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CouvPocheIndispensables
J'ai créé ce blog lors de la sortie de mon livre "Les Indispensables mathématiques et physiques pour tous", Odile Jacob, avril 2006 ; livre republié en poche en octobre 2011 (achat en ligne) (sommaire du livre).
Je développe dans ce blog des notions de mathématiques et de physique à destination du plus large public possible, en essayant de susciter questions et discussion: n'hésitez pas à laisser vos commentaires!

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Indispensables astronomiques

Nouveauté octobre 2013, mon livre "Les Indispensables astronomiques et astrophysiques pour tous" est sorti en poche, 9,5€ (éditions Odile Jacob, éidtion originale 2009). Comme mon premier livre (Les Indispensables mathématiques et physiques), c'est un livre de notions de base illustrées avec des exemples concrets, s'appuyant sur les mathématiques (géométrie notamment) pour l'astronomie, et sur la physique pour l'astrophysique. Je recommande vivement sa lecture.

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23 mars 2008 7 23 /03 /mars /2008 10:06
Diagonale-fractale.JPGOn prend un carré de côté 1, et on décompose ses côtés en n segments égaux, donc un quadrillage de n² petits carrés qu'on va densifier. On trace la courbe violette qui part, comme la diagonale, d'en bas à gauche pour aller en haut à droite, mais en suivant des marches d'escalier comme indiqué.
La longueur de la courbe violette est toujours 2, puisque ses éléments verticaux se superposent au côté vertical de longueur 1, et ses éléments horizontaux se superposent au côté horizontal de longueur 1.
Quelle que soit la valeur de n (par exemple si l'on décompose en deux à chaque fois, n= 2 puissance p), la surface comprise entre la courbe violette et la diagonale se compose de 2n triangles de côté 1/2n donc de surface 1/8n². Cette surface vaut 2n x 1/8n² = 1/4n elle tend vers 0 quand on fait croître n : la courbe violette se rapproche de la diagonale. On a donc une courbe de longueur 2 qui tend vers une courbe de longueur √2, longueur de la diagonale. Soit ce paradoxe qui nous ferait dire 2 = √2.


J'aime bien une première explication avec les fractales. La courbe composée des petits triangles est de périmètre constant égal à 2 et délimitant une surface (comprise entre la courbe et la diagonale) nulle à l'infini (1/4n). C'est une fractale de dimension inférieure à 1, une « poussière de points (ou poussière de Cantor) » (pour ceux qui connaissent les dimensions fractales, voir mon livre chapitre XXI, on a P = facteur de similarité = 2, Q = facteur d'homothétie = 4, Dimension= LogP/LogQ= ½). Dans le flocon fractal, on « crée de la matière » (dimension fractale comprise entre 1 et 2) ; dans les poussières de points, on « évide de la matière » (dimension fractale comprise entre 0 et 1) ; mais cette poussière de points reste non dénombrable, ce qui explique qu'en fait « 2 n'est pas égal à √2 ».

J'ai trouvé une autre explication dans Albert Jacquard, L'équation du nénuphar : il invoque aussi Cantor pour indiquer que le nombre de tournants de la courbe violette tend vers l'infini des nombres entiers (aleph 0), alors que la diagonale représente l'infini des nombres réels (aleph 1) : ces deux infinis sont différents, donc « 2 n'est pas égal à √2 ».

Ces deux explications ne sont pas contradictoires, si vous avez vous-même d'autres idées d'interprétation, n'hésitez pas à nous en faire part en commentaires !

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commentaires

toto 20/12/2016 05:21

Le cardinal de IR, l'ensemble des réels, n'est pas aleph1 mais 2 puissance aleph0. Paul Cohen est le seul logicien médaillé Fields, pour avoir prouvé que, si les axiomes de la théorie des ensembles sont cohérents, alors il est cohérent aussi d'ajouter l'exigence que aleph1 est strictement inférieur au cardinal de IR.
J'ignore comment Jacquard présente cela, mais, comme d'autres commentateurs ici, je ne vois pas du tout en quoi la dénumérabilité (aleph0 = dénombrable) des "tournants" de la courbe violette l'empêche d'être une courbe continue et donc constitué d'une infinité non dénombrable de points (cette remarque pour n'importe laquelle des courbes violettes), au même titre que la diagonale.
Non, l'argument vraiment convaincant est celui de Jet ci-dessous.

