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CouvPocheIndispensables
J'ai créé ce blog lors de la sortie de mon livre "Les Indispensables mathématiques et physiques pour tous", Odile Jacob, avril 2006 ; livre republié en poche en octobre 2011 (achat en ligne) (sommaire du livre).
Je développe dans ce blog des notions de mathématiques et de physique à destination du plus large public possible, en essayant de susciter questions et discussion: n'hésitez pas à laisser vos commentaires!

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Indispensables astronomiques

Nouveauté octobre 2013, mon livre "Les Indispensables astronomiques et astrophysiques pour tous" est sorti en poche, 9,5€ (éditions Odile Jacob, éidtion originale 2009). Comme mon premier livre (Les Indispensables mathématiques et physiques), c'est un livre de notions de base illustrées avec des exemples concrets, s'appuyant sur les mathématiques (géométrie notamment) pour l'astronomie, et sur la physique pour l'astrophysique. Je recommande vivement sa lecture.

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9 février 2014 7 09 /02 /février /2014 18:26

J'aurais pu appeler ce billet "Inversion de la courbe de la durée du jour", mais, comme l'a rappelé Etienne Klein sur France-Culture, cette notion d'inversion de courbe (utilisée pour le chômage) est aussi erronée qu'incompréhensible.

 

Mais restons dans l’astronomie, si vous le voulez bien. On le sait, la durée du jour dans nos régions augmente entre le solstice d’hiver (21 décembre) et celui d’été (21 juin). Je me fonde sur les tables du site ‘Calendrier solaire’ (désolé ce site a des pubs, mais il est pratique) : elle passe de 8h7mn à 16h2mn (un quasi doublement !).


Duree-du-jour.JPG

 

Mais ce qui nous intéresse ici est la variabilité de cette variabilité : je me suis rappelé cela en remarquant que depuis début février, on remarque beaucoup plus que le Soleil se lève de plus en plus tôt, beaucoup plus qu’en janvier où on ne le remarquait guère. J’ai fait les calculs pour vous,

 

Période Allongement en minutes Nb. de jours  Allongement moyen quotidien
22 décembre (2013) — 21 janvier

44

31 1'25''
22 janvier — 21 février
97  31   3'08''
 22 février — 21 mars
  101   28   3'36''
  22 mars — 21 avril
  113   31   3'39''
  22 avril — 21 mai
  87   30   2'54''
  22 mai — 21 juin (2014)
  38   31   1'13''
 

Total 480 = 8h

(on retrouve les 8h de ci-dessus)

   


La durée du jour augmente lentement après le solstice d’hiver, et diminue lentement avant le solstice d’été. Autrement dit, elle varie lentement autour des solstices : car la valeur d’une fonction varie peu au voisinage de ses extrema. On remarquera d’ailleurs qu’à l’équinoxe (le 21 mars), qui n’est pas un extremum, c’est là que la variation est la plus forte (seule fois où apparaît +5mn, le 20 mars).

 

Et tout ceci est connu depuis des lustres et prédictible pour des lustres. L’astronomie, ce n’est pas l’économie ou la politique : « inverser une courbe », c’est fastoche !

 

 


 

[pour ceux qui veulent aller plus loin : à l'équinoxe, c'est la variabilité qui est à son maximum — la dérivée seconde est nulle. C'est un point d'inflexion : la durée du jour est toujours croissante, mais en 'accélérant' (variabilité croissante) entre solstice d'hiver et équinoxe, et en 'décélérant' entre équinoxe et solstice d'été]

 

[pour ceux qui veulent se raccrocher à des formules : on peut se représenter la fonction  durée du jour comme un cosinus entre sa valeur maximale (solstice d'été) à x = 0 et sa valeur minimale (solstice d'hiver) x = pi. Pour ces deux extrema, la dérivée, fonction sinus, est nulle et la fonction cosinus varie peu autour de ces extrema. L'équinoxe est pour x = pi/2 : la dérivée (sinus) est maximale, la dérivée seconde (cosinus) est nulle : c'est un point d'inflexion]


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14 janvier 2014 2 14 /01 /janvier /2014 06:56

Nous avons vu avec Berger, dans notre précédent billet, pourquoi il n’y a que 5 polyèdres réguliers (convexes) – nous nous sommes pour cela appuyés sur la relation d’Euler SA + F = 2 (nombre de sommets S, d’arêtes A, de faces F), valable pour tout polyèdre convexe. Toujours avec Berger, voyons une extraordinaire démonstration de cette relation, démonstration qu’il appelle affine.

