La somme des angles d’un triangle, c’est bien connu, vaut… l’angle plat (regardez la démonstration d’Euclide sur Wikipedia). Mais, c’est moins connu, la somme des angles d’un quadrilatère convexe (par exemple un carré) vaut… deux angles plats (360°). La somme des angles d’un pentagone (5 côtés) vaut… trois angles plats (540°). La somme des angles d’un hexagone vaut… quatre plats (720°). La somme des angles d’un polygone convexe à n côtés vaut (n – 2) angles plats. Je vous propose deux démonstrations graphiques de cela.

La première, c’est de remarquer qu’un carré, c’est deux triangles accolés, donc deux plats pour la somme des angles ; un pentagone c’est un triangle accolé à un quadrilatère, donc trois plats (cf. figure ci-après) ; un hexagone, c’est deux quadrilatères accolés ou un pentagone accolé à un triangle, etc.

La seconde ressemble à celle du triangle telle que mentionnée ci-dessus. Elle consiste à « remplacer un sommet par un côté » dans un polygone convexe à n côtés: il devient un polygone convexe à (n+1) côtés. Regardons ce qui se passe. À gauche, en violet, l’angle α du sommet d’un polygone convexe. Au milieu, on trace un trait qui va servir de support au nouveau côté – il forme un angle β (peu importe la valeur de cet angle, elle va disparaître). À droite, on décale légèrement un des côtés de l’angle initial (en conservant le parallélisme), c’est ce que j’appelle « le remplacement d’un sommet par un côté ». Les angles marqués en noir sont conservés. On en déduit facilement les angles marqués en violet, et on remarque que la somme des deux angles violets vaut  π + α (β disparaît). Ainsi, en remplaçant un sommet par un côté, on est passé de α (angle initial, à gauche) à π + α  (à droite) pour la valeur contributive à la somme des angles de la figure. On a bien augmenté la somme des angles d’une valeur π en ajoutant un côté.

Pour ceux qui veulent aller plus loin : on remarquera que la démonstration d’Euclide « la somme des angles d’un triangle vaut 180° » n’est valable qu’en utilisant le 5° postulat « Par un point extérieur à une droite, on peut faire passer une et une seule parallèle à cette droite ». D’ailleurs, dans les géométries non-euclidiennes où ce 5° postulat n’existe pas, la somme des angles d’un triangle est inférieure à π (géométrie hyperbolique) ou supérieure (géométrie sphérique) (mon ouvrage chapitre 8, Vivons-nous dans une géométrie euclidienne ?). Ci-dessus aussi intervient le 5° postulat, de manière évidente dans la seconde démonstration, je crois aussi dans la première démonstration. Votre avis sur ce dernier point ?