d'autres quasi-indispensables mathematiques - Les indispensables mathématiques et physiques

4 janvier 2007 4 04 /01 /janvier /2007 18:24

Maths et magie?

En décembre lors de ma conférence à la bibliothèque de Troyes, à la fin un auditeur m’a posé une question à laquelle je ne m’attendais pas : « les maths interviennent-elles dans les tours de magie par exemple les tours de cartes ? »

Se souvenir d’être prêt à des questions sans rapport avec son exposé : là je séchais, pour moi la magie et les cartes c’est plus de l’adresse que de la science. Et puis, tout d’un coup, un souvenir d’enfance m’est revenu, et cette réponse je suis allé la chercher assez loin, elle a fusé, c’est le jeu des 21 cartes, un tour de cartes que mon grand-père Achille me faisait quand j’avais cinq ans. Peut-être l’origine de mon intérêt pour les maths.

Vous prenez 21 cartes, demandez à votre interlocuteur d’en choisir une. Etape 1 : Vous distribuez les cartes, face visible, les unes après les autres sur trois tas A,B,C,A,B,C,… Vous demandez à votre interlocuteur dans quel paquet se trouve sa carte. Vous rassemblez les trois paquets, en mettant au milieu des deux autres le paquet indiqué par votre interlocuteur. Etape 2 : refaire l’étape 1. Etape 3 : refaire l’étape 1. A l’issue de l’étape 3, vous pouvez deviner la carte de votre interlocuteur qui sera toujours la ONZIEME.

Vous pouvez agrémenter cela en mettant toutes les cartes faces cachées étalées en vrac devant votre interlocuteur (en repérant dans votre tête la onzième), puis faire de la magie comme toquer sur les cartes pour écouter leur bruit – ce que mon grand-père me faisait – avant de retourner la onzième…mais cela restera toujours des maths (très simples).

Sans doute pas un indispensable mathématique, sans doute pas un quasi-indispensable, disons une récréation (comme celle avec laquelle j’ai ouvert le blog) pour commencer l’année, avec mes meilleurs vœux pour tous mes lecteurs, vous êtes quand même dans les 100 à 120 à venir chaque jour et voir 300 à 400 pages, le pari n’était pas gagné d’avance, je vous en remercie!

Alexandre Moatti

Surprise : j’a mis la solution du tour des 21 cartes en commentaire n°1, pour 1) ceux qui voudraient la connaître 2) ceux qui voudraient y réfléchir sans l’afficher.

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26 novembre 2006 7 26 /11 /novembre /2006 21:55

Pari du chevalier de Méré

Extrait du Journal électronique d’Histoire des probabilités et de la statistique (novembre 2006), dans un article du mathématicien Georg Cantor écrit en 1873, on retrouve le problème dit du " pari du chevalier de Méré " qui s’opposait à tort à Fermat et à Pascal sur un sujet de probabilité contre-intuitif (voir autres exemples dans le chapitre 10 de mon livre, " Incertaines probabilités ") :

Pari 1 : Si l’on jette 4 fois un dé à six faces, il y a plus de chances qu’on obtienne un 6 plutôt qu’on n’en obtienne pas.

Pari 2 : Si l’on jette 24 fois deux dés à six faces, Méré pensait qu’il y avait aussi plus de chances qu’on obtienne un double six plutôt qu’on n’en obtienne pas.

Méré pensait que le rapport 4/6 (4 lancers, 6 possibilités) du pari 1, supérieur à ½, déterminait une probabilité supérieure à ½, et donc la probabilité plus forte d’obtenir un 6 (ou n’importe quel autre nombre) que ne pas en obtenir ; il en déduisait, dans le pari 2, en faisant intervenir le même rapport 24/36 (24 lancers, 36 possibilités) = 4/6, que la probabilité était plus forte d’obtenir un double six que ne pas en obtenir. Méré arrivait dans le pari 1 à un résultat correct avec un raisonnement incorrect ; dans le pari 2, le résultat de Méré était erroné.

On a en effet :

Pour le pari 1, une probabilité P₁ = 1 – (5/6)⁴ = 0, 518 ; probabilité légèrement supérieure à ½ (on a plus de chances d’obtenir un 6 que ne pas en obtenir) Comme dans les dates d’anniversaires (chapitre 10), (5/6)⁴ mesure la probabilité de ne pas obtenir un nombre donné, par exemple le 6, pendant quatre fois de suite.

