<![CDATA[Commentaires de l'article: Complètement cycloïdique ! (2)]]> http://www.maths-et-physique.net/article-16990117-6.html#anchorComment Les 25 derniers commentaires publiés sur l'article "Complètement cycloïdique ! (2)" du blog "Les indispensables mathématiques et physiques" fr http://fdata.over-blog.net/0/31/93/70/avatar.png <![CDATA[Commentaires de l'article: Complètement cycloïdique ! (2)]]> http://www.maths-et-physique.net/article-16990117-6.html#anchorComment Mon, 20 Feb 2012 02:49:15 +0100 Mon, 20 Feb 2012 02:49:15 +0100 Over-blog.com RSS 2.0 Engine Copyright 2012 www.maths-et-physique.net D'autres quasi-indispensables physiques http://www.rssboard.org/rss-specification/ <![CDATA[Commentaire de Serma]]> http://www.maths-et-physique.net/article-16990117-6.html#comment25406457 Brachistochrone : le retour de la roue de vélo
 
Une démonstration réalisée en Mathematica illustre la solution de Johann Bernouilli et montre que la cycloïde est la courbe recherchée.
http://demonstrations.wolfram.com/BrachistochroneProblem/
Le player Mathematica est gratuit.
]]> Thu, 13 Mar 2008 13:35:58 +0100 f5a6b37ddd46f5bc2d991cfec21baea7 <![CDATA[Commentaire de Alexandre Moatti]]> http://www.maths-et-physique.net/article-16990117-6.html#comment25108264 Beverycool, cela a l'air fort intéressant, il faudrait voir le texte de 1669 qui a l'air plus correspondre à notre recherche, et plus simple sans doute. Merci de votre apport. A.M.]]> Tue, 04 Mar 2008 22:32:53 +0100 3801c4b5dcce42236aa8216938eec567 <![CDATA[Commentaire de Alexandre Moatti]]> http://www.maths-et-physique.net/article-16990117-6.html#comment25108178 Merci Serma de cet apport. C'est très intéressant mais on reste encore pas mal dans les mathématiques (l'étape 7 surtout n'est sans doute pas évidente), et en effet comme vous le dites loin de la propriété "roue de vélo" de la cycloïde. On va étudier cela de plus près. A.M.
PS: j'ai retrouvé votre mél du 15 février - ne soyez pas vexé ! - le tour de cartes a l'air assez trapu quand même, là aussi je vais étudier cela. Merci de nouveau.]]> Tue, 04 Mar 2008 22:30:52 +0100 b7a3b8f378c02e81687725f187f13f46 <![CDATA[Commentaire de Serma]]> http://www.maths-et-physique.net/article-16990117-6.html#comment25024496 Bonjour,
Le regretté Miguel de Guzmán a écrit un beau chapitre sur la cycloïde dans son livre "Aventures mathématiques" paru aux Presses Polytechniques et Universitaires Romandes en 1990.
Il rappelle le défi que Johann Bernoulli a lancé à tous les mathématiciens d'Europe en 1696 : "Si deux points A et B sont donnés sur un plan vertical, trouver le chemin AMB par lequel un point mobile M, soumis à la pesanteur, glisse du point A au point B en un temps minimal".
Newton, Leibniz, son frère Jakob et d'autres surent résoudre le problème.
Je cite de Guzmán : "[La solution] de Johann Bernoulli, un mélange de physique et de géométrie, fut géniale, bien que moins féconde et générale que celle de son frère." Il fait référence à la méthode de Jakob qui débouchera sur le calcul des variations.
"Voici en quelques points un schéma de la solution de Johann."
1) "Quand la bille aura descendu la hauteur h, sa vitesse sera de RACINE(2gh) (loi de la chute libre). Mais nous ne savons pas encore quelle direction prendra cette vitesse."
2) "Nous savons (principe de Fermat) que la vitesse voyage d'un point à un autre dans le temps le plus petit possible."
3) "Nous savons aussi que la vitesse de la lumière varie selon le milieu où elle voyage.
Si la lumière voyage à des vitesses v1 et v2 dans deux milieux différents, la loi de la réfraction nous dit que [les angles d'incidence et de réfraction (a1) et (a2), mesurés par rapport à la normale sont tels que] : sin(a1)/v1 = sin(a2)/v2 = constante = k."
4) "Imaginons un milieu optique formé par des couches horizontales et fines tel que la vitesse de la lumière dans chaque couche soit v1, v2, ..., vn. Alors un rayon suivrait une trajectoire de façon que sin(aj)/vj = k et ce chemin du rayon de lumière serait le chemin du temps minimal pour aller de A à B aux vitesses indiquées."
5) "Dans notre cas, la vitesse en descendant de h est précisément RACINE(2gh). [...]."
6) "Ainsi, la courbe qui donne le chemin de temps minimal compatible avec la vitesse indiquée est celle qui satisfait sin(a)/RACINE(2gh) = k."
7) Il démontre enfin que la cycloïde est la courbe recherchée.
 
