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CouvPocheIndispensables
J'ai créé ce blog lors de la sortie de mon livre "Les Indispensables mathématiques et physiques pour tous", Odile Jacob, avril 2006 ; livre republié en poche en octobre 2011 (achat en ligne) (sommaire du livre).
Je développe dans ce blog des notions de mathématiques et de physique à destination du plus large public possible, en essayant de susciter questions et discussion: n'hésitez pas à laisser vos commentaires!

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Indispensables astronomiques

Nouveauté octobre 2013, mon livre "Les Indispensables astronomiques et astrophysiques pour tous" est sorti en poche, 9,5€ (éditions Odile Jacob, éidtion originale 2009). Comme mon premier livre (Les Indispensables mathématiques et physiques), c'est un livre de notions de base illustrées avec des exemples concrets, s'appuyant sur les mathématiques (géométrie notamment) pour l'astronomie, et sur la physique pour l'astrophysique. Je recommande vivement sa lecture.

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25 février 2007 7 25 /02 /février /2007 16:42

J'ouvre aujourd'hui une rubrique "Le saviez-vous?" pour des brèves rapides scientifiques et techniques; un blog nécessite de la nouveauté, et il ne m'est pas toujours facile de maintenir le rythme et le niveau sur les équations du moment cinétique ou les formules de Lorentz! (voir rubrique "quasi-indispensables physiques ").

Je commence par Laplace à Arcueil. Vous connaissez sans doute cette station de RER B au sud de Paris. Vous la connaissez peut-être aussi parce qu'à la sortie du RER il y a une immense bâtisse blanche austère, dite La maison des examens, là où l'Education Nationale fait passer un certain nombre d'examens ou de concours. J'y ai pour ma part souvenir de l'épreuve de maths de 6h de l'ENS...

Ce que l'on sait moins, c'est pourquoi Laplace, pourquoi Arcueil? Parce que le grand mathématicien et physicien Laplace (1749-1827), l'auteur du fameux Traité de Mécanique Céleste, habitait àArcueil. Mais aussi parce qu'il y animait avec le chimiste Berthollet (1748-1822) une assemblée amicale de sciences, une société savante, qui se réunissait le dimanche dans la maison de Laplace ou celle de Berthollet (lui aussi à Arcueil). C'est la fameuse Société d'Arcueil, qui se réunit de 1806 à 1820, et où des savants en herbe, puis confirmés, viendront discuter de leures résultats avec leurs anciens Laplace et Berthollet: Arago, Malus, Biot, Poisson, Gay-Lussac...

 

La Société publiera "Mémoires de physique et de chimie de la Société d'Arcueil", et des résultats importants sont présentés au cours de ces après-midi dominicales, comme par exemple le mémoire de Malus sur la polarisation de la lumière (1809).

Si un dimanche après-midi, vos balades vous amènent par le RER Laplace à Arcueil, pensez à ceux-là qui firent la physique et la chimie en France au début du XIX°s!

(sur la Société d'Arcueil, il n'y a guère que Wikipedia en anglais qui la détaille un peu!; on voit là que Wikipedia en français n'est malheureusement pas toujours au top, pas de page francophone sur cette société savante importante pour l'histoire des sciences en France...)

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4 février 2007 7 04 /02 /février /2007 20:06
Illustrons une notion un peu abstraite de mécanique, le moment cinétique, par deux exemples. L’abstrait d’abord. Pour un point en mouvement, on définit son moment cinétique J par rapport à un point fixe O comme J = r × p, produit vectoriel du vecteur position r par rapport à l’origine O et du vecteur p quantité de mouvement. Si l’on dérive J par rapport au temps, on obtient : dJ / dt = [dr / dt ] × p + r × [dp / dt ]. Le premier terme [dr / dt ] × p = v × p = v × mv = 0 (produit vectoriel de deux vecteurs parallèles). Donc dJ / dt = r × [dp / dt ] = r × m [dv / dt ] = r × mγ = r × F, où F est la force appliquée au point, ce qui se traduit par la loi du moment cinétique :
dJ / dt = r × F = N
N est le moment par rapport à O de la force F appliquée au point ; concrètement, un exemple en est le "bras de levier", pour soulever une pierre avec un bâton, le moment N est égal à la force que vous appliquez au bout du bâton multipliée par la longueur du bâton.
 