Pour le pari 2, une probabilité P₂ = 1 – (35/36)²⁴ = 0, 492 ; probabilité légèrement inférieure à ½ (on a moins de chances d’obtenir un double 6 que ne pas en obtenir)

(pour ceux qui souhaitent aller plus loin, ou plus en amont dans le temps, j'ai mis en commentaire le texte original de la lettre de 1654 de Pascal à Fermat mentionnant le pari faussé de Méré)

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22 novembre 2006 3 22 /11 /novembre /2006 14:54

Petit théorème de Fermat et cryptographie

Un de mes premiers posts concernait le petit théorème de Fermat (pas le grand) : "Pour tout nombre entier a , pour tout nombre premier p, a^p et a ont le même reste dans la division par p ".On notera a^p≡ a (mod. p), ce qui se lit a^pest congru à a modulo p.

Voyons comment le petit théorème de Fermat (1640) est utile à la cryptographie sur Internet (et est sans doute plus utile que le grand théorème de Fermat !).

Tout d’abord Euler le généralise en introduisant la fonction indicatrice d’Euler φ(n) égale au nombre d’entiers inférieurs à n et premiers avec n ; il démontre le théorème d’Euler, pour tout nombre a premier avec n :

a ^φ(n) ≡ 1 (mod. n)

On retrouve, pour n premier (on a alors φ(n) = n-1) , a premier avec n, le petit théorème de Fermat ci-dessus.

Un petit bout de cryptographie simple maintenant. Alice (A) et Bob (B) veulent communiquer de manière secrète, par exemple Alice veut envoyer à B (banque) un message M correspondant à son numéro de carte de paiement. Le système de cryptographie affecte à B les nombres suivants :

p un grand nombre premier, q un grand nombre premier, n = p × q
c un nombre premier avec φ(n) = φ(p) φ(q)= (p-1)× (q-1)
d l’inverse de c par rapport à φ(n), c'est-à-dire un nombre tel que le produit cd a comme reste 1 dans la division par φ(n) ; il est possible de trouver un tel nombre unique car c est premier avec φ(n).

Arrêtons-nous un instant sur ce dernier point pour donner un exemple avec des petits nombres : p = 7, q = 11, φ(pq) = 10 × 6 = 60, c = 7 par exemple, on trouve d tel que cd = 60k +1, soit d = 43, on vérifie 7 × 43 = 5 × 60 + 1.

Le couple de nombres (n, c) est connu de tous, c’est la clef de chiffrement publique de Bob; le couple (n,d) n’est connu que de lui, c’est la clef de chiffrement privée de Bob. Pourquoi d n’est-il connu que de Bob ? C’est là toute l’astuce du cryptage Internet (dit cryptage RSA). On ne connaît les nombres premiers que jusqu’à un certain rang : si l’on prend deux grands nombres premiers et qu’on les multiplie n = p × q, alors quelqu’un qui ne connaît que n (clef publique) ne peut pas reconstituer p et q à partir de n avec les moyens de calcul actuels ; donc il ne peut connaître φ(n), ni d même s’il connaît c. Seul Bob peut connaître d à partir des trois nombres (p,q,c).

En revanche on peut affecter à Bob un nombre d connu de lui seul ; partant de c premier avec φ(n) on trouve d par ordinateur, il s’agit d’un " problème d’ordre p ", tandis que trouver d sans connaître p et q est un " problème d’ordre n = pq " insoluble avec les ordinateurs actuels.

Terminons le chiffrement du message, Alice envoie à Bob le message ainsi chiffré à partir du message initial M :

M’ ≡ M^c (mod. n)

soit le reste de la division de M^c (M puissance c) par n

Bob fait le déchiffrement avec sa clef privée qu’il est seul à connaître (donc personne ne peut faire ce déchiffrement autre que Bob) comme suit, en élevant M’ qu’il reçoit à la puissance d et en faisant un calcul de reste de division par n :

M’^d ≡ M^cd(mod. n)

Or par construction c × d = r × φ(n) + 1, donc :

M’^d ≡ M^cd(mod. n)= M^rφ(n)×M(mod. n).

Or le théorème d’Euler ci-dessus donne M^rφ(n)≡ 1 (mod. n) (c’est vrai si M est premier avec n, mais on peut démontrer que c’est aussi vrai si M n’est pas premier avec n), donc :

M’^d ≡ M^cd(mod. n)= M^rφ(n)×M≡ M (mod. n)

Bob retrouve le message M initial.

En résumé, Alice élève M à la puissance c de la clef publique de Bob, puis Bob élève ce résultat à la puissance d de sa clef privée, et en faisant le reste de la division par n retombe sur le message M originel.

Et tout cela grâce à deux faits principaux :

1. du point de vue mathématique, le théorème d’Euler et le petit théorème de Fermat (1642)
2. du point de vue informatique (puissance des ordinateurs), l’impossibilité de décomposer n = pq en ses facteurs p et q quand ce sont de grands nombres premiers.