Nous sommes un peu loin de la roue de vélo. La méthode de Johann Bernoulli est-elle assez intuitive à vos yeux ?
 
Meilleures salutations,
Serma
PS : Je suis vexé car je n'ai pas reçu de réponse au "meilleur tour de carte" que j'ai envoyé à votre adresse des mines.org (http://people.brandeis.edu/~kleber/pubs.html).
]]> Sun, 02 Mar 2008 15:29:35 +0100 f6bb62ebb8268ee3f8fc1a1a6a1362fb <![CDATA[Commentaire de olivier Leguay]]> http://www.maths-et-physique.net/article-16990117-6.html#comment24833797 Mon, 25 Feb 2008 18:13:06 +0100 251623f6ad2de517690c8a544e910887 <![CDATA[Commentaire de olivier Leguay]]> http://www.maths-et-physique.net/article-16990117-6.html#comment24833485 Je viens de lire de façon un peu plus attentive l'excellent article de Jacques Dubois qu'il a publié sur Le Bulletin de l'Union des Physiciens 737 de 1991 concernant la cycloïde. J'ai bien l'impression que c'est Newton qui a fait le lien. En 1669, il parle du cercle générateur de la cycloïde et étudie l'accélération tangentielle constante le long de cette courbe pour un point pesant la parcourant. Le lien entre la cycloïde générée par le déplacement d'un cercle et le fait que cette courbe soit tautochrone semble donc réalisé ici.

En 1697, dans la première édition des Principia, il étudie le mouvement des des corps se déplaçant dans un fluide sans viscosité et incompréssible. Il montre en utilisant le cercle générateur et la théorie des fluxions, que le profil de la cycloïde correspond à la surface de moindre résistance. Même si la démonstration est absente des Principia, elle a été retrouvée dans ses écrits non publiés. La démonstration de la brachistochrone, une fois la précédente réalisée en découle en utilisant la théorie des fluxions.

 

 

]]> Mon, 25 Feb 2008 18:05:00 +0100 eca12ca71a3744708d0f252fd39385dc <![CDATA[Commentaire de Enro]]> http://www.maths-et-physique.net/article-16990117-6.html#comment24832986 Mon, 25 Feb 2008 17:50:26 +0100 ff27803299716b6c9f87302e7f78af65 <![CDATA[Commentaire de Alexandre Moatti]]> http://www.maths-et-physique.net/article-16990117-6.html#comment24808487 Bonjour Olivier, il y a de belles pages sur la cycloïde vue par Huygens dans le livre de Simon Gindikin "Histoires de mathématiciens et physiciens", Editions Cassini, 2000. Des pages assez mathématiques, mais qui expliquent bien l'histoire de la cycloïde : mais sans doute connaissez-vous cet ouvrage. C'est intéressant en effet que l'IREM s'ocupe de cela : si vous trouvez une interprétation physique des propriétés de la cycloïde, donnez-nous des indications ici ou sur votre excellent blog. Mais à mon avis c'est difficile, sinon cela aurait déjà été fait.
A.M.]]> Sun, 24 Feb 2008 21:17:18 +0100 060e60d33bf433d1a128b7ab8c5a9386 <![CDATA[Commentaire de Alexandre Moatti]]> http://www.maths-et-physique.net/article-16990117-6.html#comment24808195 Bien vu. Ecrit trop vite. C'était "court en temps", bien sûr, mais vous avez raison cela s'appelle rapide. Je rectifie, mais maintiens mon étonnement sur cette courbe comparée à la droite. Merci. A.M.]]> Sun, 24 Feb 2008 21:08:52 +0100 2daac333688b39e20627c0eac1c17f58 <![CDATA[Commentaire de Bartux]]> http://www.maths-et-physique.net/article-16990117-6.html#comment24807221 Ne serait-ce pas plutôt le chemin le plus rapide ?]]> Sun, 24 Feb 2008 20:41:01 +0100 b02583daae2d605588961e09d90d6c73 <![CDATA[Commentaire de olivier Leguay]]> http://www.maths-et-physique.net/article-16990117-6.html#comment24799307 Sun, 24 Feb 2008 16:05:32 +0100 be802616dea9475c3a8fea25fe3c84f0