J'aurais pu appeler ce billet "Inversion de la courbe de la durée du jour", mais, comme l'a rappelé Etienne Klein sur France-Culture, cette notion d'inversion de courbe (utilisée pour le chômage) est aussi erronée qu'incompréhensible.

Mais restons dans l’astronomie, si vous le voulez bien. On le sait, la durée du jour dans nos régions augmente entre le solstice d’hiver (21 décembre) et celui d’été (21 juin). Je me fonde sur les tables du site ‘Calendrier solaire’ (désolé ce site a des pubs, mais il est pratique) : elle passe de 8h7mn à 16h2mn (un quasi doublement !).

Mais ce qui nous intéresse ici est la variabilité de cette variabilité : je me suis rappelé cela en remarquant que depuis début février, on remarque beaucoup plus que le Soleil se lève de plus en plus tôt, beaucoup plus qu’en janvier où on ne le remarquait guère. J’ai fait les calculs pour vous,

La durée du jour augmente lentement après le solstice d’hiver, et diminue lentement avant le solstice d’été. Autrement dit, elle varie lentement autour des solstices : car la valeur d’une fonction varie peu au voisinage de ses extrema. On remarquera d’ailleurs qu’à l’équinoxe (le 21 mars), qui n’est pas un extremum, c’est là que la variation est la plus forte (seule fois où apparaît +5mn, le 20 mars).

Et tout ceci est connu depuis des lustres et prédictible pour des lustres. L’astronomie, ce n’est pas l’économie ou la politique : « inverser une courbe », c’est fastoche !

[pour ceux qui veulent aller plus loin : à l'équinoxe, c'est la variabilité qui est à son maximum — la dérivée seconde est nulle. C'est un point d'inflexion : la durée du jour est toujours croissante, mais en 'accélérant' (variabilité croissante) entre solstice d'hiver et équinoxe, et en 'décélérant' entre équinoxe et solstice d'été]

[pour ceux qui veulent se raccrocher à des formules : on peut se représenter la fonction  durée du jour comme un cosinus entre sa valeur maximale (solstice d'été) à x = 0 et sa valeur minimale (solstice d'hiver) x = pi. Pour ces deux extrema, la dérivée, fonction sinus, est nulle et la fonction cosinus varie peu autour de ces extrema. L'équinoxe est pour x = pi/2 : la dérivée (sinus) est maximale, la dérivée seconde (cosinus) est nulle : c'est un point d'inflexion]

Dans le plan, en dimension 2, il y a une infinité de polygones réguliers : triangle équilatéral, carré, pentagone, hexagone, n-gone (voir dans mon premier ouvrage, p.68-69, l’approximation par Archimède de pi au moyen du périmètre des polygones réguliers inscrits dans le cercle). Or, en dimension 3, dans l’espace, n’existent que cinq polyèdres réguliers convexes (ou solides de Platon — encore un Grec). Pourquoi ? Comment ? De qui, de quoi ? Pour la géométrie, une référence, un guide de voyage : le Berger (Géométrie vivante, Cassini, 2010) — comme une étoile qui nous… guide. Style direct et sans bavures. On en avait déjà eu deux échantillons en 2011 (polygones étoilés et enjoliveurs) et 2009 (cercles du tore) dans ce blog, accompagnant un des textes BibNum sur lequel je me suis le plus amusé à travailler.

Le mage Berger utilise la relation d’Euler, bien connue dès la maternelle (je plaisante à peine : on pourrait la faire toucher du doigt aux enfants avec les cubes de leurs jeux de construction, ou avec les ballons de foot) : S – A + F = 2, où S est le nombre de sommets, A le nombre d’arêtes, F le nombre de faces. Il l’écrit subtilement f₀ – f₁ + f₂ = 2 (où f₀ est le nombre d’entités sans dimension, des points, les sommets, S ; f₁ est le nombre d’entités à une dimension, les arêtes, A ; etc.). Gardons la notation classique, et introduisons h le nombre d’arêtes partant de chaque sommet, et k le nombre de sommets par face.