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6 novembre 2006 1 06 /11 /novembre /2006 21:06

Rapide aperçu sur les carrés magiques

Un carré magique est un carré où la somme de chaque colonne, de chaque ligne, de chacune des deux diagonales est la même. On se limitera aux carrés magiques dits parfaits, c'est-à-dire comprenant les n² premiers nombres consécutifs à partir de 1 (un carré peut-être magique avec des nombres qui ne sont pas forcément ceux-là, mais c’est tellement plus beau quand le carré est parfait !...)

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Ex. 1 : Carré magique d’ordre 4 (4 lignes et 4 colonnes)

Un carré magique d’ordre n (n lignes et n colonnes) contient les nombres de 1 à n² ; la somme de ces nombres vaut ½ n² × (n² + 1), donc la somme magique, celle qu’atteint chaque ligne ou chaque colonne ou chaque diagonale, est ce nombre divisé par n, soit :

½ n× (n² + 1)

On vérifie que pour n=4, la somme magique (cf. exemple 1) est égale à ½× 4 × 17 = 34.

Un carré magique d’ordre impair n a toujours le même chiffre en son centre, qui est la somme magique divisée par n, soit ½ (n² + 1) : je n’ai pas réussi, disons pas eu le temps :)- , de démontrer cela…si quelqu’un a une idée ?

1	15	24	8	17
23	7	16	5	14
20	4	13	22	6
12	21	10	19	3
9	18	2	11	25

Ex. 2 : Carré magique d’ordre 5 : au centre on trouvera toujours 13 = ½ (5²+1)

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6 octobre 2006 5 06 /10 /octobre /2006 20:25

Oeuvre d'art

1² = 1
11² = 121
111² = 12321
1111² = 1234321
11111² = 123454321
111111² = 12345654321
1111111² = 1234567654321
11111111² = 123456787654321
111111111² = 12345678987654321

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29 juillet 2006 6 29 /07 /juillet /2006 08:45

Densité des nombres premiers: théorème de Tchébycheff (1850)

Le sympathique livre « 250 problèmes de théorie élémentaire des nombres » du mathématicien Wladimir Sierpinski (1882-1970) est paru en 1970 à Varsovie, traduit par P. Mehr en 1972 aux Editions Hachette (préface de Denis Gerll qui fut mon professeur et d'André Warusfel).

En annexe, hors ces 250 problèmes, il nous livre la magnifique démonstration du théorème de Tchébycheff. Il est émis par J. Bertrand comme hypothèse en 1845, et démontré par Tchébycheff (mathématicien russe, 1821-1894) en 1850. Son énoncé est simple :

Pour tout n entier ≥ 2, il existe au moins un nombre premier strictement compris entre n et 2n.

Si son énoncé est simple, sa démonstration est loin de l’être, avec 14 lemmes et 6 corollaires, faisant intervenir la décomposition de n! en facteurs premiers, la racine cubique de 4 puissance n,...

Citons quelques résultats intermédiaires, ou théorèmes déduits :

1.    Si n ≥ 6, entre n et 2n se trouvent au moins deux nombres premiers distincts.
2.    Si n ≥ 4, entre n et 2(n-1) se trouve au moins un nombre premier.
3.    Dans la décomposition de n! en facteurs premiers se trouve au moins un nombre premier dont l’exposant est 1.
4.    n! ne peut être la puissance d’un entier avec un facteur supérieur à 1.
5.    Si pk est le kème nombre premier, pk+1 < 2 pk et pk+2 < pk+1 + pk

On voit donc la richesse de ce théorème d’énoncé simple et intuitif, mais qui a sans doute donné du fil à retordre à des générations de mathématiciens !

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18 juillet 2006 2 18 /07 /juillet /2006 07:25

Les valeurs intermédiaires

Exhumons deux théorèmes très simples et méconnus de l’algèbre et imaginons leurs applications : le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) et le théorème de Rolle (TR), du nom du mathématicien français Michel Rolle (1652-1719). Tous deux s’appliquent à une fonction continue sur les nombres réels, nous en donnons une version simplifiée.

Le TVI nous dit qu’une fonction f continue sur le segment [a,b], avec sur l’axe des ordonnées c = f(a) et d = f(b), prend sur [a,b] toutes les valeurs intermédiaires comprises entre c et d : pout tout nombre réel y tels que c < y < d, alors il existe x tel que a < x < b et y = f(x).

Le TR est plus simple encore, il nous dit que si f(a) = f(b) = c, alors il existe un point x compris entre a et b tel que la fonction f possède un extremum (minimum ou maximum) sur [a,b] en ce point x ; sur la figure on a représenté un maximum.

