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CouvPocheIndispensables
J'ai créé ce blog lors de la sortie de mon livre "Les Indispensables mathématiques et physiques pour tous", Odile Jacob, avril 2006 ; livre republié en poche en octobre 2011 (achat en ligne) (sommaire du livre).
Je développe dans ce blog des notions de mathématiques et de physique à destination du plus large public possible, en essayant de susciter questions et discussion: n'hésitez pas à laisser vos commentaires!

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Indispensables astronomiques

Nouveauté octobre 2013, mon livre "Les Indispensables astronomiques et astrophysiques pour tous" est sorti en poche, 9,5€ (éditions Odile Jacob, éidtion originale 2009). Comme mon premier livre (Les Indispensables mathématiques et physiques), c'est un livre de notions de base illustrées avec des exemples concrets, s'appuyant sur les mathématiques (géométrie notamment) pour l'astronomie, et sur la physique pour l'astrophysique. Je recommande vivement sa lecture.

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25 juillet 2008 5 25 /07 /juillet /2008 09:00
Je m'intéressais à la mathématique de l'arc-en-ciel (peut-être pour un prochain livre pour l'Année mondiale de l'Astronomie 2009 ?) et j'avais besoin de la dérivée de Arcsin (arcsinus, l'inverse de sinus, si y=sinx, alors x=arcsiny). Eh oui, cela paraît incroyable, mais on a besoin de cela si on veut approfondir le phénomène de l'arc-en ciel ! L'arc-en-ciel, c'est un mirage qu'on observe dans un rideau de pluie ou d'humidité, quand on tourne le dos au soleil, sur une certaine incidence des rayons solaires i qui minimise une fonction f(i) sous contrainte sini=nsinr (loi de réfraction de Descartes, n= 4/3 indice de l'eau)... Et, tout d'un coup, un trou, je n'arrive pas à me rappeler la formule pour la dérivée de l'inverse d'une fonction f. Autrement dit, je connais la dérivée de la fonction sinus, comment obtiens-je la dérivée de la fonction Arcsin?
Je me souviens de (f × g)', mais pas de
(f--1)’ ...


C'est alors que je me rappelle que la dérivée est un opérateur de composition, puisqu'il exprime, en physique, des mouvements infinitésimaux qui peuvent être eux aussi composés:

d f[g(x)] / dx = d f(y)/ dy  × dy/dx, où l'on pose y = g(x)
d f[g(x)] / dx = f'(y)  × g'(x)
d (f o g) = g' × (f' o g), où o est la fonction composée

Voilà la formule que je cherchais ; à partir de ce moment-là c'est plus facile ; on peut aussi en déduire (f--1)’ mais ce n'est pas nécessaire. J'écris la formule avec g = Arcsin et f = sin :

f o g = Id (Id est la fonction Id(x)=x)
En dérivant et en appliquant la formule:
1 = d(Id) = d (f o g) = Arcsin' × sin ' (Arcsin x) = Arcsin'
× cos (Arcsin x)
Donc la dérivée de Arcsin est Arcsin'(x) = 1/
cos (Arcsin x)

Je suis bien avancé, me direz-vous, mais cos (Arcsinx) est un nombre qui possède une propriété :

cos² (Arcsinx) + sin² (Arcsinx) = 1
cos²(Arcsinx) = 1 - x²
(Arcsinx)' = 1/√(1-x²)

J'aurais pu retrouver cette dérivée facilement sur Internet, mais je me suis dit que les mathématiques, c'était beau, notamment à partir de la physique de l'arc-en-ciel ! Pour la beauté de cette formule, j'ai continué pour retrouver la dérivée la plus simple, celle de l'exponentielle (qui est sa propre dérivée) g = exp , f = Log :

1 = exp' × Log ' (exp)
Or Log' (y) = 1/y, donc exp' = 1/(1/exp) = exp.
CQSMCQFD
(ce qu'on savait mais ce qu'il fallait démontrer)


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commentaires

beX 16/10/2009 11:23


Bonjours, nous sommes en classe de 1°S et nous faisons un TPE sur les Arc-en-ciel...
Nous aimerions introduire la dérivée dans notre TPE, c'est pourquoi nous vous demandons votre aide, si vous pouviez nous fournir une explication plus détaillée de votre calcul nous vous en serons
reconnaissant. Merci de me répondre au mail inscrit.


