Un pavé [un clin d'oeil au pavage de Penrose :)- ] de 800 pages pour ceux qui font de la vulgarisation en mathématiques ou en physique, c'est LE Penrose "A la découverte des lois de l'univers", qui vient d'être traduit en français. Pas à la portée de tous, mais un outil de base, ou quelques friandises à déguster de temps à autre, c'est selon.
Dans le chapitre 3, Penrose nous montre en termes simples comment l'on peut construire la suite des nombres dits "naturels" comme une abstraction mathématique totalement indépendante d'une quelconque réalité, simplement en utilisant la théorie des ensembles.
On commence par l'ensemble le plus simple (mais l'est-il réellement ?), l'"ensemble vide", qui ne contient aucun élément. On le note ainsi : Ø ou { }. Les accolades désignent un "ensemble" : l'ensemble ci-avant ne contient aucun élément entre les accolades, c'est un ensemble "vide", on lui attribue le nombre 0. Nous enfonçons peut-être des portes ouvertes, mais c'est de la définition précise que jaillit l'abstraction...
On définit ensuite l'ensemble suivant : {Ø} ou {{ }}. C'est un ensemble composé d'un élément, et cet élément est l'ensemble précédent. On lui attribue le chiffre 1. [*]
On définit ensuite l'ensemble suivant : {Ø, {Ø}} ou {{ }, {{ }}}. C'est un ensemble composé de deux éléments, l'esemble vide et l'ensemble précédent. On lui attribue le chiffre 2. [**]
On définit ensuite l'ensemble constitué par l'ensemble vide, l'ensemble défini dans le paragraphe [*], et l'ensemble défini dans le paragraphe [**]. On lui attribue le chiffre 3.
Et ainsi de suite, on a compris.
Ce qui permet à Roger Penrose de conclure : " Cette méthode a le mérite de nous montrer que des notions telles que les nombres naturels peuvent, littéralement, êtres construites à partir de rien, en utilisant simplement la notion abstraite d'ensemble ".
(dans cette phrase j'aime bien le "littéralement" : il se rapporte à "à partir de rien". Car c'est en effet à partir de l'ensemble vide - rien - que l'on construit là la suite des nombres naturels)
(voir commentaire ci-dessous sur la typographie)
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D’abord le codage des images en noir et blanc. Vous êtes-vous déjà demandés (à l’impression notamment, puisque toutes les imprimantes ne sont pas couleur), ce que signifiait la boîte de dialogue « Noir et blanc intégral » ou « Niveaux de gris » ? Les niveaux de gris (photo à gauche) correspondent à un codage des contrastes sur 256 niveaux, depuis le noir complet auquel on affecte le rang 0 jusqu’au blanc pur, auquel on affecte le rang 255 : ainsi le noir est codé 00000000, le blanc est codé 11111111 (c’est l’écriture de 255 en système binaire). De l’un à l’autre on a donc 256 niveaux de gris (soit 2 puissance 8), codés avec 8 chiffres qui sont soit 0 soit 1 : (xxxxxxxx). Le codage de ces 256 niveaux de gris se fait sur 8 bits, soit 1 octet. Le noir et blanc intégral (photo à droite) correspond à 2 niveaux, 0 (noir) ou 1 (blanc) : il est donc codé sur 1 bit, soit huit fois moins de place mémoire.
Ensuite le codage des images couleur. Ci-dessus on codait le gris sur 8 bits, cette fois-ci, on code sur 8 bits, c’est à dire de 0 à 255, chacune des trois couleurs « primaires » (en fait rouge, bleu et vert, non pas jaune : c’est comme cela en informatique, le jaune s’obtient par combinaison des trois autres). La boîte de dialogue ci-contre vous montre un R255, V0, B0, c’est à dire un rouge plein. Noir correspond toujours à 0 (R0, V0, B0) et blanc à 255 au cube (R255, V255, B255). Vous pouvez déplacer le curseur ou, mieux, inscrire les valeurs entre 0 et 255 dans les boîtes à droite : par exemple vous obtiendrez un beau jaune soleil à R255, V255, B0. On code donc sur 256 valeurs de 0 à 255 pour chacune des trois couleurs, soit une palette de 256*256*256, soit 16 777 216 couleurs, c’est ce qu’on appelle la visualisation 16 millions de couleurs, avec un codage sur 24 bits (8 bits pour chacune des trois couleurs primaires).
Comme pour le noir et blanc, il existe des modes dégradés où la palette de couleurs est restreinte : par exemple on code chaque couleur sur 6 niveaux (et non 256) de R0 à R5, etc., et l’on obtient 6*6*6 = 216 couleurs, qui sont codées avec un nombre de bits correspondant à la puissance de 2 immédiatement supérieure, soit 256 : c’est ce qu’on appelle la visualisation 256 couleurs. La boîte de dialogue ci-contre vous en donne un exemple.
Il suffit de 
Regardons la figure ci-contre, où le pentagone étoilé s’inscrit dans le pentagone convexe, avec diagonale du pentagone convexe = côté du pentagone étoilé. On va s’intéresser donc au rapport AC/AB, mais d’abord intéressons-nous aux trois angles en A. Nous en avons marqué deux en rouge, qui sont égaux par symétrie. Celui en bleu, au milieu, est, pour l’instant, différent. Par construction du pentagone étoilé, on retrouve le même angle rouge en E. Dans le triangle AFE (sommet en F), l’angle en F vaut donc 180° - 2rouges, donc l’angle vert en F vaut 2 rouges. Il en va de même de l’angle vert en G. On a donc 2verts + 1bleu = 180°, soit 4rouges + 1 bleu = 180° (triangle AGF). Or les angles en A forment 108°, donc 2rouges + 1bleu = 108° (pour s’en convaincre, reprenez la construction du pentagone : vous tordez la droite AB vers C d’un certain angle cinq fois de suite pour revenir en A, cet angle dont vos pliez la baguette de bois est ainsi donc de 360°/5 = 72°, et l’angle que vous formé à chaque sommet de vos baguettes à l'intérieur de la figure est 180 – 72 = 108°). On a donc rouge = bleu = 36°, les angles rouge et bleu sont égaux, on pouvait s’en douter, mais on préférait le démontrer.
(image S. Mehl)
est le premier nombre transcendant connu, égal à 0,110001... , est appelé