Ces deux théorèmes sont, je trouve, rafraîchissants par leur simplicité. Imaginons leurs applications.

Pour TVI, je reste dans le domaine scientifique en proposant l’application à la période T du pendule de Foucault (chapitre 11 de mon livre) : puisque T = ∞ à l’équateur et T = 1 jour au pôle Nord, alors T prend toute valeur intermédiaire entre 1 jour et ∞ quand on descend les latitudes du pôle vers l’équateur, ce qu’on vérifie puisque T = 1 jour / sin β, où β est la latitude.

Pour TR, j’ai choisi de l’illustrer dans le domaine économique par la fameuse phrase « Trop d’impôt tue l’impôt ». f étant le taux d’imposition, si f = 0, aucun impôt n’est recueilli ; mais si f = 100% aussi, aucun impôt n’est recueilli, car si tout votre revenu passe en impôts, vous ne travaillez plus ! Il existe donc un taux d’imposition optimal entre 0 et 100%, maximisant l’impôt recueilli...

D'autres idées d'applications?

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2 juillet 2006 7 02 /07 /juillet /2006 07:57

Les nombres formés de 1 sont-ils premiers?

Les nombres formés uniquement de 1 sont-ils premiers ? (évidemment ceux qui sont formés avec un autre chiffre sont non premiers). En 1907, un certain Dudeney dans "The Canterbury puzzles" indique que 11 est premier, mais que les nombres formés de trois à dix-huit chiffres 1 sont non premiers. Il bute sur le nombre formé de dix-neuf chiffres 1, et pour cause puisqu’un de ses lecteurs, Hoppe, démontre que le nombre formé avec dix-neuf 1, soit le nombre

1 111 111 111 111 111 111

est premier…Celui formé de vingt-trois chiffres 1 est aussi premier.

On se convaincra facilement que pour qu’un nombre composé de n chiffres 1 soit premier, il faut que n lui-même soit premier. Dans les années 1970, on était allé jusqu’à n = 373 sans trouver d’autre nombre premier au-delà de n = 23. A réactualiser peut-être à notre époque, si vous avez des éléments.

(récréation issue du sympathique livre de l’Association pour le Développement de la Culture scientifique en Picardie, qui a pris contact avec moi suite à mon livre)

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28 mai 2006 7 28 /05 /mai /2006 14:56

Divisibilité par 7 ou 13

On connaît les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10 voire par 11. On parle plus rarement, notamment avec nos enfants, du critère de divisibilité par 7 ou 13, qui se trouve être commun aux deux nombres.

Je retrouve cela dans un petit bijou de livre comme on n’en fait plus, à ouvrir avec un coupe-papier, W. J. Reichmann, " La Fascination des nombres ", (Payot 1959), paru l’année de ma naissance, que j’ai acheté chez Gibert pendant mes études je pense, sans doute introuvable maintenant, comme sont introuvables les " Que sais-je? " de Jean Itard sur l’arithmétique ou sur les nombres premiers (bibliographie 3 de mon livre).

Soit un nombre N dont on veut tester la divisibilité, on le partage en tranches de trois chiffres à partir de la droite. On ajoute et on soustrait alternativement chacune de ces tranches jusqu’à ce qu’il ne reste plus qu’une tranche de trois chiffres. Si ce nombre de trois chiffres est divisible par 7 ou 13, alors le nombre initial l’est.On ramène ainsi l’examen de la divisibilité par 7 ou 13 de tous les nombres à celle des nombres de trois chiffres.

Exemple : 745 857 320.
On mène l’opération décrite : 745 – 857 + 320 = 208, nombre divisible par 13.
Donc le nombre initial l’est, on vérifie 745 857 320 = 13 * 57 373 640

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19 mai 2006 5 19 /05 /mai /2006 11:11

Deux images "pratiques" du théorème de Gödel

Dans un article du livre de poche " Université de Tous les Savoirs, Les Mathématiques " (Odile Jacob Poches), Jean-Yves Girard, par ailleurs coauteur dans la version française du livre Nagel/Newman " Le théorème de Gödel " (Seuil Poches 1989, bibliographie 11 de mon livre), nous donne deux images du théorème de Gödel :

" Il est bien simple ce théorème. Il dit que le Parlement ne peut se faire amnistier par une sous-commission, même pas par lui-même : il faut au moins qu’il s’adjoigne des membres extérieurs, n’est-ce pas le bon sens ? Ou encore, qu’on ne peut revisser ses lunettes en les gardant sur son nez "

J.Y.Girard a bien évidemment raison en théorie : en pratique hélas on a vu en France nos députés voter à plusieurs reprises des lois qualifiées " d’auto-amnistie ", non soumises à référendum par exemple!

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