Un premier exemple d’application de cette loi se trouve dans le mouvement des planètes autour du Soleil. Le point O est le soleil, la force F est la force d’attraction de Newton parallèle à r, en sens opposé, donc r × F = 0 : il y a dans ce cas conservation du moment cinétique, caractéristique importante du mouvement des planètes. En calculant J = rmv = mωr², où ω est la vitesse angulaire de la planète (v = ωr), on déduit la deuxième loi de Képler : ωr² = constante.

Dans une orbite elliptique, quand la planète est plus proche du Soleil (r plus petit, position entre C et D), la vitesse ω est plus grande, la planète va plus vite ; quand la planète est plus loin du Soleil (r plus grand, position entre A et B), la vitesse ω est plus faible, la planète va moins vite. Plus précisément ωr² = constante exprime que l’aire balayée en un temps donné est toujours la même (deuxième loi de Képler ou loi des aires)
 
Un deuxième exemple d’application est dans l’effet " roue de vélo ". En route droite, la roue par rapport à son centre a un moment cinétique J0 dirigé vers la droite (figure), comme la planète en rotation autour du Soleil a un moment cinétique dirigé perpendiculairement à l’orbite (faire la règle des " trois doigts " ou du " bonhomme d’Ampère " pour le produit vectoriel r × p). Si le cycliste se penche, il exerce un couple dans le plan de son corps, donc un moment N perpendiculaire au plan de la figure de gauche et dirigé vers l’arrière. La conséquence de l’équation dJ / dt = N est la modification de l’axe du moment cinétique (figure de gauche), la roue va s’orienter perpendiculairement à J , le cycliste en se penchant vers la gauche tourne à gauche.

On peut généraliser cet effet " roue de vélo " ou effet gyroscopique de la manière suivante : " Sur une roue en rotation rapide, si l’on exerce une force dans une direction perpendiculaire, la roue s’oppose à ce mouvement en partant dans la troisième direction, celle qui est perpendiculaire aux deux autres ". C’est vrai dans les schémas ci-dessus, c’est vrai dans une expérience qu’on trouve dans certains musées de science : vous tenez entre les deux mains le moyeu d’une mini-roue de vélo, préalablement lancée en rotation, et vous êtes assis sur un fauteuil tournant ; vous avez la roue de vélo tournant devant vous, vous essayer de forcer l’axe à tourner à droite, vous n’y arrivez pas, en revanche votre fauteuil se met, lui, à tourner vers la droite (rotation autour du troisième axe) (cette expérience est déjà décrite dans le dernier paragraphe d'un précédent post sur l'effet gyroscopique).
Rajoût du 8 juillet 2007, une belle photo d'Einstein illustrant l'effet "roue de vélo" (vous vous penchez à droite, vous tournez à droite)
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18 janvier 2007 4 18 /01 /janvier /2007 07:49

Revenons sur une ancienne notion sur les paris, celle de jouer à « 3 contre 1 ». Vieille expression, encore utilisée de nos jours par exemple chez les turfistes, elle qualifie les chances de gain, avant les premières formalisations des probabilités et des  notions de choix possibles ou d’espérance de gain.

Dans des paris binaires (choix A ou choix B), si A est joué à « 3 contre 1 », cela signifie que 1/(3 + 1) =  1/4 des parieurs pensent que A va gagner (donc B est joué à « 1 contre 3 », 3/4 des parieurs pensent que B va gagner). Ce rapport donne le gain en cas de victoire : si A gagne la course, le parieur ayant joué A verra sa mise multipliée par 3 (il récupérera les mises des autres) ; si B gagne la course, les trois parieurs (ou multiples de 3) ayant joué B gagneront 1/3 fois leur mise (ils se partageront la mise du parieur ayant joué A).

Si vous connaissez d’autres emplois de cette expression, comme les courses de chevaux, n’hésitez pas à les mentionner en commentaire.

