La guerre de la règle de trois a eu lieu

Lundi 6 décembre 2010 1 06 /12 /Déc /2010 17:37

La guerre de la règle de trois a eu lieu

Dans Le Monde du dernier week-end de novembre, il y avait toute une page de réactions de lecteurs à l’article datant de la semaine précédente, où Xavier Darcos estimait ne pas savoir « du tout » faire une règle de trois (résumé). Georges Marcellier indique que c’est une coquetterie de littéraire de se dire nul en mathématiques – j’avais aussi remarqué cela et le pointe souvent dans mes interventions (voir aussi l’éditorial du président de la Société mathématique de France, PDF).

Mais il y a une petite pépite dans ce courrier des lecteurs, c’est la lettre de Pierre Pelloso de Paris, un jeu mathématico-littéraire, justement : J'ai trois fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez. Quand vous aurez l'âge que j'ai, ensemble nous aurons 98 ans. Ce problème (connu) était paraît-il posé en 1928 au certificat d’études primaires – et l’on demandait une résolution arithmétique et non algébrique.

Un certificat d'études primaires de 1921, Académie d'Aix (WikiCommons, André Payan-Passeron)

Pierre Pelloso indique que seuls 1% des personnes donnent une solution arithmétique, et 80% une solution algébrique (le reste ne sait pas résoudre, c’est le vivier des futurs ministres de l’Éducation nationale). Je défie mes lecteurs pour trouver une solution arithmétique. Je n’aime pas poser des questions dont je n’ai pas la réponse (très immodestement : tel Leibniz et son défi de la chaînette), aussi je propose une solution en premier commentaire ; mais elle est fort alambiquée, et encore je la donne en ayant en tête la solution trouvée par la méthode algébrique.

Je m’avance peut-être, mais en 1928 il y a fort peu de chances qu’on apprît au primaire à faire de l’algèbre et à poser des inconnues. Rappelez-vous, pour ceux qui ont connu çà, les problèmes de robinet et surtout de trains (qui introduisent un décalage temporel, comme ici) : il ne venait à personne l’idée de les résoudre algébriquement !

Alors à vos (porte-)plumes ! Vous pouvez essayer de simplifier ma solution, mais je suggère plutôt que vous cherchiez par vous-même sans regarder mon premier commentaire.

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Par Alexandre Moatti - Publié dans : "Jeux" et curiosités mathématiques - Communauté : Les amis des maths
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Commentaires

Quand j’avais l’âge que vous avez => entre ce moment et maintenant, la différence est égale à la différence d’âge entre les deux personnes.

À ce moment-là, la personne la plus jeune a un âge inférieur, cet âge est inférieur de la même durée (puisque c’est la différence d’âge entre les deux personnes).

J’ai trois fois l’âge que vous aviez => dans l’âge actuel du plus vieux, il y va trois fois l’âge d’époque du plus jeune ; donc entre ces deux âges, il y va deux fois l’âge d’époque du plus jeune.

Or, d’après la première déduction, il y va aussi deux fois la différence d’âge entre les eux. Donc la différence d’âge entre les deux est égale à l’âge qu’avait le plus jeune à l’époque.

Quand vous aurez l’âge que j’ai => le plus jeune aura trois fois l’âge du plus jeune à l’époque, et le plus vieux aura ce même âge augmenté de la différence d’âge, soit quatre fois l’âge du plus jeune à l’époque. La somme des deux est donc égale à sept fois l’âge du plus jeune à l’époque, qui avait donc 14 ans. Donc l’homme le plus âgé a actuellement 42 ans, et le plus jeune 28 ans.

Ouf ! A.M.

Commentaire n°1 posté par AlexM le 06/12/2010 à 17h49

Bonjour, Je serais très curieux de lire l'éditorial pour en savoir plus, mais le lien est cassé ! Quand à la solution, je me sens un peu incapable de simplifier la chose (mais je ne suis pas un «littéraire» :) ). Plates excuses

Commentaire n°2 posté par Alexandre le 06/12/2010 à 20h20

Je ne saisis pas de différence entre la preuve arithmétique et celle algébrique. Les déductions reposent sur des équations "lues". Je m'attendais à une étude de la divisibilité de certains nombres.