Nouveau 24/01/2013 19:34


Il n'y a aucun paradoxe je trouve.


Vous avez découpé votre carrée en 10 carrées de hauteur et 10 carrées en largeur. Si vous ajoutez vos 10 traits horizontaux de valeurs 1 unité et vos 10 traits vertictaux de valeurs 1 unité, vous
obtenez un triangle rectangle dont le coté adjacent vaut 10 unités et le coté opposé vaut 10 unités, donc finalement, vous tournez en rond. Vous pouvez découpez votre carrée ou votre triangle
rectangle en 10000 carrées de haut et 10000 carrées en large, ça ne changera rien, vous réobtiendrai toujours votre carrée initial ce qui n'arriverai pas si vous aviez pris environ 1,414 unités
plutôt que 1 unité.

Jer 27/05/2012 09:16


En termes encore plus techniques, pour que l'intégrale de la dérivée d'une suite de fonctions converge vers l'intégrale de la limite, il faut non seulement que la suite des dérivées converge vers
la dérivée de la fonction limite. Dans notre cas très précis, la suite des dérivées (une fonction qui passe de -1 à 1 sur des intervalles de plus en plus petits) n'a pas de limite, le théorème
qui va bien ne s'applique pas.

Jer 21/05/2012 11:58


Je ne crois pas qu'il y ait besoin d'invoquer les fractals ou les infinis d'ordre différent pour déjouer un paradoxe qui n'est autre chose que l'application d'un propriété fausse. Le «paradoxe»
illustre très clairement que ce n'est pas parce qu'une courbe tend vers une autre que sa longueur tend vers l'autre. Je ne vois là rien de paradoxal : si je me promène (en ligne droite) avec un
chien jeune et fougueux en laisse,je peux bien imaginer qu'il peut parcourir une très grande distance (en tournant autour de moi) alors que je vais simplement acheter du pain.


Si on veut le reformuler en termes plus sophistiqués, il faut mettre une topologie sur l'ensemble des courbes : on dira que deux courbes sont proches si, pour un paramétrage convenable, les
points sont proches. Pour cette topologie, la fonction "longueur" (pas trop bien définie d'ailleurs) n'est pas continue.


Si on change de topologie et qu'on exige, pour que deux courbes soient proches, que non seulement les points soient proches mais en plus les vitesses soient proches en chaque instant, alors la
longueur devient continue. Mais les deux courbes (l'escalier et la ligne droite) ne sont plus proches.


En termes encore plus techniques, pour que l'intégrale de la dérivée d'une suite de fonctions converge vers l'intégrale de la limite, il faut

Alexandre Moatti 24/05/2012 22:49



Merci de votre commentaire. Bien éviddemment mon titre sur "paradoxe" n'est pas  prendre au pied de la lettre. Ceci dit je trouve ntéressante l'approche par
les fractales, même s'il y a d'autres explications sans doute plus rigoureuses. Votre explicatio n'est pas contradictoire avec la mienne - mais elle se termine en plein milieu d'une phrase :
avez-vous la suite ? A.M.



Rhodes 17/04/2011 10:05



L'erreur est surtout de dire que la courbe en escalier TEND à devenir la diagonale quand n augmente.


Ce sont deux courbes différentes, l'une ne tendra jamais vers l'autre, elles sont des géométries complètement différentes.



Axel SCHNEIDER 14/04/2011 09:40



Le problème de cet article sur les paradoxes, c'est qu'il me semble que l'auteur n'a pas véritablement compris pourquoi les paradoxes énoncés n'en étaient pas ! D'un coté il explique qu'il n'y a
pas moyen de contourner la diagonale de Cantor, de l'autre il affirme le statut paradoxal du paradoxe. C'est dommage quand on à fait un bouquin sur le théorême de Godel que de ne pas avoir
compris la théorie des catégorie. La diagonale de Cantor serait contournable si pi n'étaitr pas un irratinnel transcendant... Il est simple cependant de voir la que la phase de la racine de 2 est
double de la racine de 3 (Vesica piscis) en comparant les fractions continues  [1, 2, 2, 2, 2....] et [1,1,2,1,2,1...]. On ne peut exprimer la racine de 3 en fonction de la
racine 2. On peut regarder comment se comporte la fraction continue de 1/racine de 2 et 1/racine de 3. On a une translation mais on conserve la phase ! Rien de tel pour pi... Il n'y a aucun
paradoxe : pi est transcendant. Contrairement a ce que laisse penser votre analyse, il existe des nombres premiers indivisible en 2 : les nombres premiers de Gauss qui ne sont jamais
hypothésnuse d'un triplet de Pythagore non trivial...