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15 janvier 2007 1 15 /01 /janvier /2007 10:48

On peut retrouver l’expression du temps relativiste d’une façon peu décrite. Soit un repère R fixe composé d’un miroir plan ; soit en face un repère R’ composé d’un tapis roulant parallèle au miroir à distance D, et d’un observateur fixe sur le tapis roulant.

 

1ere expérience : R’ est fixe par rapport à R (le tapis roulant n’avance pas) ; l’observateur envoie un signal lumineux perpendiculairement au miroir qui le réfléchit.

 

Le temps t de parcours de la lumière dans le repère R est t = 2D/c, c étant la vitesse de la lumière.

 

2eme expérience : R’ est maintenant mû d’une vitesse V, le tapis roulant avance ; l’observateur envoie toujours un signal lumineux perpendiculairement au miroir qui le réfléchit.

Vue de R, la situation est la même (figure de gauche) ; mais même si dans les deux expériences la trajectoire physique du rayon est la même, la situation vue de R’ n’est pas la même et apparaît sur la figure de droite. Si on mesure le temps de parcours t’ dans R’, le rayon, partant du point M à l’instant 0, est reçu dans R’ au point M’ puisque le tapis roulant a avancé depuis le départ du signal, et M’M = Vt’.

Le miroir réfléchit le rayon avec un angle identique (loi de Descartes), le triangle est isocèle, en appliquant le théorème de Pythagore au demi-triangle rectangle au point milieu de MM' : 

                           (ct’/2)² = (Vt’/2)² + D² = (Vt’/2)² + (ct/2)²

                                                       c²t’² = V²t’² + c²t²

                                               (c² - V²) t’² = c²t²

On retrouve ainsi la fameuse formule de Lorentz du temps en relativité restreinte.  

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4 janvier 2007 4 04 /01 /janvier /2007 18:24
En décembre lors de ma conférence à la bibliothèque de Troyes, à la fin un auditeur m’a posé une question à laquelle je ne m’attendais pas : « les maths interviennent-elles dans les tours de magie par exemple les tours de cartes ? »
 
Se souvenir d’être prêt à des questions sans rapport avec son exposé : là je séchais, pour moi la magie et les cartes c’est plus de l’adresse que de la science. Et puis, tout d’un coup, un souvenir d’enfance m’est revenu, et cette réponse je suis allé la chercher assez loin, elle a fusé, c’est le jeu des 21 cartes, un tour de cartes que mon grand-père Achille me faisait quand j’avais cinq ans. Peut-être l’origine de mon intérêt pour les maths.
 
Vous prenez 21 cartes, demandez à votre interlocuteur d’en choisir une. Etape 1 : Vous distribuez les cartes, face visible, les unes après les autres sur trois tas A,B,C,A,B,C,… Vous demandez à votre interlocuteur dans quel paquet se trouve sa carte. Vous rassemblez les trois paquets, en mettant au milieu des deux autres le paquet indiqué par votre interlocuteur. Etape 2 : refaire l’étape 1. Etape 3 : refaire l’étape 1. A l’issue de l’étape 3, vous pouvez deviner la carte de votre interlocuteur qui sera toujours la ONZIEME.
 
Vous pouvez agrémenter cela en mettant toutes les cartes faces cachées étalées en vrac devant votre interlocuteur (en repérant dans votre tête la onzième), puis faire de la magie comme toquer sur les cartes pour écouter leur bruit – ce que mon grand-père me faisait – avant de retourner la onzième…mais cela restera toujours des maths (très simples).
 
Sans doute pas un indispensable mathématique, sans doute pas un quasi-indispensable, disons une récréation (comme celle avec laquelle j’ai ouvert le blog) pour commencer l’année, avec mes meilleurs vœux pour tous mes lecteurs, vous êtes quand même dans les 100 à 120 à venir chaque jour et voir 300 à 400 pages, le pari n’était pas gagné d’avance, je vous en remercie!
 
