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CouvPocheIndispensables
J'ai créé ce blog lors de la sortie de mon livre "Les Indispensables mathématiques et physiques pour tous", Odile Jacob, avril 2006 ; livre republié en poche en octobre 2011 (achat en ligne) (sommaire du livre).
Je développe dans ce blog des notions de mathématiques et de physique à destination du plus large public possible, en essayant de susciter questions et discussion: n'hésitez pas à laisser vos commentaires!

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Indispensables astronomiques

Nouveauté octobre 2013, mon livre "Les Indispensables astronomiques et astrophysiques pour tous" est sorti en poche, 9,5€ (éditions Odile Jacob, éidtion originale 2009). Comme mon premier livre (Les Indispensables mathématiques et physiques), c'est un livre de notions de base illustrées avec des exemples concrets, s'appuyant sur les mathématiques (géométrie notamment) pour l'astronomie, et sur la physique pour l'astrophysique. Je recommande vivement sa lecture.

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8 novembre 2009 7 08 /11 /novembre /2009 10:29

La lecture du livre de Marcel Berger (Géométrie vivante, ou l'échelle de Jacob, Cassini 2009 – livre ardu mais passionnant – il porte bien son titre, c'est vivant) m'a ouvert les yeux sur la géométrie du tore – un tore c'est un beignet ou une bouée ou un pneu. Il existe quatre familles de cercles à la surface d'un tore : les méridiens (on coupe des tranches de bouée comme un saucisson), les parallèles (on coupe par un plan parallèle à l'eau, pour une bouée), et les cercles de Villarceau – mais où sont ces cercles ? Berger nous dit qu'il a été abasourdi, à l'âge de 16 ans, de découvrir l'existence de ces cercles, et qu'il a même coupé un anneau en bois afin de les voir….. Moi-même, quelques années après mes 16 ans, je suis aussi abasourdi – mais où sont ces cercles ?

(figure ci-dessus, extraite du livre de Berger – assez sympa qu'il y ait certaines figures à la main – çà désacralise) Ces cercles correspondant en fait à la coupe par un plan bitangent : c'est-à-dire un plan horizontal tangent en haut d'un côté de la bouée, passant par le centre, et tangent en bas de l'autre côté de la bouée. Berger nous dit en légende : "Le lecteur pourra se convaincre à sa façon de la réalité des cercles de Villarceau"

J'aime bien ce genre de légendes : çà marche, car finalement le lecteur se prend au jeu. La page Wikipedia est certes intéressante; je ne suis pas sûr qu'Yvon Villarceau aurait décrit « ses » cercles (qui, au passage, étaient connus bien avant lui !) ainsi, avec des équations cartésiennes ou avec la fibration de Hopf ! le seul problème c'est que je ne comprends pas l'animation sur la page... Alors, pour me « convaincre », j'ai essayé une autre construction.

 



Je prends un plan vertical qui coupe le tore, et je vais le faire pivoter à 90° en un plan horizontal qui coupe le tore, en regardant les positions intermédiaires. Donc au départ (à gauche ci-dessus), plan vertical, deux tranches de saucisson (méridiens). A l'arrivée (à droite ci-dessus), deux cercles concentriques (parallèles). Et entre, que se passe-t-il ?

1) On part de la gauche, on incline notre plan, les deux points marqués à droite (ainsi que les symétriques à gauche, non marqués) restent les mêmes ; la surface de coupe du plan par le tore devient une espèce de haricot – je n'en suis pas sûr mais je pense que c'est cela. Pour s'en "convaincre", on coupe un bout de cylindre par un plan (ellipse), on tord en tore le bout de cylindre, l'ellipse se tord.

2) On part de la droite, on incline notre plan, les deux points marqués à droite (ainsi que les symétriques à gauche, non marqués) restent les mêmes ; le cercle extérieur s'aplatit en ellipse, le cercle intérieur s'agrandit en ellipse – on peut l'illustrer ainsi : les deux points marqués sur figure ci-dessus restent fixes quand on fait tourner notre plan, et les autres points, à 90°, donnent la figure ci-dessus quand notre plan part de l'horizontale (ci-dessus à droite); la distance au point extérieur diminue de OA en OA', celle du point intérieur OB augmente.


