26 septembre 2010
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"Souffler n'est pas jouer", vieille expression du jeu de Dames ("ne pas se laisser souffler sa dame sans damer le pion", Balzac, La cousine Bette, 1846).
En logique c'est pareil : vérifier n'est pas confirmer. Comme le montre le test logique suivant, dont je ne vous dis pas le nom.

Quatre cartes bifaces sont sur la table - chacune d'elles porte une lettre sur une face, un chiffre sur l'autre. La question est :
Quelle(s) carte(s) dois-je retourner pour vérifier l'assertion suivante : "Toute carte portant une voyelle sur une face porte un chiffre pair sur l'autre" ?
Donnez la réponse, rien que la réponse, toute la réponse. Si possible en expliquant le titre du billet...
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"Jeux" et curiosités mathématiques
19 septembre 2010
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J'ai bien aimé "le media du jour" de Wikimedia commons, vidéo de construction à la règle et au compas d'un pentagone : ici.
(voir aussi les constructions de Descartes à la règle et au compas - il n'avait pas enregistré de fichier SVG ou MP4...)
11 septembre 2010
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Le plus terrible c'étaient ceux qui sautaient d'en haut. Ces images ont rapidement disparu des écrans. Je les ai revues hier dans un fictio-documentaire sur la TNT. Ce matin je n'ai pu m'émpêcher de faire le calcul - c'était comme un devoir : du haut des 400 mètres (vitesse au sol environ 320 km/h) cela durait 9 secondes. Je les ai comptées, in memoriam.
Published by Alexandre Moatti
8 août 2010
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(inspiré du magazine Tangente, novembre 2009)
Par combien de 0 se termine le nombre 2010!?
(c'est à dire le nombre factorielle de 2010, soit 2010! = 2010×2009×2008...×2×1). On ramasse les copies à la rentrée.
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"Jeux" et curiosités mathématiques
9 mai 2010
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On connaît le cône classique de révolution (le sablier), et ses coupes par tous types de plans qui donnent les coniques (ellipses, paraboles, hyperboles), dont la coupa pr un plan perpendiculaire à l’axe du cône qui donne un cercle. Ce sont les seuls cercles du cône de révolution.

On a vu que dans le tore on trouvait une famille étonnante de cercles hors les méridiens et parallèles, les cercles de Villarceau.
Prenons maintenant un cône qui n’est pas un cône de révolution – un cône comme ci-dessous. On pourrait dire qu’il est construit à partir d’un triangle rectangle : on fait monter un cercle le long des deux droites ci-dessous qui forment un triangle rectangle (l'image est volontairement quelconque pour vous permettre d'exercer votre imagination).
Cette figure comprend bien évidemment une famille de cercles, celui qu’on voit là et ceux qui lui sont parallèles (le cercle montant vers le sommet). La question est : existe-t-il une autre famille de cercles (à l’inverse du cône de révolution) ? et si oui laquelle ? A vos commentaires !
(question en hommage à Adrien Douady qui posait ce sujet à sa petite-fille, comme me l’a récemment raconté son fils Raphaël)
24 avril 2010
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La somme des angles d’un triangle, c’est bien connu, vaut… l’angle plat (regardez la démonstration d’Euclide sur Wikipedia). Mais, c’est moins connu, la somme des angles d’un quadrilatère convexe (par exemple un carré) vaut… deux angles plats (360°). La somme des angles d’un pentagone (5 côtés) vaut… trois angles plats (540°). La somme des angles d’un hexagone vaut… quatre plats (720°). La somme des angles d’un polygone convexe à n côtés vaut (n – 2) angles plats. Je vous propose deux démonstrations graphiques de cela.
La première, c’est de remarquer qu’un carré, c’est deux triangles accolés, donc deux plats pour la somme des angles ; un pentagone c’est un triangle accolé à un quadrilatère, donc trois plats (cf. figure ci-après) ; un hexagone, c’est deux quadrilatères accolés ou un pentagone accolé à un triangle, etc.

