16 mai 2006
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En chapitre 5, je rappelle la définition d’un nombre parfait (égal à la somme de ses diviseurs hors lui-même), ainsi que la forme bien connue des nombres parfaits pairs. En revanche, on ne sait s’il existe un nombre parfait impair.
Pace Nielsen, de l’University of California, a démontré dans un article de février 2006 s’appuyant sur des résultats antérieurs que, si un nombre parfait impair existe:
- Il a au moins 9 facteurs premiers distincts.
- Si 3 ne fait pas partie de ses diviseurs, il a alors au moins 12 facteurs premiers distincts.
(Source Magazine La Recherche mai 2006)
9 mai 2006
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On entend souvent parler du théorème de Fermat, longtemps dit " grand théorème de Fermat ", appelé maintenant théorème de Fermat-Wiles. Il est émis comme une conjecture, sans démonstration, par Fermat en 1638 et démontré trois-cents cinquante ans plus tard par le mathématicien anglais Wiles en 1995 (voir livre " Les indispensables mathématiques et physiques pour tous ", chapitre 4).
On connaît moins le " petit théorème de Fermat ", qui, à la différence du grand, a été effectivement démontré par Fermat, et qui dit :
"Pour tout nombre entier a , pour tout nombre premier p, le nombre (ap – a) est divisible par p "
(autrement dit ap et a ont le même reste dans la division par p).
1 mai 2006
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Page 47, je rappelle la conjecture de Goldbach "Tout nombre pair peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers". Elle est émise par le mathématicien Christian Goldbach (1690- 1764) auprès du mathématicien suisse Leonard Euler (1707-1783) dans une lettre du 7 juin 1742.
Elle est indémontrée à ce jour; elle a été vérifiée comme exacte jusqu'au nombre pair 6´1016 par ordinateur en 2003.
(source Magazine La Recherche janvier 2004)
1 mai 2006
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Page 48 du livre, j'évoque le "théorème des quatre couleurs", à savoir la possibilité de colorier avec quatre couleurs seulement une carte géographique sans que deux pays voisins aient la même couleur.
C'est un cartographe anglais qui a émis cela comme une conjecture en 1852; cela n'a pu être démontré qu'en 1977, par ordinateur uniquement.
Je précise en complément que ce théorème - et les méthodes informatiques permettant sa démonstration - a une application pratique dans l'affectation par un opérateur mobile des fréquences GSM aux zones de couverture des stations de base de son réseau. En effet, comme dans la situation des quatre couleurs:
- un réseau GSM est modélisé, comme une carte géographique, par des hexagones contigus: chaque hexagone (appelé "cellule", d'où la notion de réseau cellulaire) correspond au rayonnement d'une station de base (environ 30 kms de diamètre en zone rurale).
- deux hexagones contigus ne doivent en aucun cas se voir attribuer la même bande de fréquences.
En réponse au commentaire de Sév ci-dessous. J'ai réfléchi à sa remarque, en fait cela revient à intuiter que le motif minimal à 4 couleurs ci-dessous est applicable à n'importe quelle carte (ce qui s'appelle si mes souvenirs sont bons un homéomorphisme = forme analogue) ce qui en effet est loin d'être évident (NB: deux pays qui ne se touchent que par un coin, par exemple les Etats des USA, ne sont pas considérés comme voisins).
30 avril 2006
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(source magazine La Recherche avril 2006)
Au loto, six boules sont tirées parmi des boules numérotées de 1 à 49.
La probabilité qu'un tirage comporte deux numéros consécutifs est de 49,5%!
Encore une curiosité des probabilités, à rapprocher de celle que je détaille dans mon livre à propos des dates d'anniversaire (chapitre 10 consacrés au probabilités): à partir de 23 personnes dans une pièce, l'événement "deux d'entre eux aient la même date d'anniversaire" est plus probable que l'événement "toutes ont des dates d'anniversaire différentes".