Pour ceux qui veulent toucher du doigt, ou qui veulent des chiffres concrets, voici le tableau pour les 5 polyèdres réguliers convexes :

(animations ci-dessus Wikimedia Commons, auteur Cyp, Creative Commons cc-by-sa)

(de haut en bas dans l'ordre du tableau, qui est le nombre croissant de faces)

Un sommet appartient à h faces (pour s’en convaincre, aplatir le voisinage d’un sommet sur un plan : le nombre d’arêtes partant du sommet, h, est égal au nombre de faces qui sont entre ces arêtes). Le nombre total de sommets, S, est donc égal à Fk (nombre de faces × nombre de sommets par face) divisé par h, puisqu’un sommet appartient à h faces (vérifier avec le tableau). Le nombre total d’arêtes, A, est égal à Sh (nombre de sommets × nombre d’arêtes partant de chaque sommet), divisé par 2, puisqu’une arête relie deux sommets (« appartient » à deux sommets).

S = Fk/h

A = Sh/2 = Fk/2

Reprenons la relation d’Euler, S – A + F = 2, et réinjectons ces valeurs.

Fk/h – Fk/2 + F = 2

Fk + Fh = 2h + Fkh/2  > Fkh/2

k + h > kh/2

1/h + 1/k > 1/2

Or, si l’on réfléchit, il y a peu de couples d’entiers {h,k} (strictement supérieurs à 2) vérifiant cette propriété : {3,3} (tétraèdre), {3,4} (cube), {4,3} (octaèdre), {3,5} (dodécaèdre), {5,3} (icosaèdre). À partir de 3,6, on a 1/h + 1/k ≤ 1/2, donc la relation ci-dessus n’est pas vérifiée : le polyèdre n’existe pas.

Terminons avec Berger et sa magnifique phrase, une fois démontré qu'il n'existe que cinq polyèdres au plus : "L'existence sera vue plus bas"! Bon, pour l'existence, en ce qui nous concerne, nous nous contenterons des figures ci-dessus.

À suivre bientôt, sur le même thème.

Ce n'est pas l'explorateur Jacques Cartier, ni même le mathématicien Pierre (né en 1932) l'auteur de cette formule. C'est celle de la Fondation Cartier (nommée d'après le joaillier Louis Cartier 1875-1942) et de son exposition de mathématiques, déjà évoquée dans ce blog. Je vous donne cette formule :

Oui, vous avez déjà trouvé de tête, bravo !, , çà donne 6 ! + 36² - 5 = 720 + 1296 - 5 = 2011. C'était une des "attractions" de l'exposition : trouver 2011 en utilisant des opérateurs mathématiques sur des chiffres qui se suivent, à partir de 1 (la formule fait intervenir dans l'ordre 1, 2, 3, etc.), et ce bien évidemment en le moins de chiffres possible.

Ceci se faisait non sur un tableau noir avec une craie (les maths à l'ancienne) mais sur un tableau électronique : celui-ci vous disait quand vous trichiez (mettre deux chiffres non successifs) - il enregistrait aussi les "meilleures formules" (comme au flipper les meilleurs scores).

Je défie quiconque, debout, sans calculette, avec des gens regardant derrière, de trouver in situ dans des délais raisonnables cette magnifique formule. D'ailleurs les "meilleures formules" enregistrées étaient toujours des variations autour de celle-ci, avec des parenthèses et des crochets en plus... ce que ne détectait pas cette idiote de machine. J'avais moi-même péniblement trouvé, avec mon fils, une formule montant jusqu'à 12, que je ne me rappelle plus et qui n'a pas d'intérêt, vu celle-là !

Mais une fois qu'on voit la formule, on peut la commenter. Ce que nous allons faire.

D'abord (là c'est le mauvais joueur qui parle), le jeu ne disait pas qu'on pouvait utiliser les "doubles factorielles". Les indications mentionnaient toutefois l'opérateur factorielle.Du coup, je pense qu'on peut utiliser les doubles exponetiations (ce qui peut être utile pour les très grands nombres).

Ensuite, je me demandai pourquoi ce n'était pas 2012 qu'il fallait trouver (ceci dit l'exposition avait commencé en 2011). Eh bien parce que c'est nettement moins élégant (au sens... mathématique) pour 2012. Sauf si un lecteur du blog trouve une formule meilleure, la sule que je vois est de poursuivre la formule ci-dessus en retranchant 6 et en ajoûtant 7... Ce qui montre au passage qu'on peut virtuellement construire tout nombre ainsi, avec cette formule (assez élégante dans sa graphie, mais pas dans sa longueur - écrivez-la pour 2011 ou 2012 si vous y tenez) :

1 - 2 + 3 - 4 + 5 -  ...