Alexandre Moatti
Surprise : j’a mis la solution du tour des 21 cartes en commentaire n°1, pour 1) ceux qui voudraient la connaître 2) ceux qui voudraient y réfléchir sans l’afficher.
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17 décembre 2006 7 17 /12 /décembre /2006 21:17
La parallaxe est un effet optique bien connu : quand vous mesurez avec votre double-décimètre, si votre œil n’est pas perpendiculaire à la mesure, vous risquez de commettre une erreur de mesure, dûe à un effet de perspective.
En astronomie, la parallaxe stellaire annuelle est l’angle sous lequel on voit le demi-axe de l’orbite que fait la Terre (T) autour du Soleil (S). La détermination de la parallaxe d’une étoile permet de connaître sa distance au Soleil.
 
Deux mesures sont prise à six mois d’intervalle, aux deux positions T et T’ de la Terre telles que TST’ est perpendiculaire à SE (une seule telle droite dans le plan de l’ecliptique). Quand la Terre est en T, on mesure l’angle STE, puis en T’ l’angle ST’E ; les angles TSE et T’SE étant droits, on en déduit facilement la parallaxe p, et donc la distance de l'étoile E au Soleil.
La parallaxe ne doit pas être confondue avec l’aberration (chapitre 13 de mon livre), qui est un autre effet optique lié à la composition de la vitesse de la lumière (c= 300 000 kms/s) et celle de la Terre (V= 30 kms/s). L’aberration est un angle ψ tel que tgψ = V/c soit ψ un petit angle de 20 secondes d’arc, qui est le même pour toutes les étoiles E, et qui est indépendant de la distance entre l’étoile E et le système solaire.
La parallaxe sera très difficile à mettre en évidence dans l’histoire des sciences car en fait elle est très petite. Plus l’étoile E est lointaine, plus la parallaxe p est petite : or, même pour les étoiles les plus proches du système solaire, on est déjà à une parallaxe très faible, inférieure à 1 seconde d’arc.
C’est pourquoi, alors que Galilée avait prédit l’existence de la parallaxe à l’appui de la théorie copernicienne (mais il était loin d’imaginer le phénomène de l’aberration), les astronomes s’escriment à la mettre en évidence sans succès : les instruments de mesure de l’époque ne permettant pas de mesurer un si petit effet ; par ailleurs ils croyaient, à tort, 1) que les étoiles étaient beaucoup plus proches de nous qu’elles le sont réellement, 2) que d’une étoile à une autre les distances au Soleil n’étaient pas si variables que cela. On avait donc tendance à choisir n’importe quelle étoile pour en calculer la parallaxe.
Ce n’est qu’en 1838 que l’astronome allemand Bessel (1784 – 1846) arrive à mettre en évidence la parallaxe d’une étoile proche, 61 du Cygne, avec une parallaxe de 0,31 secondes d’arc, et une distance au Soleil de 11,4 années-lumière.
Par la suite on définira l’unité de longueur le PARSEC (parallaxe-seconde), c’est à dire la distance au Soleil d’un objet dont la parallaxe vaut 1 seconde d’arc ; le PARSEC vaut 3,26 années-lumière.
En 1915 fut découverte par la même méthode l’étoile la plus proche du système solaire, Proxima Centauri (constellation du Centaure), à 4,22 années-lumière ou 1,3 parsec.

Le satellite Hipparcos (High Precision Parallax Collecting Satellite) de l’Agence Spatiale Européenne, du nom de l’astronome Hipparque (deuxième siècle avant notre ère), satellite d’astrométrie spatiale, collecta de 1989 à 1993 par la méthode de la parallaxe la distance au Soleil d’environ un million d’étoiles situées à moins de 150 parsecs du Soleil.
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6 décembre 2006 3 06 /12 /décembre /2006 22:25
Une intéressante critique de mon livre sur le site de l'Association des professeurs de mathématiques de l'enseignement public (29 novembre 2006)
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26 novembre 2006 7 26 /11 /novembre /2006 21:55
Extrait du Journal électronique d’Histoire des probabilités et de la statistique (novembre 2006), dans un article du mathématicien Georg Cantor écrit en 1873, on retrouve le problème dit du " pari du chevalier de Méré " qui s’opposait à tort à Fermat et à Pascal sur un sujet de probabilité contre-intuitif (voir autres exemples dans le chapitre 10 de mon livre, " Incertaines probabilités ") :