 


 



Christophe Muller 09/09/2010 17:00



Sur le sujet des paradoxes et "pourquoi il ne faut pas vouloir toujours tout demontrer", si j'ai bien compris, lire cet article intéressant de Jean-Yves Girard: "Le statut paradoxal du paradoxe".
C'est la: http://iml.univ-mrs.fr/~girard/paradoxe2.pdf


Soit c'est un fou, soit c'est un genie, mais sans comprendre tout ce qu'il dit loin de la, je penche plutot pour la seconde hypothèse.. :-)


 


Cheers,


Christophe.


 


 = Change is the only constant.  --Heraclitus =



Alexandre Moatti 09/09/2010 23:09



Merci de cette URL. J'aime beaucoup ce qu'écrit J.Y. Girard : j'avais mis en bibliographie de mon premier ouvrage son livre Seuil où il introduit le théorème de
Gödel, livre remarquable à tous égards + je me rappelle d'un de ses articles sur Internet, à propos des théories pseudo-scientifiques, il parlait du PAUPERISME au sujet de Popper, c'est assez
amusant... mais là je dois dire que, dans le paragraphe "Diagonale de Cantor", je ne comprends rien à ce qu'il écrit. A.M.



Axel SCHNEIDER 01/08/2008 17:27


Je crois qu'il convient de réexpliquer clairement le "paradoxe de la diagonale" et ne pas tomber dans les pseudo-explications de Jacquard ou celles, encore plus spécieuse selon moi, des très à la mode dimensions fractales...Il faut poser le paradoxe ainsi et ne pas inverser le problème comme vous le faite dès l'énoncé. Le poser tel que vous le fait est une perversité de plus car dès l'exposé du paradox, vous suggérez que l'espae algébrique st relativiste et donc que c'est la racine de 2 qui varie et non la longueur de la "ligne brisée".
De façon plus simple le paradoxe s'expose ainsi : 
- Considérez un triangle rectangle isocèle de la figure. Si chacun des côtés égaux vaut 1, l'hypoté­nuse, d'après le théorème de Pythagore, vaut alors Ö2. Il faut tracer la ligne brisée en commençant à l'angle en bas à gauche et non pas comme vous le faite au milieu du "petit" carré (voilà l'erreur de Cantor car pour établir sa démonstration de la diagonale il "préétabli" une correspondance "biunivaoque" entre les nombres naturels et les nombres réels compris entre 0 et 1. C'est justement ce qui n'est pas possible car la racine de 2 est un nombre irrationnel...),Alors, construisez la ligne brisée en vous portant 1/4 vers le haut, 1/2 vers la droite, 1/2 vers le haut, 1/2 vers la droite et 1/4 vers le haut. Désignez cette ligne par L1. Puis doublez le nombre des « gradins », ce qui donne la ligne brisée L2 et ainsi de suite...  En continuant indéfiniment à doubler le nombre des « gradins », nous avons une suite de lignes brisées qui tend vers une limite, l'hypoténuse du triangle rec­tangle, Par conséquent la longueur de la ligne brisée est Ö2 .





Est-ce vrai ? Non, c'est faux. Quelle est sa longueur?

La longueur de la ligne brisée limite semble être Ö2 pour la seule raison que la limite est l'hypo­ténuse du triangle rectangle. Considérez la première ligne, L1. Il est évident que la somme des segments horizontaux est 1 et que la somme des seg­ments verticaux est aussi 1. Par conséquent, la longueur de L1 est 2. Le même raisonnement s'applique à L2 et L3...
Dans chacun des cas, la somme des seg­ments horizontaux est 1, de même que la somme des segments verticaux. Donc L2 et L3, comme L1, ont pour longueur 2. Et quel que soit le nombre de fois où l'on double et redouble la division, la somme des segments horizontaux reste 1, et la somme des segments verticaux reste 1. Par conséquent  chacune des lignes brisées a pour lon­gueur 2. Il en résulte que la longueur de la ligne brisée limite est aussi 2 et non /2 qui n'est que sa limite. C'est pourtant simple... Et bien pas pour certain comme par exemple pour Cantor !Une courbe ne couvre jamais une surface et les tenants des dimensions fractales ne retiennent cette hypothèse car ils se trompent dans le passage à la limite : la limite du périmétre de la fractale de Koch c'est l'infini mais l'aire de "ce" flocon est finie  ! c'est comme la courbe de Sierpinski  qui tendrait à la limite à remplir complétement un carré (2 dimensions). Il nous faut eneffet réviser nos bases et revnir à la démonstration de Sierpinski des "points doubles" de 1915 (et oui, c'est vieux : W. SIERPINSKI Comptes Rendus de l'Académie des Sciences -volume 160-1915-p. 302).   