 

On prend n’importe quel polyèdre convexe, et on imagine le couper par un plan qu’on va progressivement faire descendre du sommet supérieur du polyèdre (en le mettant dans une position donnée, peu importe) au sommet inférieur. Le dessin ci-dessous parlera mieux que moi (j’adore ces dessins manuscrits de Berger, nous en avions déjà utilisé un ).

EulerFiormule-BergerDessin Marcel Berger, in Géométrie vivante, Cassini 2010.

 

On peut prendre n’importe quelle direction de plan, à une condition : que ces plans parallèles ne contiennent jamais plus d’un sommet du polyèdre (on se convaincra aisément que c’est une condition facilement réalisable). On va alors faire le compte en faisant descendre le plan. En haut, quand le plan touche le sommet sans être entré dans le polyèdre, la somme (on appelle ainsi SA + F, par simplification) vaut 1 (S=1, A=F=0). En entrant depuis le sommet du haut dans le polyèdre, on capte autant de faces que d’arêtes (du sommet partent h arêtes, et le sommet appartient à h faces – comme déjà écrit, pour s’en convaincre, aplatir le voisinage du sommet sur un plan, et constater qu’il y a dans ce voisinage autant d’arêtes que de faces, i.e. autant d’arbres que d’intervalles) : donc S reste égal à 1. Continuons à faire descendre notre plan de coupe, et l’on rencontre un premier sommet dans cette descente (à chaque fois, l’on n’en rencontre qu’un puisque c’est la condition imposée au plan de coupe). Notre somme s’incrémente de +1 (le sommet), mais regardons ce qui se passe au niveau F et A. Je fais un dessin aplatissant le sommet, moins joli que celui de Berger.

Euler-afine.JPG

  À chaque traversée de sommet, S gagne 1, (A-F) gagne 1, S-A+F reste stable.

 

Le plan et son sens de descente sont en rouge. Il va « capter », dans ce cas, h’ nouvelles arêtes (ici 3), et h’ – 1 nouvelle faces (ici 2). Sur un sommet traversé, le nombre d’arbres (arêtes) n’est pas égal au nombre d’intervalles (faces), car les nouvelles arêtes « encadrent » les nouvelles faces. Ce qui fait qu’au passage d’un sommet qui n’est ni le premier ni le dernier, on a :

 

 

Avant

Après

sommets

S

S + 1

arêtes

A

A + h’

faces

F

F + h’ - 1

Somme d’Euler

transitoire

SA + F = 1

(comme au départ)

(S +1) – (A+ h’) + (F + h’ – 1)= SA + F

(inchangée)

 

Là, j'ai un peu trop décortiqué pour convaincre (ce qui m'oblige à introduire une variable h'). Une manière plus concise : pendant la “traversée” du polyèdre par le plan de coupe, la somme reste égale à 1, puisqu’à chaque sommet S s’incrémente de 1, mais (A-F) aussi, ce qui fait que SA + F reste constant, égal à sa valeur de départ, 1. Jusqu’à récupérer le dernier sommet, en bas, où il n’y a plus faces et arêtes en dessous, et la somme s’incrémente de 1 (le dernier sommet), pour arriver à 2. Comme l’écrit Berger sur son dessin, et c'est bien connu, 1 + 1 = 2. CQFD.

 

 


1. Pour aprofondir, on s'aperçoit avec Wikipédia que Descartes avait déjà trouvé dans un manuscrit inédit (écrit en 1680) la relation qu'Euler formalise en 1752, ce qui fait qu'en France (surtout sur Wikipédia, car pour ma part j'ai toujours entendu 'Relation d'Euler'), on appelle cela Théorème de Descartes-Euler.

