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CouvPocheIndispensables
J'ai créé ce blog lors de la sortie de mon livre "Les Indispensables mathématiques et physiques pour tous", Odile Jacob, avril 2006 ; livre republié en poche en octobre 2011 (achat en ligne) (sommaire du livre).
Je développe dans ce blog des notions de mathématiques et de physique à destination du plus large public possible, en essayant de susciter questions et discussion: n'hésitez pas à laisser vos commentaires!

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Indispensables astronomiques

Nouveauté octobre 2013, mon livre "Les Indispensables astronomiques et astrophysiques pour tous" est sorti en poche, 9,5€ (éditions Odile Jacob, éidtion originale 2009). Comme mon premier livre (Les Indispensables mathématiques et physiques), c'est un livre de notions de base illustrées avec des exemples concrets, s'appuyant sur les mathématiques (géométrie notamment) pour l'astronomie, et sur la physique pour l'astrophysique. Je recommande vivement sa lecture.

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27 mars 2011 7 27 /03 /mars /2011 10:22

Le Berger nous guide pauvre horde de moutons pas assez matheux : après nous avoir fait découvrir les cercles du tore (sur ce blog et sur BibNum), il nous dit qu’il suffit de baisser les yeux (toujours dans la rue, mais à l’inverse d’ici) pour voir des polygones réguliers… sur les enjoliveurs des roues de voiture.


Pour les polygones réguliers dans les enjoliveurs on en voit (jusqu’à l'ordre 20 dixit Berger), ainsi que des polygones réguliers étoilés – il n’est donc pas nécessaire de lever les yeux pour voir des étoiles ! Magnifique dessin à la main de (l’étoile du) Berger ci-dessous :

 Berger-etoiles.JPG

 

1° challenge (facile) : indiquez en commentaire ce que signifie la fraction en bas à gauche et le petit signe cabalistique en bas à droite de chaque polygone.

 

2° challenge : c’est plus difficile de distinguer dans la vraie vie des enjoliveurs ceux qui sont simples et ceux qui sont étoilés (avec les masses d’aluminium les deux ont vite fait de se confondre dans notre vision). Je lance un concours de photos de polygones étoilés sur enjoliveurs. Je commence avec un (5,2) sur Mercédès Swatch ci-dessous. Toutes photos de polygones ETOILES d’ordre supérieur, ou bien (5,2) où l’étoile est plus visible encore, sont les bienvenues : vous pouvez les mettre en ligne à un endroit de votre choix et me prévenir par le courriel de contact ci-dessous, ou me les envoyer au même courriel, je les publierai dans ce billet en vous créditant (préciser aussi l’automobile).

Enjol1.jpg

3° challenge : ma courte expérience de photographe d’enjoliveurs étoilés m’a montré qu’il est plus facile de reconnaître un étoilé d’un régulier quand le polygone est d’ordre impair. Si vous avez la même idée, expliquez pourquoi…

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19 septembre 2010 7 19 /09 /septembre /2010 09:15

J'ai bien aimé "le media du jour" de Wikimedia commons, vidéo de construction à la règle et au compas d'un pentagone : ici.

construction-pentagone.JPG

(voir aussi les constructions de Descartes à la règle et au compas - il n'avait pas enregistré de fichier SVG ou MP4...)

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9 mai 2010 7 09 /05 /mai /2010 10:06

On connaît le cône classique de révolution (le sablier), et ses coupes par tous types de plans qui donnent les coniques (ellipses, paraboles, hyperboles), dont la coupa pr un plan perpendiculaire à l’axe du cône qui donne un cercle. Ce sont les seuls cercles du cône de révolution.


Coniques cone

On a vu que dans le tore on trouvait une famille étonnante de cercles hors les méridiens et parallèles, les cercles de Villarceau.


Prenons maintenant un cône qui n’est pas un cône de révolution – un cône comme ci-dessous. On pourrait dire qu’il est construit à partir d’un triangle rectangle : on fait monter un cercle le long des deux droites ci-dessous qui forment un triangle rectangle (l'image est volontairement quelconque pour vous permettre d'exercer votre imagination).

 Cone-triangle-rectangle.PNG

Cette figure comprend bien évidemment une famille de cercles, celui qu’on voit là et ceux qui lui sont parallèles (le cercle montant vers le sommet). La question est : existe-t-il une autre famille de cercles (à l’inverse du cône de révolution) ? et si oui laquelle ? A vos commentaires !