SCHNEIDER 31/07/2008 12:09

Je ne raconte pas plus d'inepties que Cantor ou que Jacquard : l'explication de la création de matière dans le passage d'une dimension fractale de 1 à 2 ne repose sur aucune démonstation mathématiques rigoureuse : c'est de la science fiction à la Bogdanov ! L'explcation surl'infini des réels et l'infini des entiers n'est pas plus démontrée : comment expliquer alors que l'on peut de la même façon démontrer que Pi=2 à la limite ? Quel sorte d'infini est-ce alors ? Je conjecture quand à moi qu'un espace géométrique ou algébrique est forcément non commutatif. Alain Connes dit que les algèbres non-commutatifs engendre leurs propres temps. Je pense quand à moi que la logique est inverse : un espace algébrique ou géométrique engendre une pseudo-dimension de temps qui est justement la propriété de non commutativité... Ainsi, s'il y a un indénombrabilté nous ne somme pas dans un espace géométrique ou algébrique : pour qu'il y ai un dénombrement il faut qu'il y ai un temps algébrique. Il est étonnant que l'on ne remette pas en cause les théories de Cantor alors que Godel a démontré que justement les infinis sont indécidables. L'infini des entiers n'est ni plus grand ni plus petit que l'infini des réels. Ce n'est pas grave en soit (contrairement aux interprétations trop rapides des théorèmes d'incomplétude). L'espace algébrique que l'on détermine pour analyser la "réalité" ne cré pas de matière ou le temps : il nous montre simplement que ne pouvant être en abime de la réalité, il nous faut admettre qu'il existe au moins une proposition inécidable : l'infini des réels et l'infini des entiers, le discet et le continu...  Je souhaites simplement dévellopper l'idée qu'il n'y a peut-être en faite que 3 dimensions et que le temps, la quatrième dimensions du système galiléen n'est peut-être que la résultante de l'espace algébrique (cadre d'analyse conceptuel).  C'est une conjecture, simplement et je crois que je n'aurrai hélas jamais les compétences pour aller plus loin hélas...). Dans ce cadre le paradoxe de la diagonale que vous évoquez (le problème du passage à la limite) rejoint l'impossibilité de la quadrature du cercle : prenons un carré de coté 1 et donc de surface 1. Pour calculer la circonférence du cercle qui circonscrit le carré on doit d'abord calculer la diagonale (racine de 2) avant de multiplier par Pi. Ainsi le paradoxe de la diagonale que vous évoquez est une erreure de raisonnement dans le passage à la limite. On ne respecte pas la non-commutativité, le temps de l'algébre... Il y a un principe d'indécidabilité dans le passage à  comme il existe un principe d'incertitude en mécanique quantique et une indécibalité de la constante cosmologiqe.  La remarque de n°2 est donc rès pertinente et contredit l'argument de la diagonale de Cantor...  

Axel SCHNEIDER 29/07/2008 18:41

A oui, dans ma conjecture Achille ne ratrappe pas la tortue car 2*racine de 2*Pi n'est pas un nombre entier et donc le temps et l'espace relativistes sont non commutatifs et c'est tant mieux car sinon il n'y aurait pas de causalité et pas de libre arbitre...

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Einstein, un siècle contre lui

J'ai aussi un thème de recherche, l'alterscience, faisant l'objet d'un cours que j'ai professé à l'EHESS en 2008-2009 et 2009-2010. Il était en partie fondé sur mon second livre, "Einstein, un siècle contre lui", Odile Jacob, octobre 2007, livre d'histoire des sciences (voir billet sur ce blog, et notamment ses savoureux commentaires).

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