Commentaire n°3 posté par ecjs le 08/12/2010 à 00h20

Dans l'échelle linéaire du temps je considère tois périodes : hier, aujourd'hui et demain.

Hier deux pesonnes A et B avec une différence d'age d avec A plus jeune que B

Aujourd'hui A se positionne a l'age précédent de B qui se décalle d'une nouvelle différence d'age d. B est donc positionné à deux différnces d'age de A à l'initial. B est aussi à trois fois l'age de A. L'age initial de A est donc égal à la différence d'age d.

Demain A est positionné sur l'age de B d'aujourd'hui donc à trois fois son age initial et B se décalle d'une différence d'age d donc à quatre fois l'age de A initial. la somme des ages est ainsi égale à 7 fois l'age de A initial. L'age de A initial est donc 98/7=14

Hier A à 14ans et B 28ans - Aujourd'hui A a 28 ans et B 42ans - Demain A aura 42ans et B 56ans

42 ans = 14x3 et 98 = 42+56

Commentaire n°4 posté par Duchâtel Michel fançois le 08/12/2010 à 10h38

Merci. C'est intéressnat, mais il me semble toutefois que c'est une résolution quasi-algébrique, vous introduisez une inconnue. On peut faire la même remarque que ecjs fait ci-dessus, non sans raison, à ma proposition.

En tout cas, je doute fort qu'un élève à l'examen de fin d'études en 1928 ait pu répondre de cettemanière

A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 08/12/2010 à 11h10

Bonjour.

J'ai tenté de résoudre le problème, à ma manière (sur mon blog). Je me suis souvenu du pivot de Gauss (j'ai formulé trois équations pour trois inconnues)... méthode évidemment inconnue de ceux qui passaient le certificat d'études en 1928 !

Commentaire n°5 posté par Henri Golant le 12/12/2010 à 23h29

Bonsoir,

avec l'autorisation d'Alexandre Moatti, permettez-moi d'ajouter un commentaire à son post.

Tout d'abord, dans mon courriel au Monde qui répercutait celui que j'avais envoyé au Ministère de l'E-N, dans ma statistique il ne s'agissait pas de personnes λ mais bien d'étudiants du Supérieur!

Maintenant je vais profiter de l'hospitalité qui m'est offerte pour proposer ma solution aritmétique qui présente de façon différente celle que M. Moatti a parfaitement donnée.

La solution est en fait très courte, elle tient en un tableau. Mais pour moi l'essentiel est ailleurs, elle est dans la démarche qui conduit à elle! Et c'est cette information que je voulais faire passer dans mon courriel au Monde!

Je n'ai rien inventé, j'ai eu la chance en 1949 d'avoir été enseigné par un instituteur remarquable qui nous a appris à bien analyser les énoncés et à les matérialiser par un juste croquis donc j'ai bien obtenu mon CEP qui est le diplôme dont je suis le plus fier! Selon cette méthode voici ma démarche complète.

il y a 2 personnes, vous et moi
interviennent le passé (aviez), le présent (avez) et le futur (aurez)
on évalue donc les âges à 3 époques différentes mais la réponse concerne uniquement le présent (sont)
ces âges sont interdépendants
la clef du problème est que la différence des âges entre vous et moi, reste constante dans le temps, il est donc astucieux de l'introduire dans nos raisonnements
afin de ne pas utiliser de fractions, fréquente source d'erreurs de calcul, nos raisonnement mettront donc en jeu l'âge qui est le moindre, c'est-à-dire le vôtre dans le passé
Nous choisissons donc de bâtir un raisonnement à partir de cet âge que nous appellerons (a) et de la différence que nous appellerons (d)
Permettez-moi de faire remarquer que je ne POSE pas a et b mais j'évite d'écrire deux périphrases pour les désigner

Visualisons tout cela par un croquis:

PASSÉ PRÉSENT FUTUR

Moi a + d 3 a 98 - 3a

Vous a a + d 3 a

Il est visible que Moi = Vous + d et que PRÉSENT = PASSÉ + d

Mais alors on a aussi 3 a = (a + d) + d, un simple calcul mental montre que d = a!

Alors le tableau peut s'écrire:

PASSÉ PRÉSENT FUTUR

Moi 2 a 3 a 4 a

Vous a 2 a 3 a

On a remplacé 98 - 3 a du Futur par 4 a puisque les âges diffèrent de a!