 

(question en hommage à Adrien Douady qui posait ce sujet à sa petite-fille, comme me l’a récemment raconté son fils Raphaël)

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24 avril 2010 6 24 /04 /avril /2010 14:17

La somme des angles d’un triangle, c’est bien connu, vaut… l’angle plat (regardez la démonstration d’Euclide sur Wikipedia). Mais, c’est moins connu, la somme des angles d’un quadrilatère convexe (par exemple un carré) vaut… deux angles plats (360°). La somme des angles d’un pentagone (5 côtés) vaut… trois angles plats (540°). La somme des angles d’un hexagone vaut… quatre plats (720°). La somme des angles d’un polygone convexe à n côtés vaut (n – 2) angles plats. Je vous propose deux démonstrations graphiques de cela.

 

La première, c’est de remarquer qu’un carré, c’est deux triangles accolés, donc deux plats pour la somme des angles ; un pentagone c’est un triangle accolé à un quadrilatère, donc trois plats (cf. figure ci-après) ; un hexagone, c’est deux quadrilatères accolés ou un pentagone accolé à un triangle, etc.

Pentagone.PNG

La seconde ressemble à celle du triangle telle que mentionnée ci-dessus. Elle consiste à « remplacer un sommet par un côté » dans un polygone convexe à n côtés: il devient un polygone convexe à (n+1) côtés. Regardons ce qui se passe. À gauche, en violet, l’angle α du sommet d’un polygone convexe. Au milieu, on trace un trait qui va servir de support au nouveau côté – il forme un angle β (peu importe la valeur de cet angle, elle va disparaître). À droite, on décale légèrement un des côtés de l’angle initial (en conservant le parallélisme), c’est ce que j’appelle « le remplacement d’un sommet par un côté ». Les angles marqués en noir sont conservés. On en déduit facilement les angles marqués en violet, et on remarque que la somme des deux angles violets vaut  π + α (β disparaît). Ainsi, en remplaçant un sommet par un côté, on est passé de α (angle initial, à gauche) à π + α  (à droite) pour la valeur contributive à la somme des angles de la figure. On a bien augmenté la somme des angles d’une valeur π en ajoutant un côté.

 Somme-des-angles.PNG

 

Pour ceux qui veulent aller plus loin : on remarquera que la démonstration d’Euclide « la somme des angles d’un triangle vaut 180° » n’est valable qu’en utilisant le 5° postulat « Par un point extérieur à une droite, on peut faire passer une et une seule parallèle à cette droite ». D’ailleurs, dans les géométries non-euclidiennes où ce 5° postulat n’existe pas, la somme des angles d’un triangle est inférieure à π (géométrie hyperbolique) ou supérieure (géométrie sphérique) (mon ouvrage chapitre 8, Vivons-nous dans une géométrie euclidienne ?). Ci-dessus aussi intervient le 5° postulat, de manière évidente dans la seconde démonstration, je crois aussi dans la première démonstration. Votre avis sur ce dernier point ?

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8 novembre 2009 7 08 /11 /novembre /2009 10:29

La lecture du livre de Marcel Berger (Géométrie vivante, ou l'échelle de Jacob, Cassini 2009 – livre ardu mais passionnant – il porte bien son titre, c'est vivant) m'a ouvert les yeux sur la géométrie du tore – un tore c'est un beignet ou une bouée ou un pneu. Il existe quatre familles de cercles à la surface d'un tore : les méridiens (on coupe des tranches de bouée comme un saucisson), les parallèles (on coupe par un plan parallèle à l'eau, pour une bouée), et les cercles de Villarceau – mais où sont ces cercles ? Berger nous dit qu'il a été abasourdi, à l'âge de 16 ans, de découvrir l'existence de ces cercles, et qu'il a même coupé un anneau en bois afin de les voir….. Moi-même, quelques années après mes 16 ans, je suis aussi abasourdi – mais où sont ces cercles ?

