(transcription d’une chronique faite sur Radio-Aligre, émission Recherche en cours de J.M. Galan, vendredi 25 février 2012)

Que penser de l’exposition de la Fondation Cartier « Mathématiques, un dépaysement soudain », à la Fondation Cartier jusqu’au dimanche 18 mars 2012 ?

Il y a plusieurs regards possibles, positifs ou négatifs, sur cette exposition – comme il y a plusieurs niveaux possibles d’adhésion au projet.

Un premier niveau, l’enthousiasme béat, du style : « C’est bien que la Fondation Cartier s’intéresse aux maths, qu’elle essaie de faire un pont entre science et culture – elle est fortement légitime, côté culture, pour ce faire ».

Un deuxième niveau, la critique radicale, du style : « C’est incompréhensible, même pour des amateurs de maths. C’est une élite culturelle et scientifique qui s’est fait plaisir ».

Curieusement, c’est plutôt le monde culturel qui est du premier avis ci-dessus (tout en ne comprenant rien à l’exposition) ; et le monde de la vulgarisation scientifique qui est du second avis.

Mais là où cela se complique, c’est qu’on peut très bien avoir les deux avis à la fois (c’est un peu mon cas) – on est bien dans un monde mathématique, à la Gödel, où une proposition G et sa négation (nonG) peuvent être vraies toutes deux.

Essayons alors d’explorer quelques opinions intermédiaires, entre G et (nonG), entre premier et second avis. Pour cela, nous avons besoin de passer du global au local, de la variété dans son ensemble (l’exposition) à chacun de ses voisinages (chaque « attraction » – car c’est bien de cela qu’il s’agit, il y a en tout une dizaine d’attractions).

Bibliothèque Gromov - Lynch (© Fondation Cartier - Olivier Ouadah)

En entrant à gauche, dans la pièce-phare du lieu, ouverte avec ses vitrages sur le jardin, l’endroit principal pour chacune des expositions de la Fondation, figure là, complètement fermée sur elle-même, la bibliothèque de textes scientifiques choisis par Gromov et mis en scène par David Lynch. Ma première impression : il fait froid, c’est fermé sans aucune vue sur le jardin, on est debout,… Je ne reste pas trois minutes. Revenant sur mes pas, je décide de m’accrocher et y passe les quarante minutes du diaporama – un choix de textes saisissants sur la démarche scientifique, d’Euclide à Poincaré en passant par Feynman ou Pascal.

Un autre choc en deux temps : la fresque consacrée en bas à Poincaré (2012 est le centenaire de sa mort). Là aussi, même première réaction : trop fouillis, incompréhensible. Mais on s’accroche – et en deuxième approche cette fresque est vraiment remarquable, entre physique, mécanique, mathématiques, philosophie d’une part, inspirateurs de Poincaré comme ses successeurs, jusqu’aux travaux les plus actuels.

Frise Poincaré  (© Fondation Cartier - Pierre-Yves Dynasquet)

À travers ces deux exemples, j’essaie de vous montrer qu’il est nécessaire de « s’accrocher », ou plutôt d’adapter son esprit à comprendre, le rendre disponible, le "tuner" sur la bonne fréquence. C’est bien cela le propre de la démarche scientifique et du raisonnement mathématique lui-même : il faut entrer dedans, puis se laisser porter par son intuition ou sa compréhension. Et c’est peut-être un des succès (imprévu, la fameuse sérendipité ?) de cette exposition que de « forcer » le visiteur à la démarche scientifique.

Alors bien sûr, il y a des choses plus gratuites qui ne suscitent pas cette salutaire mise en conditions : la sculpture métallique en bas, pseudosphère avec juste une équation (non expliquée – une formule brute) cachée sur la droite à l’entrée. Ou les robots en haut à droite, qui m’ont peu fait saliver du liquide encéphalique.

Les robots (© Fondation Cartier - Olivier Ouadah)

Finalement, tout le monde a raison – j’essaie d’être consensuel ! Tel prof de maths qui écrit sur Internet qu’il n’y emmènera pas ses classes, telle auditrice du colloque qui juge l’expo « si belle et si froide », ou C. Villani qui dit au colloque de « debriefing » de l’expo à l’UNESCO [la démarche d’un colloque de bilan était assez exemplaire, et ce n’est pas la langue de bois ni l’autocongratulation qui a régné lors de ce colloque], de manière sans doute exagérée, que « toute exposition de maths à l’avenir devra se positionner par rapport à l’expo Cartier » ! Oui, tout le monde a raison. On est dans un monde gödelien.

Alors, allez-y, jusqu’au 18 mars. Pour vous faire votre opinion (à supposer que ce soit possible !). Et surtout pour essayer de ressentir ce moment où votre esprit se met à la même fréquence que le concepteur de l’œuvre : exactement le même sentiment qu’on a pu connaître quand plus jeune (ou non), on a eu affaire à de belles démonstrations mathématiques. Et c’est bien un des mérites de l’expo que faire revivre cette extase-là. À cet égard, Jean-Michel Albérola, un des artistes de l’expo, l’a sans doute bien résumée : l’expo est talmudique – la réponse à la question qu’elle pose est l’expo elle-même. Elle est sa propre réponse à la question qu’elle pose. Gödelien, vous dis-je.