  • Pari 1 : Si l’on jette 4 fois un dé à six faces, il y a plus de chances qu’on obtienne un 6 plutôt qu’on n’en obtienne pas.
  • Pari 2 : Si l’on jette 24 fois deux dés à six faces, Méré pensait qu’il y avait aussi plus de chances qu’on obtienne un double six plutôt qu’on n’en obtienne pas.
Méré pensait que le rapport 4/6 (4 lancers, 6 possibilités) du pari 1, supérieur à ½, déterminait une probabilité supérieure à ½, et donc la probabilité plus forte d’obtenir un 6 (ou n’importe quel autre nombre) que ne pas en obtenir ; il en déduisait, dans le pari 2, en faisant intervenir le même rapport 24/36 (24 lancers, 36 possibilités) = 4/6, que la probabilité était plus forte d’obtenir un double six que ne pas en obtenir. Méré arrivait dans le pari 1 à un résultat correct avec un raisonnement incorrect ; dans le pari 2, le résultat de Méré était erroné.
 
On a en effet :
Pour le pari 1, une probabilité P1 = 1 – (5/6)4 = 0, 518 ; probabilité légèrement supérieure à ½ (on a plus de chances d’obtenir un 6 que ne pas en obtenir) Comme dans les dates d’anniversaires (chapitre 10), (5/6)4 mesure la probabilité de ne pas obtenir un nombre donné, par exemple le 6, pendant quatre fois de suite.
 
Pour le pari 2, une probabilité P2 = 1 – (35/36)24 = 0, 492 ; probabilité légèrement inférieure à ½ (on a moins de chances d’obtenir un double 6 que ne pas en obtenir)

(pour ceux qui souhaitent aller plus loin, ou plus en amont dans le temps, j'ai mis en commentaire le texte original de la lettre de 1654 de Pascal à Fermat mentionnant le pari faussé de Méré)
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22 novembre 2006 3 22 /11 /novembre /2006 14:54
Un de mes premiers posts concernait le petit théorème de Fermat (pas le grand) : "Pour tout nombre entier a , pour tout nombre premier p, ap et a ont le même reste dans la division par p ".On notera ap ≡ a (mod. p), ce qui se lit ap est congru à a modulo p.
Voyons comment le petit théorème de Fermat (1640) est utile à la cryptographie sur Internet (et est sans doute plus utile que le grand théorème de Fermat !).
Tout d’abord Euler le généralise en introduisant la fonction indicatrice d’Euler φ(n) égale au nombre d’entiers inférieurs à n et premiers avec n ; il démontre le théorème d’Euler, pour tout nombre a premier avec n :
a φ(n) ≡ 1 (mod. n)
On retrouve, pour n premier (on a alors φ(n) = n-1) , a premier avec n, le petit théorème de Fermat ci-dessus.
Un petit bout de cryptographie simple maintenant. Alice (A) et Bob (B) veulent communiquer de manière secrète, par exemple Alice veut envoyer à B (banque) un message M correspondant à son numéro de carte de paiement. Le système de cryptographie affecte à B les nombres suivants :

  • p un grand nombre premier, q un grand nombre premier, n = p × q

  • c un nombre premier avec φ(n) = φ(p) φ(q)= (p-1)× (q-1)

  • d l’inverse de c par rapport à φ(n), c'est-à-dire un nombre tel que le produit cd a comme reste 1 dans la division par φ(n) ; il est possible de trouver un tel nombre unique car c est premier avec φ(n).
Arrêtons-nous un instant sur ce dernier point pour donner un exemple avec des petits nombres : p = 7, q = 11, φ(pq) = 10 × 6 = 60, c = 7 par exemple, on trouve d tel que cd = 60k +1, soit d = 43, on vérifie 7 × 43 = 5 × 60 + 1.