 

2. Plus intéressant, on trouvera aussi sur l'extrait Wikipédia ci-dessus une extraordinaire généralisation aux dimensions supérieures par Poincaré 1893 :
Poincarepolyedres.png

Retenons que S – A + F vaut alternativement 0 (dans toutes les dimensions paires, à commencer par 2, dans le plan avec des polygones) ou 2 (dans toutes les dimensions impaires, à commencer par 3, dans notre espace avec des polyèdres).

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8 janvier 2014 3 08 /01 /janvier /2014 06:43

Dans le plan, en dimension 2, il y a une infinité de polygones réguliers : triangle équilatéral, carré, pentagone, hexagone, n-gone (voir dans mon premier ouvrage, p.68-69, l’approximation par Archimède de pi au moyen du périmètre des polygones réguliers inscrits dans le cercle). Or, en dimension 3, dans l’espace, n’existent que cinq polyèdres réguliers convexes (ou solides de Platon — encore un Grec). Pourquoi ? Comment ? De qui, de quoi ? Pour la géométrie, une référence, un guide de voyage : le Berger (Géométrie vivante, Cassini, 2010) comme une étoile qui nous… guide. Style direct et sans bavures. On en avait déjà eu deux échantillons en 2011 (polygones étoilés et enjoliveurs) et 2009 (cercles du tore) dans ce blog, accompagnant un des textes BibNum sur lequel je me suis le plus amusé à travailler.
CouvertureBerger.jpg

 

Le mage Berger utilise la relation d’Euler, bien connue dès la maternelle (je plaisante à peine : on pourrait la faire toucher du doigt aux enfants avec les cubes de leurs jeux de construction, ou avec les ballons de foot) : S – A + F = 2, où S est le nombre de sommets, A le nombre d’arêtes, F le nombre de faces. Il l’écrit subtilement f0 – f1 + f2 = 2 (où f0 est le nombre d’entités sans dimension, des points, les sommets, S ; f1 est le nombre d’entités à une dimension, les arêtes, A ; etc.). Gardons la notation classique, et introduisons h le nombre d’arêtes partant de chaque sommet, et k le nombre de sommets par face.

 

Pour ceux qui veulent toucher du doigt, ou qui veulent des chiffres concrets, voici le tableau pour les 5 polyèdres réguliers convexes :

 

 

S

A

F

h

k

Tétraèdre

4

6

4

3

3

Cube

8

12

6

3

4

Octaèdre

6

12

8

4

3

Dodécaèdre

20

30

12

3

5

Icosaèdre

12

30

20

5

3

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/Tetrahedron.gif

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/48/Hexahedron.gif

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Octahedron.gif

 

 

 

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/73/Dodecahedron.gif


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/Icosahedron.gif

 

 

 

 

 

 

(animations ci-dessus Wikimedia Commons, auteur Cyp, Creative Commons cc-by-sa)

(de haut en bas dans l'ordre du tableau, qui est le nombre croissant de faces)

 

Un sommet appartient à h faces (pour s’en convaincre, aplatir le voisinage d’un sommet sur un plan : le nombre d’arêtes partant du sommet, h, est égal au nombre de faces qui sont entre ces arêtes). Le nombre total de sommets, S, est donc égal à Fk (nombre de faces × nombre de sommets par face) divisé par h, puisqu’un sommet appartient à h faces (vérifier avec le tableau). Le nombre total d’arêtes, A, est égal à Sh (nombre de sommets × nombre d’arêtes partant de chaque sommet), divisé par 2, puisqu’une arête relie deux sommets (« appartient » à deux sommets).

S = Fk/h

A = Sh/2 = Fk/2

 

Reprenons la relation d’Euler, S – A + F = 2, et réinjectons ces valeurs.

 

Fk/h Fk/2 + F = 2

Fk + Fh = 2h + Fkh/2  > Fkh/2

k + h > kh/2

1/h + 1/k > 1/2

 

Or, si l’on réfléchit, il y a peu de couples d’entiers {h,k} (strictement supérieurs à 2) vérifiant cette propriété : {3,3} (tétraèdre), {3,4} (cube), {4,3} (octaèdre), {3,5} (dodécaèdre), {5,3} (icosaèdre). À partir de 3,6, on a 1/h + 1/k ≤ 1/2, donc la relation ci-dessus n’est pas vérifiée : le polyèdre n’existe pas.