Finalement, 4 a + 3 a = 7 a = 98 d'où a = 14

Par suite la solution demandée est que présentement vous avez 28 ans et moi j'en ai 42.

Remarque: Il est visible que les âges tombent "justes" si la somme est un multiple de 7.

Ainsi vous pouvez reprendre le problème avec: 2 fois l'âge; 4 fois l'âge, etc.

Veuillez me pardonner ma longueur de texte.

Pour terminer, je vous engage à vous mettre dans la peau du "matheux" qui ne résoudrait pas ainsi, c'est-à-dire avec 3 fois et 98 ans car il se méfie beaucoup des valeurs numériques qui masquent trop de choses, c'est un littéraire à sa manière, il préfère utiliser des lettres! Remplacer alors 3 par n et 98 par N et calquer votre solution sur la mienne, vous aurez ainsi généralisé le problème!

Me voici devenu un adepte du blog de Monsieur Moatti que je remercie vivement.

Pierre Pelloso

Commentaire n°6 posté par Pierre Pelloso le 13/12/2010 à 00h18

Merci M. Pelloso, je suis sensible à votre intrevntion sur mon blog, puisque vous êtes l'auteur de cette lettre au Monde qui m'a inspiré (une "pépite", ai-je dit!). Comme je vous l'ai dit en privé, j'avais cherché vos coordonnées, au moins pour vous prévenir de ce billet de blog que je suis content que vous ayez trouvé. Par ailleurs, je n'ai pas à vous donner mon autorisation pour que vous commentiez le présent blog. Je reviendrai après réflexion sur le fond de la question. A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 14/12/2010 à 10h56

je suis désolé mais la présentation finale de mon billet de ce matin n'a pas respecté ce que je voyais à l'écran, si vous êtes intéressé je puis vous envoyer le texte…en clair par mèl, demandez-le moi!

En plus vous obtiendrez la solution du "matheux" à laquelle je fais allusion.

Pierre Pelloso

Commentaire n°7 posté par Pierre Pelloso le 13/12/2010 à 12h19

ah mon adresse de mèl n'apparaît pas, la voici:

pelloso@univ-paris12.fr

Commentaire n°8 posté par Pierre Pelloso le 13/12/2010 à 12h22

Re: "J'ai 3 fois l'age que vous aviez..."

Algebre ou pas?

1) La traduction du probleme en langage mathematique ressemble a de l'algebre, parce qu'on doit ecrire des egalites: y = 3 (x-d), y = x+d, x+d + y+d = 98. La question est de trouver d (la difference d'age), x (l'age du plus jeune), y (l'age du plus vieux).

La solution, toutefois, n'a pas besoin d'etre "par l'algebre".

2) Par exemple, on pourrait dessiner les droites y = 3 (x-d) et y = x+d pour voir geometriquement les relations entre x, y et d.

3) Une approche "naive" serait de voir ce qui ce passe pour des petites quantites, comme 1, 2, 3, etc. Si on fait ca ici, on peut commencer avec y = 3 (pour: 3 fois 1), alors x-d = 1, alors x = 2d = 2 (pour 2 fois 1). Bien sur, ca ne va pas marcher avec 98; on voit que x+d + y+d = 7 (pour: 7 fois 1). Mais en fait, ici le "1" peut designer un "bloc de temps" de n'importe quelle grandeur, on peut changer d'unite, donc on peut remplacer ce 1 par une inconnue t, pour laquelle on a l'egalite 7t = 98, alors t = 98/7 et le reste s'ensuit.

4) Comment justifier a priori le fait que l'inconnue la plus importante ici c'est d (la difference d'age)? Raisonner comme un statisticien: d est la seule constante (parametre) dans ce probleme...

Commentaire n°9 posté par annie peterson le 13/12/2010 à 16h47

L'idée géométrique 2) est intéressante, je n'y avais pas pensé.

J'aime bien aussi votre approche 3), pratique, elle devrait pouvoir permettre de s'apercevoir assez rapidement que les deux âges sont dans le présent dans un rapport 3/2 (la seconde partie du problème, avec 98, a moins d'intérêt : on pourrait dire "ensemble nous avons 70 ans" que cela ne changerait rien au sujet).