Le couple de nombres (n, c) est connu de tous, c’est la clef de chiffrement publique de Bob; le couple (n,d) n’est connu que de lui, c’est la clef de chiffrement privée de Bob. Pourquoi d n’est-il connu que de Bob ? C’est là toute l’astuce du cryptage Internet (dit cryptage RSA). On ne connaît les nombres premiers que jusqu’à un certain rang : si l’on prend deux grands nombres premiers et qu’on les multiplie n = p × q, alors quelqu’un qui ne connaît que n (clef publique) ne peut pas reconstituer p et q à partir de n avec les moyens de calcul actuels ; donc il ne peut connaître φ(n), ni d même s’il connaît c. Seul Bob peut connaître d à partir des trois nombres (p,q,c).
En revanche on peut affecter à Bob un nombre d connu de lui seul ; partant de c premier avec φ(n) on trouve d par ordinateur, il s’agit d’un " problème d’ordre p ", tandis que trouver d sans connaître p et q est un " problème d’ordre n = pq " insoluble avec les ordinateurs actuels.

Terminons le chiffrement du message, Alice envoie à Bob le message ainsi chiffré à partir du message initial M :
M’ ≡ Mc (mod. n)
soit le reste de la division de Mc (M puissance c) par n
Bob fait le déchiffrement avec sa clef privée qu’il est seul à connaître (donc personne ne peut faire ce déchiffrement autre que Bob) comme suit, en élevant M’ qu’il reçoit à la puissance d et en faisant un calcul de reste de division par n :
M’d ≡ Mcd (mod. n)

Or par construction c × d = r × φ(n) + 1, donc :
M’d ≡ Mcd (mod. n)= Mrφ(n)×M (mod. n).
Or le théorème d’Euler ci-dessus donne Mrφ(n)≡ 1 (mod. n) (c’est vrai si M est premier avec n, mais on peut démontrer que c’est aussi vrai si M n’est pas premier avec n), donc :
M’d ≡ Mcd (mod. n)= Mrφ(n)×M ≡ M (mod. n)
Bob retrouve le message M initial.

En résumé, Alice élève M à la puissance c de la clef publique de Bob, puis Bob élève ce résultat à la puissance d de sa clef privée, et en faisant le reste de la division par n retombe sur le message M originel.
 
Et tout cela grâce à deux faits principaux :

  1. 1. du point de vue mathématique, le théorème d’Euler et le petit théorème de Fermat (1642)

  2. 2. du point de vue informatique (puissance des ordinateurs), l’impossibilité de décomposer n = pq en ses facteurs p et q quand ce sont de grands nombres premiers.
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6 novembre 2006 1 06 /11 /novembre /2006 21:06
Un carré magique est un carré où la somme de chaque colonne, de chaque ligne, de chacune des deux diagonales est la même. On se limitera aux carrés magiques dits parfaits, c'est-à-dire comprenant les n² premiers nombres consécutifs à partir de 1 (un carré peut-être magique avec des nombres qui ne sont pas forcément ceux-là, mais c’est tellement plus beau quand le carré est parfait !...)

 

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Ex. 1 : Carré magique d’ordre 4 (4 lignes et 4 colonnes)
 
Un carré magique d’ordre n (n lignes et n colonnes) contient les nombres de 1 à n² ; la somme de ces nombres vaut ½ n² × (n² + 1), donc la somme magique, celle qu’atteint chaque ligne ou chaque colonne ou chaque diagonale, est ce nombre divisé par n, soit :
½ n× (n² + 1)
On vérifie que pour n=4, la somme magique (cf. exemple 1) est égale à ½× 4 × 17 = 34.
 
Un carré magique d’ordre impair n a toujours le même chiffre en son centre, qui est la somme magique divisée par n, soit ½ (n² + 1) : je n’ai pas réussi, disons pas eu le temps :)- , de démontrer cela…si quelqu’un a une idée ?

 

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Ex. 2 : Carré magique d’ordre 5 : au centre on trouvera toujours 13 = ½ (5²+1)
  
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Récréations mathéphysiques

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Mon dernier ouvrage est sorti le 14 octobre 2010 : Récréations mathéphysiques (éditions Le Pommier) (détails sur ce blog)

Einstein, un siècle contre lui

J'ai aussi un thème de recherche, l'alterscience, faisant l'objet d'un cours que j'ai professé à l'EHESS en 2008-2009 et 2009-2010. Il était en partie fondé sur mon second livre, "Einstein, un siècle contre lui", Odile Jacob, octobre 2007, livre d'histoire des sciences (voir billet sur ce blog, et notamment ses savoureux commentaires).

Einstein, un siècle contre lui