 

Terminons avec Berger et sa magnifique phrase, une fois démontré qu'il n'existe que cinq polyèdres au plus : "L'existence sera vue plus bas"! Bon, pour l'existence, en ce qui nous concerne, nous nous contenterons des figures ci-dessus.

 

À suivre bientôt, sur le même thème.

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18 mars 2013 1 18 /03 /mars /2013 16:32

Les contraintes liées à la parution de mon ouvrage m’ont fait momentanément délaisser ce blog de sciences – j’y reviens, mais de manière liée à cet ouvrage. Suite à la publication sur Slate de ma tribune « Beppe Grillo et le populisme scientifique », j’ai été intrigué par le nombre (pour moi faramineux) de tweet (environ 60) et de like Facebook (environ 330) sur cet article. Et ceci m’a donné l’idée d’illustrer la notion physique de temps caractéristique, à propos de chacun de ces deux réseaux sociaux.

Grillo-tribune.JPG

 

Rappel sommaire : Le temps caractéristique est le paramètre T dans une courbe exponentielle de type P = P0 × e–t/T. Le temps T (parfois noté par la lettre grecque tau : τ) est dit caractéristique car il correspond à une décroissance significative du paramètre mesuré, P (ici il correspond à la division de P par e, soit 2,72 – si on mettait une exponentielle de type 10–t/T, ce serait une division de P par 10, soit un ordre de grandeur). Ce type de fonctions peut décrire divers phénomènes physiques : décroissance radioactive (la demi-vie radioactive est alors le temps caractéristique à un facteur Log2 près, ou avec une fonction de type 2–t/T), décharge d’un condensateur, amplitude des oscillations de relaxation d’un ressort sous contraintes,…

[ajoût suite à une remarque de lecteur : e = 2,71828... ≈ 2,72

 

Regardons ces deux nombres (60 pour Tweeter et 330 pour Facebook) à la lumière de cette notion. Ce n’est pas tellement la valeur relative de ces deux grandeurs qui nous intéresse ici (les lecteurs de Slate peuvent être plus Facebook que Twitter, par exemple), que la façon dont elles s’échelonnent dans le temps. Pour Twitter elles s’échelonnaient sur 3 jours maxi, sur Facebook sur un nombre de jours plus élevé, avec un rythme soutenu et nettement moins décroissant. Je n’ai bien évidemment pas noté jour après jour (je l’aurais fait si j’avais pensé à ce projet d’article ), mais on peut modéliser a posteriori ainsi ces deux valeurs :

 

Twitter : 40 (jour 0 = jour de publication)+ 15 (jour 1) + 5 (jour 2) + … 60

[soit une loi de décroissance exponentielle de temps caractéristique T = 1 jour : en effet 40/ 2,72 ≈ 15, et 40/ 2,72² 5]

 

Facebook : 100 (jour 0) + 72 (jour 1) + 50 (jour 2) + 36 (jour 3) + 26 (jour 4) + 19 (jour 5) + 13 (jour 6) + 7 (jour 7) + 5 (jour 8) + 3 (jour 9)… 331

[soit une loi de décroissance exponentielle de temps caractéristique T = 3 jours : en effet 100/ 2,72 36, et 100/ 2,72² 13]

 

Ceci s’explique assez intuitivement par l’utilisation de ces deux réseaux sociaux (encore une fois indépendamment des deux valeurs absolues 60 et 335) : sur Twitter, au jour 2, on se dit assez naturellement qu’il ne sert à rien de signaler une information déjà signalée pendant les deux jours précédents ; en revanche sur Facebook, s’adressant à un réseau plus distendu, moins maillé (deux personnes données ont en général plus de followers communs sur Twitter, réseau plus professionnel, que d’amis communs sur Facebook, réseau plus personnel), on aura un signalement s’étalant sur plusieurs jours.


