On connaît les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 voire par 11. On parle plus rarement, notamment avec nos enfants, du critère de divisibilité par 7 ou 13, qui se trouve être commun aux deux nombres.

Je retrouve cela dans un petit bijou de livre comme on n’en fait plus, à ouvrir avec un coupe-papier, W. J. Reichmann, " La Fascination des nombres ", (Payot 1959), paru l’année de ma naissance, que j’ai acheté chez Gibert pendant mes études je pense, sans doute introuvable maintenant, comme sont introuvables les " Que sais-je? " de Jean Itard sur l’arithmétique ou sur les nombres premiers (bibliographie 3 de mon livre).

Soit un nombre N dont on veut tester la divisibilité, on le partage en tranches de trois chiffres à partir de la droite. On ajoute et on soustrait alternativement chacune de ces tranches jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’une tranche de trois chiffres. Si ce nombre de trois chiffres est divisible par 7 ou 13, alors le nombre initial l’est.On ramène ainsi l’examen de la divisibilité par 7 ou 13 de tous les nombres à celle des nombres de trois chiffres.

• Exemple : 745 857 320.
• On mène l’opération décrite : 745 – 857 + 320 = 208, nombre divisible par 13.
• Donc le nombre initial l’est, on vérifie 745 857 320 = 13 * 57 373 640

Dans mon livre (chapitre 15), je parle des " trois tests " de la relativité générale, et d’une des ses applications (le GPS). Comme je ne détaille pas la relativité générale, je n’ai pas parlé des tests les plus récents. Allons un peu plus loin ici.

Un corps en mouvement dans l’espace-temps provoque une déformation de cet espace-temps. Cette déformation agit comme une onde qui se propage en s’atténuant: forte déformation de l’espace-temps au voisinage de la masse en mouvement, déformation de plus en plus faible au fur et à mesure que l’on s’éloigne de la masse en mouvement. C’est la définition de l’onde gravitationnelle, prédite par les équations de la relativités générale.

En 1974 les physiciens américains (Princeton University) Hulse et Taylor découvrent le pulsar PSR B1913+16 (un pulsar est une double étoile) ; ils mettent en évidence une perte d’énergie du pulsar, qui pourrait être l’effet d’une onde gravitationnelle, le pulsar en mouvement émettant une onde gravitationnelle perd de l’énergie. Les calculs de la perte d’énergie du pulsar qu’ils font correspondent à ceux prédits par les équations de la relativité générale. Cette découverte et ces calculs leur valent à tous deux le prix Nobel de physique en 1993.

En revanche la détection effective d’ondes gravitationnelles, qui serait un nouveau test de la relativité générale, n’a pu se faire car ces ondes sont de faible intensité, difficilement détectables. C’est le but des interféromètres VIRGO à Pise (interféromètre terrestre, en cours de mise en service) et LISA dans l’espace (projet américain prévu pour 2012) de mettre en évidence ces ondes.

 En résumé : les ondes gravitationnelles sont prédites par la relativité générale ; on en a observé un effet (pulsar PSR B1913) cadrant parfaitement avec les calculs relativistes ; on n’en a encore pour l’instant jamais détecté.

En chapitre 5, je rappelle la définition d’un nombre parfait (égal à la somme de ses diviseurs hors lui-même), ainsi que la forme bien connue des nombres parfaits pairs. En revanche, on ne sait s’il existe un nombre parfait impair.

Pace Nielsen, de l’University of California, a démontré dans un article de février 2006 s’appuyant sur des résultats antérieurs que, si un nombre parfait impair existe: 

- Il a au moins 9 facteurs premiers distincts.

- Si 3 ne fait pas partie de ses diviseurs, il a alors au moins 12 facteurs premiers distincts.

(Source Magazine La Recherche mai 2006)

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