(figure ci-dessus, extraite du livre de Berger – assez sympa qu'il y ait certaines figures à la main – çà désacralise) Ces cercles correspondant en fait à la coupe par un plan bitangent : c'est-à-dire un plan horizontal tangent en haut d'un côté de la bouée, passant par le centre, et tangent en bas de l'autre côté de la bouée. Berger nous dit en légende : "Le lecteur pourra se convaincre à sa façon de la réalité des cercles de Villarceau"

J'aime bien ce genre de légendes : çà marche, car finalement le lecteur se prend au jeu. La page Wikipedia est certes intéressante; je ne suis pas sûr qu'Yvon Villarceau aurait décrit « ses » cercles (qui, au passage, étaient connus bien avant lui !) ainsi, avec des équations cartésiennes ou avec la fibration de Hopf ! le seul problème c'est que je ne comprends pas l'animation sur la page... Alors, pour me « convaincre », j'ai essayé une autre construction.

 



Je prends un plan vertical qui coupe le tore, et je vais le faire pivoter à 90° en un plan horizontal qui coupe le tore, en regardant les positions intermédiaires. Donc au départ (à gauche ci-dessus), plan vertical, deux tranches de saucisson (méridiens). A l'arrivée (à droite ci-dessus), deux cercles concentriques (parallèles). Et entre, que se passe-t-il ?

1) On part de la gauche, on incline notre plan, les deux points marqués à droite (ainsi que les symétriques à gauche, non marqués) restent les mêmes ; la surface de coupe du plan par le tore devient une espèce de haricot – je n'en suis pas sûr mais je pense que c'est cela. Pour s'en "convaincre", on coupe un bout de cylindre par un plan (ellipse), on tord en tore le bout de cylindre, l'ellipse se tord.

2) On part de la droite, on incline notre plan, les deux points marqués à droite (ainsi que les symétriques à gauche, non marqués) restent les mêmes ; le cercle extérieur s'aplatit en ellipse, le cercle intérieur s'agrandit en ellipse – on peut l'illustrer ainsi : les deux points marqués sur figure ci-dessus restent fixes quand on fait tourner notre plan, et les autres points, à 90°, donnent la figure ci-dessus quand notre plan part de l'horizontale (ci-dessus à droite); la distance au point extérieur diminue de OA en OA', celle du point intérieur OB augmente.


Mais alors, encore une fois, où sont-ils ces fameux cercles de Villarceau ? eh bien, on va les trouver à la place du point d'interrogation ci-dessus, comme une animation des figures voisines, par la droite ou par la gauche :

 

A gauche, les deux figures vont peu à peu se rapprocher pour former deux cercles, le périmètre externe d'une des figures (vert à gauche) venant relier le périmètre interne de l'autre (vert au milieu) ; idem à droite; idem pour les figures rouges ; venant de la droite ou de la gauche, cela forme au point de bitangence la figure du milieu, celle des deux cercles de Villarceau, et dans l'espace les voici (image Wikipedia) :

Voici donc comment deux cercles séparés, les méridiens (à gauche, première figure ci-dessus sous le trait), se transforment en deux cercles concentriques, les parallèles (à droite même figure), en passant par deux cercles entrelacés style anneaux olympiques, les cercles de Villarceau.

 


Question subsidiaire (facile), pour ceux qui ont suivi (même ceux qui n'ont pas tout suivi): si l'on appelle classiquement R le grand rayon du tore et r son petit rayon, quel est le rayon du cercle de Villarceau ?

(ajoût d'avril 2010) voir récent article de Marcel Berger sur les cercles de Villarceau dans BibNum

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3 avril 2009 5 03 /04 /avril /2009 21:39

Le texte BibNum d'Alain Juhel, professeur au lycée Faidherbe de Lille, sur Lambert et sa définition de la trigonométrie hyperbolique, m'a éclairé sur la signification géométrique du cosinus hyperbolique, dont j'avais appris les formules algébriques ½ (ex+ e-x) sans comprendre la signification géométrique.


Déjà pourquoi le terme trigonométrie hyperbolique ? parce que c'est la trigonométrie de l'hyperbole, comme la trigonométrie classique (cos, sin) est celle du cercle. L'une paramètre l'hyperbole, comme l'autre paramètre le cercle. Nous allons voir comment.


D'abord, pour ceux qui connaissent l'hyperbole sous la forme xy = 1 (avec pour asymptotes les axes des x et des y) , qu'ils ne soient pas dépaysés, il suffit de faire faire une rotation de -∏/4  suivie d'une homothétie de √2/2 (transformant le sommet 1,1 en le sommet 1,0), soit X = ½ (x+y) et Y = ½ (x-y), soit X² - Y² = xy = 1. La courbe X² -Y² = 1 est une hyperbole équivalente à xy = 1. On vérifie que les asymptotes de X² - Y² = 1 sont les droites Y = X et Y = - X.