On retrouve ce temps caractéristique aussi dans la densité d’informations : ainsi, quand je suis absent de mon ordinateur, lorsque je souhaite « reprendre le fil » (de ce que j’ai manqué), je le fais sur 1 à 2 jours sur Twitter (au-delà cela fait trop d’informations), et je peux le faire sur 3 à 5 jours sur Facebook. Il en va de même des commentaires (Facebook) ou des « répondre à » (Twitter).

 

Partagez-vous mon expérience ?

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7 avril 2012 6 07 /04 /avril /2012 07:31

Ce n'est pas l'explorateur Jacques Cartier, ni même le mathématicien Pierre (né en 1932) l'auteur de cette formule. C'est celle de la Fondation Cartier (nommée d'après le joaillier Louis Cartier 1875-1942) et de son exposition de mathématiques, déjà évoquée dans ce blog. Je vous donne cette formule :

Formule-de-Cartier-copie-1.JPG

 

Oui, vous avez déjà trouvé de tête, bravo !, , çà donne 6 ! + 36² - 5 = 720 + 1296 - 5 = 2011. C'était une des "attractions" de l'exposition : trouver 2011 en utilisant des opérateurs mathématiques sur des chiffres qui se suivent, à partir de 1 (la formule fait intervenir dans l'ordre 1, 2, 3, etc.), et ce bien évidemment en le moins de chiffres possible.

 

Ceci se faisait non sur un tableau noir avec une craie (les maths à l'ancienne) mais sur un tableau électronique : celui-ci vous disait quand vous trichiez (mettre deux chiffres non successifs) - il enregistrait aussi les "meilleures formules" (comme au flipper les meilleurs scores).

 

Je défie quiconque, debout, sans calculette, avec des gens regardant derrière, de trouver in situ dans des délais raisonnables cette magnifique formule. D'ailleurs les "meilleures formules" enregistrées étaient toujours des variations autour de celle-ci, avec des parenthèses et des crochets en plus... ce que ne détectait pas cette idiote de machine. J'avais moi-même péniblement trouvé, avec mon fils, une formule montant jusqu'à 12, que je ne me rappelle plus et qui n'a pas d'intérêt, vu celle-là !

 

Mais une fois qu'on voit la formule, on peut la commenter. Ce que nous allons faire.

 

D'abord (là c'est le mauvais joueur qui parle), le jeu ne disait pas qu'on pouvait utiliser les "doubles factorielles". Les indications mentionnaient toutefois l'opérateur factorielle.Du coup, je pense qu'on peut utiliser les doubles exponetiations (ce qui peut être utile pour les très grands nombres).

 

Ensuite, je me demandai pourquoi ce n'était pas 2012 qu'il fallait trouver (ceci dit l'exposition avait commencé en 2011). Eh bien parce que c'est nettement moins élégant (au sens... mathématique) pour 2012. Sauf si un lecteur du blog trouve une formule meilleure, la sule que je vois est de poursuivre la formule ci-dessus en retranchant 6 et en ajoûtant 7... Ce qui montre au passage qu'on peut virtuellement construire tout nombre ainsi, avec cette formule (assez élégante dans sa graphie, mais pas dans sa longueur - écrivez-la pour 2011 ou 2012 si vous y tenez) :

 

1 - 2 + 3 - 4 + 5 -  ...

 

Mais c'est le premier terme de la formule ci-avant qui attire l'attention, (1+2)!!. Je pense que c'est le plus grand nombre (720) qu'on peut atteindre avec 1 & 2. Car le seul moyen d'utiliser rentablement 1, c'est par l'addition : en multiplication, puissance, factorielle, il ne "vaut" rien.

 

Si l'on y met 3, on obtient (1+2+3)!! soit 720 ! (factorielle de 720), nombre qui dépasse déjà l'entendement ; ou si l'on écrit sans la double factorielle (1+2+3)!, on obtient le même résultat que pour (1+2)!! mais en ayant "gâché" le chiffre 3. Le (1+2)!3 est toutefois à retenir, donnant 216, et nous mettant au départ dans des gammes de nombres plus petits - mais qu'on peut rattraper par la suite avec des 45, etc. Ce n'est pas parce qu'on démarre par un plus petit nombre qu'on ne peut pas passer la vitesse supérieure après...

