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CouvPocheIndispensables
J'ai créé ce blog lors de la sortie de mon livre "Les Indispensables mathématiques et physiques pour tous", Odile Jacob, avril 2006 ; livre republié en poche en octobre 2011 (achat en ligne) (sommaire du livre).
Je développe dans ce blog des notions de mathématiques et de physique à destination du plus large public possible, en essayant de susciter questions et discussion: n'hésitez pas à laisser vos commentaires!

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Indispensables astronomiques

Nouveauté octobre 2013, mon livre "Les Indispensables astronomiques et astrophysiques pour tous" est sorti en poche, 9,5€ (éditions Odile Jacob, éidtion originale 2009). Comme mon premier livre (Les Indispensables mathématiques et physiques), c'est un livre de notions de base illustrées avec des exemples concrets, s'appuyant sur les mathématiques (géométrie notamment) pour l'astronomie, et sur la physique pour l'astrophysique. Je recommande vivement sa lecture.

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29 novembre 2009 7 29 /11 /novembre /2009 11:04

La dernière livraison BibNum porte sur La Géométrie de Descartes. Elle est, au même titre que La Dioptrique et Les Météores, partie intégrante du fameux Discours de la méthode – ce sont même des « essais de cette méthode ». À notre époque où philosophie et mathématiques sont fort disjointes, ceci mérite d’être rappelé – dès 1826, curieusement, dans son édition de Descartes, le philosophe Victor Cousin disjoignait les trois « livres scientifiques » du Discours initial.

 

Je reste sur le plan mathématique dans ce billet. J’avais déjà été fasciné (cf. mon ouvrage Les Indispensables mathématiques et physiques, chapitre 6) par la construction géométrique par Descartes de la racine carrée d’une longueur, à partir d’un cercle (voir figure 3 du commentaire par André Warusfel du texte BibNum). J’ai à nouveau été fasciné, cette fois-ci par la construction géométrique par Descartes des racines d’un polynôme du second degré :

 

Soit à résoudre géométriquement (à la règle no graduée et au compas) l’équation z² = az + b², avec a positif.

On trace un triangle rectangle tel que LM = b (racine carrée, au besoin construite préalablement, du coefficient connu b² de l’équation), et LN = ½a. On prolonge MN, base du triangle ainsi construit, jusqu’à un point O tel que NO = NL (construction au compas du cercle de centre N et de rayon NL, O est l’intersection de ce cercle avec la base MN du triangle).

Alors, comme dit Descartes, « la toute OM est la ligne z cherchée ». Et « elle s’exprime en cette sorte » :


En effet MO = NO + MN = NL + MN =½a + √(LN² +ML²) = ½a + √(a²/4 +b²)   On peut vérifier que z² = az + b² ou, par la méthode du discriminant ∆, résoudre z² – az – b² = 0 et retrouver la valeur ci-dessus comme étant la racine positive de l’équation.

Quizz : savez-vous ce que représente le point P dans notre équation ? et pour Descartes qiue représente-t-il (il en parle plus loin dans son texte) ?

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Published by Alexandre Moatti - dans BibNum
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commentaires

AlexM 30/11/2009 13:44



J'en profite pour ajouter un commentaire. Descartes raisonne sur les équations z² = az + b² commenté dans le présent billet), avec a positif; z² = -az + b², ce
qu'indique à juste titre le comentaire ci-dessus (solutionen P); z² = az - b² (la construction géométrique est alors différente, voir son texte). Il ne raisonne pas sur le quatrième cas z² = -az
- b² qui ne donne pa de racine réelle ( a positif, toujours). A.M.



ecjs 29/11/2009 18:54


La solution de la même équation avec -a au lieu de +a.


Alexandre Moatti 29/11/2009 21:13



Oui, çà c'est la racine de l'équation suivante présentée par Descartes z² = - az + b (l'équivalente avec le premier coefficient négatif). Et quid dans notre
éuqation à nous z² = az + b, que représente P ? A.M.



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