La trigonométrie circulaire  (figure ci-dessus, à gauche) nous dit que, pour φ = angle ACN, N sur le cercle a pour coordonnées (cos φ, sin φ), X² + Y² = 1 , et  l'aire ACN est égale à la moitié de φ (calcul d'arcs : aire ACN = φ/2∏ × aire du cercle de rayon 1 = φ/2).


La trigonométrie hyperbolique (figure ci-dessus, à droite) va nous dire que, pour le même angle ACN, coupant l'hyperbole en M, M sur l'hyperbole a pour coordonnées non pas (ch φ, sh φ), mais (ch u, sh u), avec X² - Y² = 1 puisque ch²u - sh² u = 1 : c'est le paramétrage de l'hyperbole par la trigonométrie hyperbolique, u variant de 0 (sommet 1,0 de l'hyperbole) à ∞ (asymptote X = Y).


Mais ce qui est le plus intéressant, c'est que l'aire en rose ci-dessus, suivant la même sécante CNM, est, comme dans le cercle, donnée par le paramètre : elle vaut φ/2 pour le cercle (cf. ci-dessus), et u/2 pour l'hyperbole.



Pour ceux qui veulent approfondir et démontrer cela, je propose une solution différentielle. On commence par calculer de manière classique l'aire délimitée par la fonction rouge entre A et M, c'est-à-dire l'aire curviligne APM, où P est la projection de M sur l'axe des X (cf. figure de  Lambert ci-dessous). Ceci revient à intégrer YdX entre O et X, soit comme X = cht et Y = sht, intégrer shtdX soit sh²t dt entre 0 et u. Or sh² t = [1/2 (ex-e-x)]² = ½ (ch2t -1). La primitive de cette fonction est ¼ sh2t - ½ t, l'aire AMP recherchée vaut donc ¼ sh2u - ½ u. L'aire rose est donc égale à celle du triangle CPM moins celle qu'on vient de calculer ; elle vaut donc ½ shu chu - ¼ sh2u + ½u = ½u.

Enfin, Lambert nous donne, c'est lui qui le fait le premier, la relation, qui n'est pas simple, entre les deux paramètres φ et u de la même sécante CNM : elle est donnée par la pente de cette droite, sinφ/cosφ (pente en N) = shu/chu (pente en M), soit tgφ = thu. On mesure cette pente au points d'abscisse 1, soit A, on a donc tgφ = thu = AT.


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25 juillet 2008 5 25 /07 /juillet /2008 09:00
Je m'intéressais à la mathématique de l'arc-en-ciel (peut-être pour un prochain livre pour l'Année mondiale de l'Astronomie 2009 ?) et j'avais besoin de la dérivée de Arcsin (arcsinus, l'inverse de sinus, si y=sinx, alors x=arcsiny). Eh oui, cela paraît incroyable, mais on a besoin de cela si on veut approfondir le phénomène de l'arc-en ciel ! L'arc-en-ciel, c'est un mirage qu'on observe dans un rideau de pluie ou d'humidité, quand on tourne le dos au soleil, sur une certaine incidence des rayons solaires i qui minimise une fonction f(i) sous contrainte sini=nsinr (loi de réfraction de Descartes, n= 4/3 indice de l'eau)... Et, tout d'un coup, un trou, je n'arrive pas à me rappeler la formule pour la dérivée de l'inverse d'une fonction f. Autrement dit, je connais la dérivée de la fonction sinus, comment obtiens-je la dérivée de la fonction Arcsin?
Je me souviens de (f × g)', mais pas de
(f--1)’ ...