Mais alors, encore une fois, où sont-ils ces fameux cercles de Villarceau ? eh bien, on va les trouver à la place du point d'interrogation ci-dessus, comme une animation des figures voisines, par la droite ou par la gauche :

 

A gauche, les deux figures vont peu à peu se rapprocher pour former deux cercles, le périmètre externe d'une des figures (vert à gauche) venant relier le périmètre interne de l'autre (vert au milieu) ; idem à droite; idem pour les figures rouges ; venant de la droite ou de la gauche, cela forme au point de bitangence la figure du milieu, celle des deux cercles de Villarceau, et dans l'espace les voici (image Wikipedia) :

Voici donc comment deux cercles séparés, les méridiens (à gauche, première figure ci-dessus sous le trait), se transforment en deux cercles concentriques, les parallèles (à droite même figure), en passant par deux cercles entrelacés style anneaux olympiques, les cercles de Villarceau.

 


Question subsidiaire (facile), pour ceux qui ont suivi (même ceux qui n'ont pas tout suivi): si l'on appelle classiquement R le grand rayon du tore et r son petit rayon, quel est le rayon du cercle de Villarceau ?

(ajoût d'avril 2010) voir récent article de Marcel Berger sur les cercles de Villarceau dans BibNum

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commentaires

ecjs 08/11/2009


R-r si j'ai bien compris vos explications.


Benjamin Bradu 08/11/2009


Bonjour Alexandre,

A première vue, je dirai que les 2 cercles de Villarceau ont le même rayon, égal au grand rayon du tore (c'est-à-dire R), ce que parait montrer le dernier dessin...

(Une démonstration par le calcul serait plus appropriée pour répondre de manière plus élégante mais je pense que vous l'avez fait....)

Benjamin


Patrick CHEVILLARD 09/11/2009


Vous parlez de quatre familles de cercle, et vous n'en citez que trois - les méridiens, les parallèles et les cercles de Villarceau, qu'en est-il de la quatrième ?


Benjamin Bradu 09/11/2009


En prenant en compte le fait que la coupe forme effectivement un cercle 'incliné', il suffit de faire un petit coup de pythagore sur la première figure pour dire que le rayon du cercle de
Villarceau est égal à sqrt(R²-r²).

Est-ce la même intuition ?


ecjs 11/11/2009


Exact !


ecjs 11/11/2009


Je n'arrive cependant pas à imaginer que le centre d'un cercle de Villarceau est situé au "centre", ou ne serait-ce que sur l'axe central, du tore. Le schéma avec le plan bitangent semble le
montrer, mais quand même, j'ai du mal...


AlexM 23/02/2010



Gloups! Gloups! Gloups! (quatre fois Gloups si je ne me trompe). En fait, non ! J'ai retravaillé sur les cercles de Villarceau en préparant l'édition d'un
article BibNum d'un auteur original (un mathématicien, quoi). Benjamin vore première intuition était la bonne! Le rayon du cercle de Villarceau est R comme le grand rayon du tore. Je ne peux le
démontrer géométriquement, et même avec les équations cartésiennes c'est dur. Mais en tout cas géométriquement, on peut se rendre compte que Pythagore sur la première figure du post (qui donne
racine de R² - r² comme rayon) ne donne en fait pas le rayon du cercle. Je m'explique. Les deux cercles de Villarceau sont coplanaires, de même diamètre et sécants en deux points. La distance
entre ces deux points est donc inférieure au rayon du cercle (quand deux cercles sont sécants, ils se coupent en une corde inférieure à leur rayon). Donc racine (R²-r²) est inférieur au rayon du
cercle de Villarceau. En fait la première figure du post induit en erreur, c'est une simple projection qui fait voir cette corde entre les deux points de contact, et non le dimaètre de
Villarceau... A.M.



Benjamin Bradu 27/03/2010


Ahah ! Je viens de lire avec passion l'analyse de Marcel Berger sur BibNum ! Cette question des cercles de Villarceau n'est pas si triviale qu'il n'y parait !

Comme quoi, les intuitions mathématiques ne sont pas très fiables, même en géométrie et que le calcul et la démonstration rigoureuse sont des outils puissants !

merci pour cette mise à jour.

Benjamin 


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J'ai aussi un thème de recherche, l'alterscience, faisant l'objet d'un cours que j'ai professé à l'EHESS en 2008-2009 et 2009-2010. Il était en partie fondé sur mon second livre, "Einstein, un siècle contre lui", Odile Jacob, octobre 2007, livre d'histoire des sciences (voir billet sur ce blog, et notamment ses savoureux commentaires).

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