 

Bref, ce jeu est assez amusant, même a posteriori.

 


PS : Le jeu que je vous propose, en commentaires, est plus simple : vous contruisez vous-même une formule de Cartier que vous jugez "esthétique" (en utilisant des nombres successifs - NB: pour la graphie d'exponentiation, on peut utiliser ^), et vous la faites deviner en commentaires ! Attention pas sérieux s'abstenir : vous nous faites réfléchir sur un vrai résultat (pas du bidon) - pour preuve vous donnez la réponse deux jours après...

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13 février 2012 1 13 /02 /février /2012 12:50

Jeudi matin, l'association Animath organisait un atelier pour vulgarisateurs scientifiques, tenu par Tadashi Tokieda (University of Cambridge). Cet atelier de haute tenue faisait suite à la conférence donnée par Tokieda la veille à la BnF pour le cycle "Un texte, un mathématicien" (le texte était ... une feuille de papier à partir de laquelle Tokieda a fait des origamis).

 

Jeudi matin, Tokieda a donné de nombreux exemples fort intéressants. Arrêtons-nous sur celui des dés.

  De-Japonais.jpg
Wikipedia (auteur aney) appelle cela... un dé japonais !


Soient quatre dés anormaux :

- le dé A : 3 sur les 6 faces.

- le dé B : 4 sur 4 faces, 0 sur 2 faces.

- le dé C : 5 sur 3 faces, 1 sur 3 faces.

- le dé D : 6 sur 2 faces, 2 sur 4 faces.

 

On cherche à classer les dés 2 à 2. Un dé en bat un autre quand à chaque coup, il a plus de chances de l'emporter (attention ceci n'a rien à voir avec les valeurs moyennées sur un certain nombre de coups). Il s'agit de ne pas faire les calculs de tous les cas possibles, etc. mais de raisonner.

 

Le dé B bat le dé A (évident). Le dé C bat le dé B (il gagne déjà la moitié des fois puisqu'il marque 5 une fois sur deux, et il gagne dans d'autres cas : quand C présente la face 1 et B la face 0). Le dé D bat le dé C (même raisonnement que précédemment, comment ? - faites-le!). Le dé A bat le dé D.

 

On a donc A < B < C < D < A... beau paradoxe de Condorcet.

 

Tokieda relève que dans de nombreux articles médicaux de haut niveau,dans des revues réputées, on peut lire que le médicament A est meilleur que le B, et que B est meilleur que le C, donc A est meilleur que le C - à rapprocher d'un précédent article sur ce blog, à propos des "incertaines probabilités" (voir notamment les commentaires de H, qui enseigne les stats à des médecins).

 

Autre exemple d'application : A, B, C, D quatre des candidats à l'élection présidentielle ?

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26 janvier 2012 4 26 /01 /janvier /2012 22:07

J'avais déjà parlé de l'article sur Galois dont je suis co-auteur dans BibNum en décembre, à propos des fractions continues, tout à fait fascinantes.

 

Nous avons récemment publié une annexe complémentaire à cet article, intitulé "Quelques variations sur les fractions continues", sous forme de quelques exercices amusants sur la représentation d'un certain nombre (voisin du nombre d'or) en fraction continue. Ce nombre a la propriété de donner 1 quand il est ajoûté à son carré.
On demande de démontrer une des formules suivantes, assez amusantes (elles sont toutes trois équivalentes) :

Formule-33_0.jpg
Exercez-vous à démontrer ces formules (attention, n'essayez pas de réduire au même dénominateur !). Une indication : commencez à vous intéresser au premier membre [dans chaque équation] - vérifiez qu'il s'agit bien du nombre qui vérifie une certaine équation algébrique. Sinon allez voir les solutions dans l'annexe de l'article BibNum (onglet "Analyse" ou PDF "à télécharger").

 

Les fractions continues sont passionnantes car c'est un mode de REPRéSENTATION d'un nombre, finalement au même titre que son écriture décimale. Le nombre ci-dessus (qui n'est là que comme exemple), c'est

a) 0,618 033.... ?

b) 1/2 (√5 – 1) ?

c) la fraction continue composée de 1 ci-dessus ?

