Overblog Suivre ce blog
Editer l'article Administration Créer mon blog

Pourquoi ce blog ?

CouvPocheIndispensables
J'ai créé ce blog lors de la sortie de mon livre "Les Indispensables mathématiques et physiques pour tous", Odile Jacob, avril 2006 ; livre republié en poche en octobre 2011 (achat en ligne) (sommaire du livre).
Je développe dans ce blog des notions de mathématiques et de physique à destination du plus large public possible, en essayant de susciter questions et discussion: n'hésitez pas à laisser vos commentaires!

Rechercher

Indispensables astronomiques

Nouveauté octobre 2013, mon livre "Les Indispensables astronomiques et astrophysiques pour tous" est sorti en poche, 9,5€ (éditions Odile Jacob, éidtion originale 2009). Comme mon premier livre (Les Indispensables mathématiques et physiques), c'est un livre de notions de base illustrées avec des exemples concrets, s'appuyant sur les mathématiques (géométrie notamment) pour l'astronomie, et sur la physique pour l'astrophysique. Je recommande vivement sa lecture.

Communauté de blogs

24 avril 2010 6 24 /04 /avril /2010 14:17

La somme des angles d’un triangle, c’est bien connu, vaut… l’angle plat (regardez la démonstration d’Euclide sur Wikipedia). Mais, c’est moins connu, la somme des angles d’un quadrilatère convexe (par exemple un carré) vaut… deux angles plats (360°). La somme des angles d’un pentagone (5 côtés) vaut… trois angles plats (540°). La somme des angles d’un hexagone vaut… quatre plats (720°). La somme des angles d’un polygone convexe à n côtés vaut (n – 2) angles plats. Je vous propose deux démonstrations graphiques de cela.

 

La première, c’est de remarquer qu’un carré, c’est deux triangles accolés, donc deux plats pour la somme des angles ; un pentagone c’est un triangle accolé à un quadrilatère, donc trois plats (cf. figure ci-après) ; un hexagone, c’est deux quadrilatères accolés ou un pentagone accolé à un triangle, etc.

Pentagone.PNG

La seconde ressemble à celle du triangle telle que mentionnée ci-dessus. Elle consiste à « remplacer un sommet par un côté » dans un polygone convexe à n côtés: il devient un polygone convexe à (n+1) côtés. Regardons ce qui se passe. À gauche, en violet, l’angle α du sommet d’un polygone convexe. Au milieu, on trace un trait qui va servir de support au nouveau côté – il forme un angle β (peu importe la valeur de cet angle, elle va disparaître). À droite, on décale légèrement un des côtés de l’angle initial (en conservant le parallélisme), c’est ce que j’appelle « le remplacement d’un sommet par un côté ». Les angles marqués en noir sont conservés. On en déduit facilement les angles marqués en violet, et on remarque que la somme des deux angles violets vaut  π + α (β disparaît). Ainsi, en remplaçant un sommet par un côté, on est passé de α (angle initial, à gauche) à π + α  (à droite) pour la valeur contributive à la somme des angles de la figure. On a bien augmenté la somme des angles d’une valeur π en ajoutant un côté.

 Somme-des-angles.PNG

 

Pour ceux qui veulent aller plus loin : on remarquera que la démonstration d’Euclide « la somme des angles d’un triangle vaut 180° » n’est valable qu’en utilisant le 5° postulat « Par un point extérieur à une droite, on peut faire passer une et une seule parallèle à cette droite ». D’ailleurs, dans les géométries non-euclidiennes où ce 5° postulat n’existe pas, la somme des angles d’un triangle est inférieure à π (géométrie hyperbolique) ou supérieure (géométrie sphérique) (mon ouvrage chapitre 8, Vivons-nous dans une géométrie euclidienne ?). Ci-dessus aussi intervient le 5° postulat, de manière évidente dans la seconde démonstration, je crois aussi dans la première démonstration. Votre avis sur ce dernier point ?

Partager cet article

Repost 0

commentaires

alvine bosobe 20/11/2016 07:53

quelles est la nature du triangle

Tom Roud 02/05/2010 17:24



Le problème en géométrie non-euclidienne est, il me semble, que la somme des angles d'un triangle est non seulement différent de Pi, mais n'est pas contraint (voir par exemple http://www.palais-decouverte.fr/index.php?id=842 ; ou encore intuitivement, sur une sphère, localement,  c'est plan donc la somme
est 180 degrés , mais dès que le triangle grandit, la somme des angles grandit aussi). Du coup, une démonstration type I reste valable dans le sens où, si le côté interne est une géodésique, la
somme des angles du pentagone est bien celle du triangle+celle du quadrilatère, mais on n'apprend pas grand chose. En ce sens, la géométrie euclidienne intervient pour contraindre la valeur de
cette somme d'angle dans le plan, mais pas dans la démonstration elle-même.



Alexandre Moatti 04/05/2010 11:55



Intéressant. Vous nous donnez matière à réflexion. En ce qui me concerne, j'avais plus simplement pensé que la démonstration type I fait intervenir le 5°
postulat lorsqu'on parle "d'accoler des figures". A.M.



MEHEUT Guy 25/04/2010 21:59



Bonjour


J'ai seulement une suggestion pour une démonstration qui me parait plus élémentaire.


Soient A1, A2, ... An les sommets de ce polygone.


Choisissons un point O à l'intérieur de ce polygone. En le joignant aux n sommets on construit n triangles dont la somme des angles vaut nx180°.


En retranchant la somme des angles de sommet O, grâce à l'hypothèse de convexité, on arrive directement à (n-2)x180° pour la somme des angles
du polygone.


 



Alexandre Moatti 27/04/2010 00:11



Oui, vous avez raison - mais cette démonstration m'amusait : "remplacer un sommet par un côté". A.M.



Articles Récents

Alterscience (janvier 2013)

Mon livre Alterscience. Postures, dogmes, idéologies (janvier 2013) détails.


CouvertureDéf


Récréations mathéphysiques

RécréationsMathéphysiques

Mon dernier ouvrage est sorti le 14 octobre 2010 : Récréations mathéphysiques (éditions Le Pommier) (détails sur ce blog)

Einstein, un siècle contre lui

J'ai aussi un thème de recherche, l'alterscience, faisant l'objet d'un cours que j'ai professé à l'EHESS en 2008-2009 et 2009-2010. Il était en partie fondé sur mon second livre, "Einstein, un siècle contre lui", Odile Jacob, octobre 2007, livre d'histoire des sciences (voir billet sur ce blog, et notamment ses savoureux commentaires).

Einstein, un siècle contre lui