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CouvPocheIndispensables
J'ai créé ce blog lors de la sortie de mon livre "Les Indispensables mathématiques et physiques pour tous", Odile Jacob, avril 2006 ; livre republié en poche en octobre 2011 (achat en ligne) (sommaire du livre).
Je développe dans ce blog des notions de mathématiques et de physique à destination du plus large public possible, en essayant de susciter questions et discussion: n'hésitez pas à laisser vos commentaires!

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Indispensables astronomiques

Nouveauté octobre 2013, mon livre "Les Indispensables astronomiques et astrophysiques pour tous" est sorti en poche, 9,5€ (éditions Odile Jacob, éidtion originale 2009). Comme mon premier livre (Les Indispensables mathématiques et physiques), c'est un livre de notions de base illustrées avec des exemples concrets, s'appuyant sur les mathématiques (géométrie notamment) pour l'astronomie, et sur la physique pour l'astrophysique. Je recommande vivement sa lecture.

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8 janvier 2014 3 08 /01 /janvier /2014 06:43

Dans le plan, en dimension 2, il y a une infinité de polygones réguliers : triangle équilatéral, carré, pentagone, hexagone, n-gone (voir dans mon premier ouvrage, p.68-69, l’approximation par Archimède de pi au moyen du périmètre des polygones réguliers inscrits dans le cercle). Or, en dimension 3, dans l’espace, n’existent que cinq polyèdres réguliers convexes (ou solides de Platon — encore un Grec). Pourquoi ? Comment ? De qui, de quoi ? Pour la géométrie, une référence, un guide de voyage : le Berger (Géométrie vivante, Cassini, 2010) comme une étoile qui nous… guide. Style direct et sans bavures. On en avait déjà eu deux échantillons en 2011 (polygones étoilés et enjoliveurs) et 2009 (cercles du tore) dans ce blog, accompagnant un des textes BibNum sur lequel je me suis le plus amusé à travailler.
CouvertureBerger.jpg

 

Le mage Berger utilise la relation d’Euler, bien connue dès la maternelle (je plaisante à peine : on pourrait la faire toucher du doigt aux enfants avec les cubes de leurs jeux de construction, ou avec les ballons de foot) : S – A + F = 2, où S est le nombre de sommets, A le nombre d’arêtes, F le nombre de faces. Il l’écrit subtilement f0 – f1 + f2 = 2 (où f0 est le nombre d’entités sans dimension, des points, les sommets, S ; f1 est le nombre d’entités à une dimension, les arêtes, A ; etc.). Gardons la notation classique, et introduisons h le nombre d’arêtes partant de chaque sommet, et k le nombre de sommets par face.

 

Pour ceux qui veulent toucher du doigt, ou qui veulent des chiffres concrets, voici le tableau pour les 5 polyèdres réguliers convexes :

 

 

S

A

F

h

k

Tétraèdre

4

6

4

3

3

Cube

8

12

6

3

4

Octaèdre

6

12

8

4

3

Dodécaèdre

20

30

12

3

5

Icosaèdre

12

30

20

5

3

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/Tetrahedron.gif

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/48/Hexahedron.gif

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Octahedron.gif

 

 

 

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/73/Dodecahedron.gif


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/Icosahedron.gif

 

 

 

 

 

 

(animations ci-dessus Wikimedia Commons, auteur Cyp, Creative Commons cc-by-sa)

(de haut en bas dans l'ordre du tableau, qui est le nombre croissant de faces)

 

Un sommet appartient à h faces (pour s’en convaincre, aplatir le voisinage d’un sommet sur un plan : le nombre d’arêtes partant du sommet, h, est égal au nombre de faces qui sont entre ces arêtes). Le nombre total de sommets, S, est donc égal à Fk (nombre de faces × nombre de sommets par face) divisé par h, puisqu’un sommet appartient à h faces (vérifier avec le tableau). Le nombre total d’arêtes, A, est égal à Sh (nombre de sommets × nombre d’arêtes partant de chaque sommet), divisé par 2, puisqu’une arête relie deux sommets (« appartient » à deux sommets).

S = Fk/h

A = Sh/2 = Fk/2

 

Reprenons la relation d’Euler, S – A + F = 2, et réinjectons ces valeurs.

 

Fk/h Fk/2 + F = 2

Fk + Fh = 2h + Fkh/2  > Fkh/2

k + h > kh/2

1/h + 1/k > 1/2

 

Or, si l’on réfléchit, il y a peu de couples d’entiers {h,k} (strictement supérieurs à 2) vérifiant cette propriété : {3,3} (tétraèdre), {3,4} (cube), {4,3} (octaèdre), {3,5} (dodécaèdre), {5,3} (icosaèdre). À partir de 3,6, on a 1/h + 1/k ≤ 1/2, donc la relation ci-dessus n’est pas vérifiée : le polyèdre n’existe pas.

 

Terminons avec Berger et sa magnifique phrase, une fois démontré qu'il n'existe que cinq polyèdres au plus : "L'existence sera vue plus bas"! Bon, pour l'existence, en ce qui nous concerne, nous nous contenterons des figures ci-dessus.

 

À suivre bientôt, sur le même thème.

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commentaires

Mon nom est Personne 26/05/2020 10:13

Intéressant. Mais où est la démonstration de la relation d’Euler ?

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