Mais c'est le premier terme de la formule ci-avant qui attire l'attention, (1+2)!!. Je pense que c'est le plus grand nombre (720) qu'on peut atteindre avec 1 & 2. Car le seul moyen d'utiliser rentablement 1, c'est par l'addition : en multiplication, puissance, factorielle, il ne "vaut" rien.

Si l'on y met 3, on obtient (1+2+3)!! soit 720 ! (factorielle de 720), nombre qui dépasse déjà l'entendement ; ou si l'on écrit sans la double factorielle (1+2+3)!, on obtient le même résultat que pour (1+2)!! mais en ayant "gâché" le chiffre 3. Le (1+2)!³ est toutefois à retenir, donnant 216, et nous mettant au départ dans des gammes de nombres plus petits - mais qu'on peut rattraper par la suite avec des 4⁵, etc. Ce n'est pas parce qu'on démarre par un plus petit nombre qu'on ne peut pas passer la vitesse supérieure après...

Bref, ce jeu est assez amusant, même a posteriori.

PS : Le jeu que je vous propose, en commentaires, est plus simple : vous contruisez vous-même une formule de Cartier que vous jugez "esthétique" (en utilisant des nombres successifs - NB: pour la graphie d'exponentiation, on peut utiliser ^), et vous la faites deviner en commentaires ! Attention pas sérieux s'abstenir : vous nous faites réfléchir sur un vrai résultat (pas du bidon) - pour preuve vous donnez la réponse deux jours après...

J'avais déjà parlé de l'article sur Galois dont je suis co-auteur dans BibNum en décembre, à propos des fractions continues, tout à fait fascinantes.

Nous avons récemment publié une annexe complémentaire à cet article, intitulé "Quelques variations sur les fractions continues", sous forme de quelques exercices amusants sur la représentation d'un certain nombre (voisin du nombre d'or) en fraction continue. Ce nombre a la propriété de donner 1 quand il est ajoûté à son carré.
On demande de démontrer une des formules suivantes, assez amusantes (elles sont toutes trois équivalentes) :

Exercez-vous à démontrer ces formules (attention, n'essayez pas de réduire au même dénominateur !). Une indication : commencez à vous intéresser au premier membre [dans chaque équation] - vérifiez qu'il s'agit bien du nombre qui vérifie une certaine équation algébrique. Sinon allez voir les solutions dans l'annexe de l'article BibNum (onglet "Analyse" ou PDF "à télécharger").

Les fractions continues sont passionnantes car c'est un mode de REPRéSENTATION d'un nombre, finalement au même titre que son écriture décimale. Le nombre ci-dessus (qui n'est là que comme exemple), c'est

a) 0,618 033.... ?

b) 1/2 (√5 – 1) ?

c) la fraction continue composée de 1 ci-dessus ?

Finalement, laquelle de ces trois REPRéSENTATIONS a plus de valeur que l'autre ? À méditer...

À la suite de certains billets (le problème des trois portes dans mon livre p. 101-103  le problème des quatre cartes sur ce blog, un problème de naissances sur ce blog,...), voici encore, dans la même veine des "incertaines probabilités", deux sujets contre-intuitifs (extraits de G. Bronner, L'Empire de l'erreur, Élements de sociologie cogintive, P.U.F. 2007).

Problème A . Une ville possède deux maternités, l'une grande avec 45 naissances quotidiennes en moyenne, l'autre plus petite avec 15 naissances quotidiennes en moyenne. Chaque jour où le seuil de 60% de naissances masculines est dépassé, la maternité fait une croix dans son carnet de bord. Au bout d'un an, quelle maternité aura vraisemblablement le plus de croix dans son carnet ? La petite maternité ? La grande ? ou les deux seront-elles à égalité ?

Problème B. Une maladie, qui touche une personne sur mille, peut être détectée par un test. Ce test a un taux d'erreurs positives de 5% (c'est à dire qu'il produit 5% de faux positifs - le test marque la présence de la maladie alors qu'en fait elle n'est pas présente). Un individu est soumis au test. Le résultat est positif. Quelle est la probabilité pour qu'il ait la maladie ?