Alexandre Moatti 17/10/2009 17:06



Comme je vous l'ai répondu vous trouverez un calcul simple sur ce sujet dans mon livre "Les indispensables astronomiques" (2009) page 65.
A.M.



le même passant 25/06/2009 00:38

Certes, d'un point de vue rigoureux, parler ici de l'inverse d'une fonction n'est PAS une erreur.Cependant, je maintiens que, quand un produit (la multiplication) est plus "naturel" qu'un autre (la composition), la bienséance voudrait qu'on lui laisse le mot "inverse" et en chercher un autre pour la seconde opération. ;-)(De même qu'on préfèrera les notation fog ou f(g) à fg.)Enfin, je dis surtout ça pour des lecteurs novices qui chercheraient des repères pour comprendre (beaucoup de mes élèves ont des problèmes pour retenir la formule de dérivation d'un quotient, alors si en plus le vocabulaire devient ambigu..)Et par exemple, en reprenant les calculs de cette page, on pourrait écrire que: f-1'(y)=1/f'(x)soit: "la dérivée de l'inverse de f, en y, est égale à l'inverse du nombre dérivé de f en x"PS: j'admets que mon exemple relève (un peu) de la mauvaise foi quand même.

un passant 24/06/2009 00:18

Serait-il possible de modifier toutes les occurences du mot "inverse" (comme dans "fonction inverse") par "réciproque" (comme dans "application réciproque")?En effet, la notation (f-) est déjà assez ambigüe.J'ai le poil qui se hérisse quand je lis un mot à la place d'un autre.. ;-)Certes on pourra me répondre que l'opération de "fabrication de la réciproque" s'appelle "inversion" (locale), mais tout de même, évitons les confusions, s'il vous plait! :-)Je précise que je suis arrivé là après avoir cliqué sur un lien de liberation.fr.

Alexandre Moatti 24/06/2009 23:46


Merci de votre précision. C'est vrai que "réciproque" serait plus approprié, j'avais oublié ce terme. Mais ne peut-on considérer que dans le groupe muni de
l'opération composition, f-1 est bien l'inverse de f ? D'autant qu'il n'y a là pas d'ambiguité avec une autre utilisation du mot "inverse". A.M.


Tucru 11/09/2008 18:36

il ne me semble pas avoir besoin de tout cela : genre Bouasse.la figure a une symétrie : D= un tour +2(A-2B) donc dD=0 ssi dA = 2 dB qui joint à Descartes : sinA = n sin B qu'on différencie, donne cos A = sqrt( (n^2-1)/3) : 2 cas de pertinence : n=1 certes; n=2 (cat's eye)Plus difficile à faire comprendre aux élèves : pourquoi D extrémal représente-t-il accumulation de lumière ? c'est quoi une "gloire", demandent-ils? Certes, votre exemple {dy/dx est un rapport }est judicieux , mais vous voyez,  pour l'arc-en-ciel, on peut aller un cran plus loin et se passer de Arc sinus ( en 2de ou en 3ème).cordialementlaure t

Alexandre Moatti 12/09/2008 08:44


Mon billet porte plutôt sur ce que je décris, à savoir trouver la dérivée de l'inverse d'une fonction. L'arc-en-ciel n'était là que comme une voie pour m'amener là
; bien évidemment la méthode que vous décrivez pour l'arc-en-ciel est plus simple, je l'utilise par ailleurs, c'est la méthode la plus abordable ; mais ce n'est pas là-dessus que porte mon
billet.
Ceci dit, sur la pédagogie de l'arc-en-ciel, vous avez 100% raison : le plus difficile est de comprendre pourquoi il y a accumulation de lumière à l'extrêmum de la fonction.
A.M.


Paulo 24/08/2008 23:17

Bonsoir Alexandre, Très bon ce article!Il y a un bon éditeur LaTeX qui donne les équations en images! Il est sur http://www.codecogs.com/components/equationeditor/equationeditor.php et je l'utlise sur mon blog.Paulo.

cours maths 07/08/2008 11:00

excellent !!!!!

olivier Leguay 03/08/2008 11:39

En attendant ce module, il est possible de réaliser des écritures mathématiques de bonne qualité en insérant des images réalisées avec pretty print : http://prettyprint.free.fr/13941.html 

ecjs 01/08/2008 20:53

C'est la démonstration faite en classe de mathématiques supérieures.

Matthieu 28/07/2008 21:47

Conclusion : Il faudrait vraiment que les moteurs de blogs incluent un module equation...

Alexandre Moatti 31/07/2008 08:25


Oui, vous avez raison, mais Over-Blog vient (enfin) d'introduire un module "caractères spéciaux" qui n'est pas trop mal, en tout cas qui suffit me semble-til pour
ce genre de billets. C'est vrai que pour des formules plus élaborées un éditeur de formules manque. A.M.


all 25/07/2008 14:41

trop puissant

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