 

Finalement, laquelle de ces trois REPRéSENTATIONS a plus de valeur que l'autre ? À méditer...

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31 octobre 2011 1 31 /10 /octobre /2011 08:52

Vu dans Tangente Sup n°62 (oct.2011) un joli problème, je vous le donne avec la solution - vous avez juste à vérifier ou à faire vérifier par vos élèves. Voici une manière de partager un gâteau carré en cinq parts égales :

Carre-en-5.JPGProcédé : on part du milieu du côté du haut et on se dirige vers un des deux sommets opposés, etc.


Vérifiez (facile) que chacune des parts a bien comme surface le cinquième de celle du carré.

 

Supposons que parmi nos 5 convives, finalement Prosper ne se sert pas. Chacun des quatre autres prend sa part biscornue, et on recommence l'opération avec le carré central. Prosper à nouveau décline, on donne à chacun des autre autres la part biscornue, etc. À la fin, chacun des quatre hôtes (hors Prosper) aura mangé le quart du gâteau. OUI, mais dans ce cas mieux valait découper plus simplement dès le départ (couper les cheveux un carré en quatre !)

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17 mai 2011 2 17 /05 /mai /2011 09:30

À la suite de certains billets (le problème des trois portes dans mon livre p. 101-103  le problème des quatre cartes sur ce blog, un problème de naissances sur ce blog,...), voici encore, dans la même veine des "incertaines probabilités", deux sujets contre-intuitifs (extraits de G. Bronner, L'Empire de l'erreur, Élements de sociologie cogintive, P.U.F. 2007).

 

Problème A . Une ville possède deux maternités, l'une grande avec 45 naissances quotidiennes en moyenne, l'autre plus petite avec 15 naissances quotidiennes en moyenne. Chaque jour où le seuil de 60% de naissances masculines est dépassé, la maternité fait une croix dans son carnet de bord. Au bout d'un an, quelle maternité aura vraisemblablement le plus de croix dans son carnet ? La petite maternité ? La grande ? ou les deux seront-elles à égalité ?

 

Problème B. Une maladie, qui touche une personne sur mille, peut être détectée par un test. Ce test a un taux d'erreurs positives de 5% (c'est à dire qu'il produit 5% de faux positifs - le test marque la présence de la maladie alors qu'en fait elle n'est pas présente). Un individu est soumis au test. Le résultat est positif. Quelle est la probabilité pour qu'il ait la maladie ?

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8 mai 2011 7 08 /05 /mai /2011 18:03

Je lis le remarquable Gaston Bachelard (1884-1962), trop oublié, trop vite balayé par la "sociologie des sciences" (rendez-vous dans une cinquantaine d'années pour savoir qui reste entre Bachelard et la "sociologie des sciences"). Il nous propose (La Formation de l'esprit scientifique. Contribution à une psychanalyse de la connaissance objective, Vrin 1938, constamment réédité depuis) un exercice qu'il donne à ses élèves:

soit un chêne de 150 cm de diamètre: calculer son périmètre à un centimètre près

A l'heure des calculettes, on ne comprend même plus l'intérêt de réfléchir à pareil exercice. Bachelard nous invite néanmoins à réfléchir, à ce propos, à l'articulation etre précision physique et précision mathématique.

Chene.jpg

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Alterscience (janvier 2013)

Mon livre Alterscience. Postures, dogmes, idéologies (janvier 2013) détails.


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Récréations mathéphysiques

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Mon dernier ouvrage est sorti le 14 octobre 2010 : Récréations mathéphysiques (éditions Le Pommier) (détails sur ce blog)

Einstein, un siècle contre lui

J'ai aussi un thème de recherche, l'alterscience, faisant l'objet d'un cours que j'ai professé à l'EHESS en 2008-2009 et 2009-2010. Il était en partie fondé sur mon second livre, "Einstein, un siècle contre lui", Odile Jacob, octobre 2007, livre d'histoire des sciences (voir billet sur ce blog, et notamment ses savoureux commentaires).

Einstein, un siècle contre lui