm (correspond à la largeur d’une photo papier).
5) Taille (avant compression JPEG) 1600 pixels * 1200 pixels * 24 bits de codage par pixel = 46,080 Mégabits = 5 760 000 octets (1 octet = 8 bits)
