La récente livraison de BibNum (à laquelle j’ai contribué) me fait fantasmer sur les fractions continues. Au XVIII^e et au XIX^e siècles, les mathématiciens manipulaient couramment ces objets, quasiment abandonnés depuis ! Galois himself n’est pas en reste, puisque son premier article, à 18 ans, porte sur les fractions continues.

On peut développer un nombre rationnel en fraction continue – ainsi du nombre 3,14159 approximation de π

(voir dans l’analyse de l’article BibNum la façon dont on utilise la division euclidienne pour trouver cette fraction, unique)

On peut aussi développer en fractions continues des nombres solutions d’équations polynomiales (nombres algébriques). Ainsi du fameux nombre d’or :

Quelle élégance, une fraction continue (infinie, dans ce cas) rien qu’avec des 1 !

Mais le mieux, dans l’article de Galois, est que, comme dans la théorie des groupes qu’il développera plus tard, il semble ne pas s’intéresser aux racines elles-mêmes – même pour une équation du second degré. Ainsi, de l’équation 3y² – 2y – 3 = 0, il tire :

nettement plus élégant (à mon goût !) que :

En somme, chers amis enseignants et mathématiciens amateurs, on gagnerait à s’intéresser aux fractions continues – en sus de leur forme élégante et de leur allure, elles permettent d’exercer une certaine gymnastique d’esprit !

L’article BibNum de Galois (facile, beaucoup plus facile que sa théorie des groupes) ferait utilement l’objet d’exercices faciles en classe de seconde ou première : les notions de fraction continue périodique, ou à période immédiate, ou à période symétrique sont immédiatement perceptibles et représentables. Qui plus est, elles permettent de s’évader du sempiternel calcul de ces solutions par la méthode des discriminants avec ses horribles radicaux…

Marcher sur les traces de Galois pour découvrir ces notions peut motiver certains élèves ! Et même corriger certaines de ses erreurs comme nous l’avons fait dans l’analyse ! dire à un élève qu’il va corriger une erreur de Galois, c’est t(r)op !

L'oeil malicieux de Galois, né en 1811, réactualisé en 2011