C'est alors que je me rappelle que la dérivée est un opérateur de composition, puisqu'il exprime, en physique, des mouvements infinitésimaux qui peuvent être eux aussi composés:

d f[g(x)] / dx = d f(y)/ dy  × dy/dx, où l'on pose y = g(x)
d f[g(x)] / dx = f'(y)  × g'(x)
d (f o g) = g' × (f' o g), où o est la fonction composée

Voilà la formule que je cherchais ; à partir de ce moment-là c'est plus facile ; on peut aussi en déduire (f--1)’ mais ce n'est pas nécessaire. J'écris la formule avec g = Arcsin et f = sin :

f o g = Id (Id est la fonction Id(x)=x)
En dérivant et en appliquant la formule:
1 = d(Id) = d (f o g) = Arcsin' × sin ' (Arcsin x) = Arcsin'
× cos (Arcsin x)
Donc la dérivée de Arcsin est Arcsin'(x) = 1/
cos (Arcsin x)

Je suis bien avancé, me direz-vous, mais cos (Arcsinx) est un nombre qui possède une propriété :

cos² (Arcsinx) + sin² (Arcsinx) = 1
cos²(Arcsinx) = 1 - x²
(Arcsinx)' = 1/√(1-x²)

J'aurais pu retrouver cette dérivée facilement sur Internet, mais je me suis dit que les mathématiques, c'était beau, notamment à partir de la physique de l'arc-en-ciel ! Pour la beauté de cette formule, j'ai continué pour retrouver la dérivée la plus simple, celle de l'exponentielle (qui est sa propre dérivée) g = exp , f = Log :

1 = exp' × Log ' (exp)
Or Log' (y) = 1/y, donc exp' = 1/(1/exp) = exp.
CQSMCQFD
(ce qu'on savait mais ce qu'il fallait démontrer)


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23 mars 2008 7 23 /03 /mars /2008 10:06
Diagonale-fractale.JPGOn prend un carré de côté 1, et on décompose ses côtés en n segments égaux, donc un quadrillage de n² petits carrés qu'on va densifier. On trace la courbe violette qui part, comme la diagonale, d'en bas à gauche pour aller en haut à droite, mais en suivant des marches d'escalier comme indiqué.
La longueur de la courbe violette est toujours 2, puisque ses éléments verticaux se superposent au côté vertical de longueur 1, et ses éléments horizontaux se superposent au côté horizontal de longueur 1.
Quelle que soit la valeur de n (par exemple si l'on décompose en deux à chaque fois, n= 2 puissance p), la surface comprise entre la courbe violette et la diagonale se compose de 2n triangles de côté 1/2n donc de surface 1/8n². Cette surface vaut 2n x 1/8n² = 1/4n elle tend vers 0 quand on fait croître n : la courbe violette se rapproche de la diagonale. On a donc une courbe de longueur 2 qui tend vers une courbe de longueur √2, longueur de la diagonale. Soit ce paradoxe qui nous ferait dire 2 = √2.


J'aime bien une première explication avec les fractales. La courbe composée des petits triangles est de périmètre constant égal à 2 et délimitant une surface (comprise entre la courbe et la diagonale) nulle à l'infini (1/4n). C'est une fractale de dimension inférieure à 1, une « poussière de points (ou poussière de Cantor) » (pour ceux qui connaissent les dimensions fractales, voir mon livre chapitre XXI, on a P = facteur de similarité = 2, Q = facteur d'homothétie = 4, Dimension= LogP/LogQ= ½). Dans le flocon fractal, on « crée de la matière » (dimension fractale comprise entre 1 et 2) ; dans les poussières de points, on « évide de la matière » (dimension fractale comprise entre 0 et 1) ; mais cette poussière de points reste non dénombrable, ce qui explique qu'en fait « 2 n'est pas égal à √2 ».

J'ai trouvé une autre explication dans Albert Jacquard, L'équation du nénuphar : il invoque aussi Cantor pour indiquer que le nombre de tournants de la courbe violette tend vers l'infini des nombres entiers (aleph 0), alors que la diagonale représente l'infini des nombres réels (aleph 1) : ces deux infinis sont différents, donc « 2 n'est pas égal à √2 ».

Ces deux explications ne sont pas contradictoires, si vous avez vous-même d'autres idées d'interprétation, n'hésitez pas à nous en faire part en commentaires !

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6 mars 2008 4 06 /03 /mars /2008 21:16
Guzman.JPGDécidément je n'arrive pas à me détacher de cette cycloïde,  c'est à cause des lecteurs du blog ! Un commentateur avisé, Serma (voir son commentaire sur mon précédent billet sur la cycloïde) a bien voulu me faire passer un extrait du livre de Miguel de Guzman, Aventures mathématiques (Presses universitaires romandes, 1990).
C'est avec étonnement que j'ai découvert  une autre propriété, mathématique celle-là, de la cycloïde.