La seconde ressemble à celle du triangle telle que mentionnée ci-dessus. Elle consiste à « remplacer un sommet par un côté » dans un polygone convexe à n côtés: il devient un polygone convexe à (n+1) côtés. Regardons ce qui se passe. À gauche, en violet, l’angle α du sommet d’un polygone convexe. Au milieu, on trace un trait qui va servir de support au nouveau côté – il forme un angle β (peu importe la valeur de cet angle, elle va disparaître). À droite, on décale légèrement un des côtés de l’angle initial (en conservant le parallélisme), c’est ce que j’appelle « le remplacement d’un sommet par un côté ». Les angles marqués en noir sont conservés. On en déduit facilement les angles marqués en violet, et on remarque que la somme des deux angles violets vaut π + α (β disparaît). Ainsi, en remplaçant un sommet par un côté, on est passé de α (angle initial, à gauche) à π + α (à droite) pour la valeur contributive à la somme des angles de la figure. On a bien augmenté la somme des angles d’une valeur π en ajoutant un côté.
Pour ceux qui veulent aller plus loin : on remarquera que la démonstration d’Euclide « la somme des angles d’un triangle vaut 180° » n’est valable qu’en utilisant le 5° postulat « Par un point extérieur à une droite, on peut faire passer une et une seule parallèle à cette droite ». D’ailleurs, dans les géométries non-euclidiennes où ce 5° postulat n’existe pas, la somme des angles d’un triangle est inférieure à π (géométrie hyperbolique) ou supérieure (géométrie sphérique) (mon ouvrage chapitre 8, Vivons-nous dans une géométrie euclidienne ?). Ci-dessus aussi intervient le 5° postulat, de manière évidente dans la seconde démonstration, je crois aussi dans la première démonstration. Votre avis sur ce dernier point ?
10 avril 2010
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La dernière livraison BibNum porte sur le réflexe conditionnel (Pavlov, années 1890). Après Broca (1861), c'est une bonne opportunité pour continuer à s'initier à la neurologie. C’est en effet une promenade érudite à travers l’ensemble des travaux sur la mémoire de 1900 à nos jours à laquelle nous invite R. Bauchot. Le chien de Pavlov et son « réflexe conditionné » (saliver à l’audition d’une sonnerie qui annonce la nourriture) en est le point de départ. Le conditionnement pavlovien (liant deux événements indépendants) a ouvert la voie au conditionnement opérant (le rat appuie sur un bouton et voit le résultat de son action). On verra que les neurones communiquent entre eux par les synapses, unité fonctionnelle du système nerveux. Un des deux types de synapses fonctionne de manière beaucoup plus lente et permet le renforcement de la réponse à une action répétée– une sensibilisation à la base de la mémoire. On distingue différents types de mémoires, dont la mémoire à court terme, la mémoire procédurale, (apprentissage moteur ou habitudes, faire du vélo, se servir de couverts), et la mémoire sémantique (le « savoir quoi » : parler français, connaître les capitales,…). À découvrir sur BibNum. Ci-dessous, le chien de Pavlov, auquel on dressé une statue dans le parc du laboratoire de Moscou !

Published by Alexandre Moatti
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BibNum
10 avril 2010
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Je n’aime que moyennement les romans scientifiques – en mathématiques m’ont plu Le dernier théorème de Fermat (Simon Singh), et le moins connu L'oncle Petros et la conjecture de Goldbach, d’Apostolos Dioxadis. Je ne mentionnerai pas les « romans scientifiques » qui ne m’ont pas plu… Je viens de terminer Les Animaux dénaturés, livre (disponible en Livre de Poche) de 1952 de Vercors (1902-1991), l’auteur du fameux Silence de la Mer. Il est présenté sur Wikipedia comme un roman de science-fiction (et même précurseur d’une science-fiction française). Je ne le décrirai pas comme cela, j’ai trouvé que c’était un récit très intéressant sur l’évolution : le fait qu’il se passe en Grande-Bretagne renforce l’aspect « darwinien » du roman.
Je mentionnerai deux citations qui m’ont fait réfléchir. La première recoupe mes réflexions sur l’alterscience, et notamment sur certains aspects du créationnisme américain en astrophysique (NB : orthogenèse = penser qu’il y a une direction dans l’évolution):
Même Pop n’est orthogéniste que pour des raisons strictement scientifiques (…) Ce n’est point parce qu’il croit à une volonté divine qu’il est orthogéniste, mais au contraire parce qu’il est orthogéniste qu’il croit à une volonté divine.
La seconde citation donne la clef du titre – les protagonistes cherchent à définir ce qu’est l’homme, par rapport à des singes ou hommes appelés Tropis qu’ils ont découverts. La différence, selon Vercors, ne serait pas tant liée à l’intelligence qu’au rapport à la nature :
L’animal a continué de la subir. L’homme a brusquement commencé de l’interroger (…) Or, pour interroger, il faut être deux : celui qui interroge, celui qu’on interroge. Confondu avec la nature, l’animal ne peut l’interroger. Voilà, il me semble, le point que nous cherchons. L’animal fait un avec la nature. L’homme fait deux. Pour passer de l’inconscience passive à la conscience interrogative, il a fallu ce schisme, ce divorce, il a fallu cet arrachement (…) Animal avant l’arrachement, homme après lui. Des animaux dénaturés, voilà ce que nous sommes.
Je recommande la lecture de cette fiction philosophico-scientifique…
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Biologie -sciences de la vie
8 mars 2010
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Un classique mais qui plaît toujours: Une femme a deux enfants dont une fille, quelle est la probabilité pour que son autre enfant soit un garçon ?
(à rapprocher du jeu des trois portes, largement discuté dans le chapitre 10 de mon ouvrage Les indispensables mathématiques et physiques, jeu plus élaboré que la question ci-dessus : vous êtes face à trois portes dont une seule vous donne le salut 1) Vous en choisissez une, sans l'ouvrir. 2) le jeu vous donne ensuite une indication en ouvrant un des deux autres portes - sachant que le jeu ne vous indique jamais la porte du salut. 3) à ce moment-là, vous pouvez soit maintenir votre choix initial en 1, soit le modifier et choisir la troisième porte : qu'avez-vous intérêt à faire?)
Published by Alexandre Moatti
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"Jeux" et curiosités mathématiques
24 février 2010
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On le sait, l'innovation n'est pas toujours technologique. Voici une innovation d'usage, dans le métro/RER parisien. Auparavant, les tubes d'acier pour se tenir étaient de simples barres verticales. Maitenant ils sont divisés en trois (on voit nettement la soudure), permettant, avec l'augmentation de la population, à de plus nombreuses personnes de se tenir. Cela empêche le frôlement de mains parfois torridement érotique, mais c'est utile.
Published by Alexandre Moatti
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Le saviez-vous