Votre point 4) est fort intéressant : en effet d (la différence d'âge) est la valeur à considérer - et se dire que c'est la seule constante aide.

A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 14/12/2010 à 11h04

|---|---|---|---|---|---|---|---> temps

0 A B C D 98=t(0->C)+t(0->D)

A : Age que vous aviez quand j'avais votre âge

B : Votre âge

C : Mon âge

D : L'age que j'aurais quand vous aurez mon âge

t(A->B)=t(B->C)=t(C->D) car on vieillit au même rythme

=t(0->A) car J'ai trois fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez.

et donc t(0->C) = Mon âge = (3/7) de 98 = 42 ans

Commentaire n°10 posté par Vincent Dunias le 16/12/2010 à 02h10

ceci est un parfait exemple qu'il ny a pas dichotomie litteraires-matheux.Ma solution au fil de l'analyse litterale du texte:

J'ai trois fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez. Quand vous aurez l'âge que j'ai, ensemble nous aurons 98 ans.

Point de départ: mon_ age-difference=ton_age

J'ai trois fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez: (ton_age-difference)*3=mon_age ou (mon_age-2*difference)*3=mon_age ou 2*mon_age=6*difference (1) (on a remplacé ton age par mon age-difference)

Quand vous aurez l'âge que j'ai, ensemble nous aurons 98 ans:

(mon_age) + (mon_age+difference)=98 (à cet instant, ton_age=mon_age et mon age =mon_age+difference) ce qui donne 2*mon age=98-difference (2)

Nous avons donc

(1) 2*mon_age=6*difference et

(2)2*mon_age=98-difference ce qui equivaut à

6*difference=98-difference, difference =98/7=14

de (2), on tire 2*mon_age=98-14 ,mon_age=84/2

donc mon age =42 et ton_age=42-14=28

Commentaire n°11 posté par macoumba le 21/12/2010 à 15h30

A cette époque, il n'était effectivement sans doute pas demandé de résolution algébrique.

Cela ne signifie pas qu'on demandait pour autant une résolution arithmétique.

Cette époque voyait une extraordinaire richesse dans les résolutions géométriques et c'est une telle solution qu'on m'avait racontée.

Tracer une droite (HA). (HA) est la droite du temps qui coule de gauche (Hier) à droite (Aujourd'hui).

Tracer vers le haut une demi-droite [Hh) et une demi-droite [Aa), toutes les deux perpendiculaires à (HA). [Hh) est la droite des âges d'hier; [Aa) est la droite des âges aujourd'hui.

Placer sur la demi-droite [Hh) un point Vh (Votre âge hier) à une distance quelconque de (HA). Placer alors ensuite un point Ma (Mon âge aujourd'hui) sur la demi-droite [Aa) à trois fois (graphiquement, en reportant) la distance quelconque précédente de la droite (HA).

La condition "quand j'avais l'âge que vous avez" consiste à déplacer une droite parallèle à (HA), sécante à [Hh) au point Mh (Mon âge hier) et sécante à [Aa) au point Va (Votre âge aujourd'hui) de manière à ce que les droites (Mh,Ma) et (Vh,Va) soient parallèles, puisqu'on prend toutes et tous un an par année écoulée... On découvre que Mh est à 2 distances quelconques de la droite (HA). La démonstration n'était pas demandée, c'était un constat: l'élève avait soudainement l'intuition que c'était là que la condition de parallélisme était respectée.

La droite parallèle passant par Ma et parallèle à (HA) et la droite (Vh,Va) sont sécantes en un point Vd (Votre âge demain) qui respecte la condition que "vous aurez l'âge que j'ai".

On mène la demi-droite [Dd) des âges de demain qui est sécante à (HA) en D et qui est perpendiculaire à (HA) et qui passe par Vd.

La droite (Mh,Ma) est sécante en Md (Mon âge demain) à la demi-droite [Dd).

Md est à 4 distances quelconques de (HA) et Vd est à 3 distances quelconques de (HA), ce qui signifie que 7 distances quelconques sont égales à 94: une distance quelconque est égale à 94/7=14.

La lecture graphique de tous les âges est immédiate.

La possibilité de toutes les modifications du problème est elle aussi à peu près immédiate et on retombe sur un peu d'arithmétique liée aux règles de divisibilité pour inventer correctement le pendant du nombre 94.