On a vu qu'entre deux points de rebroussement  A et B de la cycloïde, la distance était (sur l'axe des abcisses) 2PiR, soit la longueur de la circonférence.  La longueur AB est donc incommensurable avec R, le rapport est même transcendant. Et pourtant viennent se loger deux nombres entiers dans cette cycloïde, comme nous le rappelle Guzman:
-  la longueur AB sur la cycloïde est égale à
8 fois le rayon (4 fois le diamètre).
- la surface sous l'arche de la cycloïde est égale à 3 fois celle du cercle.
Etonnant, non ? Bon, allez, j'arrête avec cet objet mathématico-physique étrange qu'est la cycloïde, cela tourne à l'obsession !
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21 janvier 2008 1 21 /01 /janvier /2008 22:01

Certaines lois économiques, même si elles ne sont pas scientifiquement fondamentales, sont intéressantes car elles font appel à l’intuition, et par ailleurs elles constituent une belle application des mathématiques à la vie courante. On a vu dans un précédent billet le principe des enchères de Vickrey (prix Nobel d’économie), et l’utilisation de ce mode d’enchères dans des sites internet.

Voyons à présent la «
loi de Metcalfe » ; elle ne porte pas le nom d’un prix Nobel, mais, comme la loi de Moore, d’un dirigeant de l’industrie (fondateur de la société 3M) ; c’est une loi empirique, que vous pouvez « intuiter » facilement. Elle dit que certains réseaux à N utilisateurs croissent en fonction de N².

D’abord, par contraste, l’exemple  d’un réseau qui n’obéit pas à cette loi : les abonnés à une chaîne de télévision. En jargon télécoms, c’est du « point-to-multipoint », ou du « broadcasting », c’est à dire qu’il n’y a pas de communications entre les abonnés eux-mêmes, mais entre un point central et les abonnés : ces réseaux croissent normalement en fonction du nombre d’abonnés N.

En revanche, les réseaux à communication entre utilisateurs, comme ceux de téléphone fixe, de GSM, d’e-mail, de peer-to-peer, ou les réseaux communautaires (Facebook et autres) actuellement en pleine croissance, obéissent à cette loi : le réseau prend de la valeur aux yeux d'un utilisateur en fonction du nombre potentiel d’utilisateurs avec lesquels il peut entrer en relation ; chacun des N utilisateurs peut le faire avec N utilisateurs (en fait N – 1 pour être précis, s’il ne se compte pas lui-même), donc existe un potentiel de N² communications possibles.

Metcalfe.JPG
Les réseaux de Metcalfe sont des réseaux où la croissance, en N² donc, peut présenter deux phases fort différentes, et différentes des réseaux à croissance en N :
-    Tant que N est faible, le réseau ne décolle pas : vous n’avez pas envie de vous abonner à     un réseau où vous pourriez entrer en relation avec un nombre limité de personnes.
-    A partir d’un certain nombre d’abonnés, l’abonnement se justifie, et le réseau va «exploser», avec un effet boule de neige en N² et non un effet linéaire en N.

(c’est ce qui semble se passer actuellement avec les réseaux communautaires de type Facebook ; c’est ce qu’il m’a semblé se passer entre septembre 1997 et janvier 1998 avec les GSM en France : on en voyait très peu avant cette période, par comparaison par exemple avec l’Italie, et d’ailleurs la France était à la traîne du développement du GSM en Europe ; après 1998, le réseau GSM a commencé à croître de manière importante).

Vous avez d'autres idées de réseaux en N ou N² (type Metcalfe) ? Mettez-les en commentaire !

 


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Alterscience (janvier 2013)

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Récréations mathéphysiques

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Mon dernier ouvrage est sorti le 14 octobre 2010 : Récréations mathéphysiques (éditions Le Pommier) (détails sur ce blog)

Einstein, un siècle contre lui

J'ai aussi un thème de recherche, l'alterscience, faisant l'objet d'un cours que j'ai professé à l'EHESS en 2008-2009 et 2009-2010. Il était en partie fondé sur mon second livre, "Einstein, un siècle contre lui", Odile Jacob, octobre 2007, livre d'histoire des sciences (voir billet sur ce blog, et notamment ses savoureux commentaires).

Einstein, un siècle contre lui