Je poursuis mon initiation en biologie dans cette catégorie de mon blog (comme j'ai déjà eu l'occasion de l'écrire ici, les matheux au-delà d'un certain âge n'ont même pas entendu parler de l'ADN dans leurs cours de sciences naturelles au lycée, à peine plus évolués que les leçons de choses d'antan).

Précipitez-vous sur la dernière livraison BibNum (article J.M. Victor commentant l'article de Wtason et Crick 1953) pour comprendre, schémas à l'appui, la structure physico-chimique de la double hélice d'ADN :

- les chaines sucres-phosphates dans les deux brins de l'hélice.

- les bases azotées A-T et C-G comme "marches de l'escalier en colimaçon"

- les liaisons hydrogène entre A et T, entre C et G.

Une bonne introduction à la structure physique de l'ADN - pour les fonctionnalités de l'ADN c'est une autre paire de manches (c'est comme software vs. hardware).

J'avais déjà parlé de l'article sur Galois dont je suis co-auteur dans BibNum en décembre, à propos des fractions continues, tout à fait fascinantes.

Nous avons récemment publié une annexe complémentaire à cet article, intitulé "Quelques variations sur les fractions continues", sous forme de quelques exercices amusants sur la représentation d'un certain nombre (voisin du nombre d'or) en fraction continue. Ce nombre a la propriété de donner 1 quand il est ajoûté à son carré.
On demande de démontrer une des formules suivantes, assez amusantes (elles sont toutes trois équivalentes) :

Exercez-vous à démontrer ces formules (attention, n'essayez pas de réduire au même dénominateur !). Une indication : commencez à vous intéresser au premier membre [dans chaque équation] - vérifiez qu'il s'agit bien du nombre qui vérifie une certaine équation algébrique. Sinon allez voir les solutions dans l'annexe de l'article BibNum (onglet "Analyse" ou PDF "à télécharger").

Les fractions continues sont passionnantes car c'est un mode de REPRéSENTATION d'un nombre, finalement au même titre que son écriture décimale. Le nombre ci-dessus (qui n'est là que comme exemple), c'est

a) 0,618 033.... ?

b) 1/2 (√5 – 1) ?

c) la fraction continue composée de 1 ci-dessus ?

Finalement, laquelle de ces trois REPRéSENTATIONS a plus de valeur que l'autre ? À méditer...

Aux lecteurs de mes ouvrages et de mon blog : je ne vais pas vous refaire ce coup-ci ou celui-là (bien qu'll marche encore pour 2012, pour la dernière fois) - aussi je vous souhaite une bonne année

2×2×503

quasi-quasi-nombre premier, ou, pour ceux qui préfèrent, quasi (quasi (nombre premier)).

La récente livraison de BibNum (à laquelle j’ai contribué) me fait fantasmer sur les fractions continues. Au XVIII^e et au XIX^e siècles, les mathématiciens manipulaient couramment ces objets, quasiment abandonnés depuis ! Galois himself n’est pas en reste, puisque son premier article, à 18 ans, porte sur les fractions continues.

On peut développer un nombre rationnel en fraction continue – ainsi du nombre 3,14159 approximation de π

(voir dans l’analyse de l’article BibNum la façon dont on utilise la division euclidienne pour trouver cette fraction, unique)

On peut aussi développer en fractions continues des nombres solutions d’équations polynomiales (nombres algébriques). Ainsi du fameux nombre d’or :

Quelle élégance, une fraction continue (infinie, dans ce cas) rien qu’avec des 1 !

Mais le mieux, dans l’article de Galois, est que, comme dans la théorie des groupes qu’il développera plus tard, il semble ne pas s’intéresser aux racines elles-mêmes – même pour une équation du second degré. Ainsi, de l’équation 3y² – 2y – 3 = 0, il tire :

nettement plus élégant (à mon goût !) que :

En somme, chers amis enseignants et mathématiciens amateurs, on gagnerait à s’intéresser aux fractions continues – en sus de leur forme élégante et de leur allure, elles permettent d’exercer une certaine gymnastique d’esprit !

L’article BibNum de Galois (facile, beaucoup plus facile que sa théorie des groupes) ferait utilement l’objet d’exercices faciles en classe de seconde ou première : les notions de fraction continue périodique, ou à période immédiate, ou à période symétrique sont immédiatement perceptibles et représentables. Qui plus est, elles permettent de s’évader du sempiternel calcul de ces solutions par la méthode des discriminants avec ses horribles radicaux…

Marcher sur les traces de Galois pour découvrir ces notions peut motiver certains élèves ! Et même corriger certaines de ses erreurs comme nous l’avons fait dans l’analyse ! dire à un élève qu’il va corriger une erreur de Galois, c’est t(r)op !

L'oeil malicieux de Galois, né en 1811, réactualisé en 2011