Commentaire n°12 posté par ProfSciencesEnColere le 22/12/2010 à 15h54

Merci (erratum : à la fin, lire 98 et non 94). Très belle solution, disons géométrique... Mais vraiment pouvait-on avoir une telle intuition au certificat d'études en 1928 ? A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 30/12/2010 à 16h58

D'ailleurs, détermination graphique (géométrique?) d'un problème avec une belle élégance dans la symétrie des moitiés:

J'ai 5 fois l'âge que vous aviez quand j'avais la moitié de l'âge que vous avez.

Quand vous aviez la moitié de l'âge que j'ai, nous avions ensemble 84 ans.

Commentaire n°13 posté par ProfSciencesEnColere le 22/12/2010 à 16h52

J'avais aussi repéré cette "pépite" dans le courrier des lecteurs du Monde car elle m'a rappelé combien mon père, titulaire du seul certificat d'études primaires (vers 1921) nous impressionnait par sa facilité à résoudre par l'arithmétique des problèmes nous paraissant à ma soeur et moi bien compliqués. Je suis sûr qu'il aurait trouvé la solution de celui-ci mais il n'est plus là pour me le confirmer.

Selon moi il faut procéder comme suit :
1) Repérer les invariants : ici c'est bien sûr la différence d'âge.
2) On déduit de la première partie de l'énoncé que je suis âgé de trois fois notre différence d'âge et vous de deux fois.
3) On déduit de la deuxième partie de l'énoncé que quand mon âge aura augmenté de notre différence d'âge, vous aurez trois fois cette différence d'âge et moi quatre fois et que le total (98 ans) représente donc sept fois notre différence d'âge.
À partir de là le problème est résolu.

N.B.1 : Ma démonstration ne comportant ni symbôle ni chiffre arabe devrait être accessible à un "littéraire".
N.B.2 : Un raisonnement mental rapide comme celui-ci est bien sûr facilité par la simplicité des nombres mis en jeu. Il n'empèche que ce type d'exercice de type "calcul mental" est aujourd'hui hélas démodé au profit de recettes de cuisine moins fatigantes pour les méninges comme le confirme Mr Pelloso que je remercie de son stimulant courrier.

Commentaire n°14 posté par Jean-Claude Bertails le 10/01/2011 à 19h36

je remercie monsieur J.C. Bertails (N°14) qui a su traduire avec des mots précis la solution que je donnais ci-dessus, devenue incompréhensible du fait que mon tableau résumant l'énoncé n'a pas été bien formatés in fine.

Commentaire n°15 posté par Pierre Pelloso le 14/01/2011 à 23h45

Bonjour,

Je ne fais ici que proposer un travail, initié depuis peu, qui consiste justement à rendre accessible toute une série de problème et question "de l'ancien temps". Ce travail se trouve sous la rubrique "Algèbre" du site http://lapeiron.free.fr

Cordialement, un professeur de mathématiques qui tente de faire agir ses élèves...

Commentaire n°16 posté par Marc Olive le 20/02/2011 à 19h21

Merci de nous faire connaître votre site, en effet intéressant. A.M.

Réponse de Alexandre Moatti le 27/02/2011 à 00h08

Je vous propose la redaction suivante.

J'ai trois fois l'âge que vous aviez quand j'avais votre âge, c'est à dire "hier" pour simplifier le langage.

Notre différence d'âge reste la même aujourd'hui qu'hier. C'est la différence entre mon âge et le vôtre aujourd'hui et entre mon âge hier et le vôtre hier aussi. Votre âge est donc la moyenne entre le mien aujourd'hui et le vôtre hier.

Vous avez donc aujourd'hui deux fois (moyenne entre 3 et 1) l'âge que vous aviez hier. Notre différence d'âge est égale, en nombre d'années à l'âge que vous aviez hier.

Quand vous aurez mon âge, vous aurez 3 fois l'âge que vous aviez hier et moi 4 fois, au total 7 fois l'âge que vous aviez hier. Le total étant 98 ans, vous aviez hier 14 ans et nous avons aujourd'hui respectivement 28 et 42 ans. Nous aurons demain 42 et 56 ans dont le total fait bien 98 ans.

Commentaire n°17 posté par daviet bruno le 30/08/2011 à 08h49

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