Non, ce n’est pas un billet pour un régime minceur, mais un thème savoureux issu des « Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres » (Bachet de Méziriac, 1612). D’ailleurs, sans que je le susse, un de mes précédents billets (le tour des 21 cartes) était dans ce recueil. Un cador, ce Bachet (1581-1638), injustement éclipsé par Bezout né cent ans après sa mort.

Etant donnée telle quantité que l’on voudra pesant un nombre de livres depuis 1 jusques à 40 inclusivement (sans toutefois admettre les fractions), on demande combien de poids pour le moins il faudrait employer à cet effet.

Ou : Trouver une série de poids avec lesquels on puisse faire toutes les pesées en nombre entier depuis 1 jusqu ‘à la somme des poids employés, cette somme étant la plus grande possible relativement au nombre de poids.

De proche en proche on peut ainsi démontrer que les quatre premiers poids sont 1, 3, 9, 27 : ce sont ces quatre poids qui permettent d’aller jusqu’à 40 (égal à 27 + 9 + 3 + 1) et de résoudre le problème posé par Bachet. Sachant qu’on peut peser par différence entre les plateaux, par exemple 19 se pèse avec 27 et 1 d’un côté, 9 de l’autre.

La solution générale est, on l’a compris, les poids de type 3ⁿ ; les n premiers permettent de peser jusqu’à S = 1 +…+ 3ⁿ ; le poids suivant dont on a besoin pour peser est 2S+1, on obtient alors tous les poids entre (S+1) et (2S+1) par différence de pesée sur les plateaux.

Or, S = ½ (3ⁿ⁺¹ – 1) (multipliez par 3 : 3S = S +3ⁿ⁺¹ – 1) : et donc le poids suivant (2S+1) c’est bien 3ⁿ⁺¹; S étant la  dernière pesée possible avec les n premiers poids, on a besoin du poids suivant pour continuer ; ainsi la pesée suivant S, soit ½ (3ⁿ⁺¹ +1) s’obtient en mettant 3ⁿ⁺¹ d’un côté, tous les autres poids de l’autre [on pèse 3ⁿ⁺¹ – S  = ½ (3ⁿ⁺¹ +1) ]

Un délicieux problème dont je ne vous donne ici que la saveur, vous le lirez bien mieux décrit dans le livre du sieur Bachet que vous trouverez sur Internet (Edition Gauthier-Villars 1884, bibliothèque CNAM, page 154), mais dont j’aimerais bien avoir l’édition originale de 1612 entre les mains !