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CouvPocheIndispensables
J'ai créé ce blog lors de la sortie de mon livre "Les Indispensables mathématiques et physiques pour tous", Odile Jacob, avril 2006 ; livre republié en poche en octobre 2011 (achat en ligne) (sommaire du livre).
Je développe dans ce blog des notions de mathématiques et de physique à destination du plus large public possible, en essayant de susciter questions et discussion: n'hésitez pas à laisser vos commentaires!

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Indispensables astronomiques

Nouveauté octobre 2013, mon livre "Les Indispensables astronomiques et astrophysiques pour tous" est sorti en poche, 9,5€ (éditions Odile Jacob, éidtion originale 2009). Comme mon premier livre (Les Indispensables mathématiques et physiques), c'est un livre de notions de base illustrées avec des exemples concrets, s'appuyant sur les mathématiques (géométrie notamment) pour l'astronomie, et sur la physique pour l'astrophysique. Je recommande vivement sa lecture.

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16 février 2009 1 16 /02 /février /2009 21:15
J'avais posé une (petite) énigme lors du précédent billet, quel est le chemin le plus court pour un cavalier pour aller de A vers B sachant qu'il doit emmener son cheval boire à la rivière en chemin (figure 1, en vignette) ? Réfléchissez-y avant de lire la suite.

Mes fidèles lecteurs se sont déchaînés, et ont donné la solution (projeter le symétrique de A ou de B, cf. figure ci-dessous), même plusieurs solutions, en commentaires du précédent billet. J'avais ma démonstration, elle est basée sur les deux mamelles du taupin, les coordonnées cartésiennes et le calcul différentiel. C'est lourd, inélégant (je préviens), mais à mon sens convaincant.
On prend pour origine du repère cartésien le point O (le milieu de AA'), par commodité.
La distance AB = AM + MB = [x² + a²]1/2 + [(L-x)² + b²]1/2 ; quand on dérive par rapport à x (choix du plus court chemin), on obtient l'annulation de la dérivée pour :

x  / [x² + a²]1/2= (L-x) / [(L-x)² + b²]1/2 ou plus simplement OM / AM = PM / BM, ce qui exprime que les triangles AOM et BPM sont semblables, donc l'égalité des angles AMO et PMB, avec deux conséquences :

1)
A'M (A' symétrique de A) est aligné à MB, donc la solution est bien celle où on construit le symétrique de A par rapport à la rivière (ou de B, ce qui est strictement équivalent)

2)
égalité des angles i (figure) faits avec la normale côté A et côté B : on retrouve la loi de la réflexion de Snell-Descartes - Ce n'est pas seulement le plus court chemin pour le cavalier, c'est le plus court chemin pour la lumière réfléchie... Encore de la physique qui se cache derrière une récréation mathématique !


Quand je vous disais (cf. le titre de mon premier billet) qu'il fallait un peu de réflexion....


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commentaires

Benjamin Bradu 19/02/2009 11:26

Feynman ne fait pas l'hypothèse que la lumiere utilise le chemin le plus court justement, il le démontre comme Tom le suggérait ("ce qui contribue de façon la plus importante aux équations sont les champs qui minimisent l'action"). Ce qui est génial c'est que Feynman le démontre juste avec des petites flèches qui tournent... Il calcule simplement la probabilité de chaque trajectoire possible. Dans ces termes, la lumiere parcourt TOUS les chemins possibles en meme temps mais la probabilité est simplement maximale pour le chemin le plus court.

Tom Roud @ Darwin 18/02/2009 15:32

Ah voilà : le terme que j'avais sur le bout de la langue hier, c'était "intégrale de chemin"  (http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9grale_de_chemin) (qui ressemble un peu à une fonction de partition, on voit que j'ai fait surtout de la physique statistique). Inventée par Feynmann justement; on voit que le "chemin" est dans le nom même de la théorie.Je ne connais pas la théorie de Liouville en QED, mais en général, Liouville est "invoqué" en physique pour toute transformation conservant le volume de l'espace des phases. J'imagine que les théories des cordes dites de Liouville imposent donc une contrainte supplémentaire de ce type...

Tom Roud @ Darwin 17/02/2009 18:01

Sur cette histoire de loi de la réflexion :tout ça vient d'une interprétation rétrospective des lois de la physique. On a constaté que la lumière se propageait de façon effective en "minimisant" ce qu'on appelle le chemin optique.L'invocation de Feynmann est intéressante, car en théorie quantique des champs, l'objet de  base est l'équivalent quantique d'une fonction de partition Z qui est l'intégrale de l'exponentielle d'une action (à un facteur i prêt, i.e. Z= int e^(i A(phi_) dphi où A est l'action et phi les champs quantiques. Da façon concrète, on montre (méthode du col, etc..) que ce qui contribue de façon la plus importante aux équations sont les champs qui minimisent l'action, (dA/dphi=0) i.e. les champs qui "vont en ligne droite" pour reprendre l'analogie de l'article. On a donc un pont intéressant entre théorie quantique des champs et un simple problème de minimisation de chemins, et je suppose que c'est dans ce contexte que Feymann l'utilisait.

Alexandre Moatti 18/02/2009 08:43



Alors là Tom vous m'épatez ! Je ne pensais pas que mon problème simple irait jusque là, fonction de partition, champ quantique ! J'aurais bien mis un peu de
"principe de moindre action" (ce que vous faites d'ailleurs) pour expliquer le trajet de la lumière réfléchie, mais pas tout çà, que je ne connais pas d'ailleurs. Sur les champs quantiques (encre
une fois je n'y connais rien), ce qui m'a toujours bluffé c'est l'expression "théorie du champ quantique de Liouville" : je me demande encore comment ce cher Liouville (1809-1882), de la naissance duquel nous fêtons cette année le bicentenaire, pouvait être mélé à la
physique quantique ! (il doit y avoir une raison, sans doute jolie)...
Ah oui, autre chose, à propos de Feynman, je pense qu'il pouvait aussi faire de la vulgarisation sur des objets physiques simples, pas forcément "en ayant en
tête" des objets plus compliqués. Il les avait certes en tête, mais ce n'est pas pour cela qu'il faisait cete vulgarisation-là. Une vulgarisation désintéressée, pourrais-je dire. A discuter.
Merci de votre contribution, Tom. A.M.



Serma 17/02/2009 16:49

Excusez-moi, je n'ai pas été clair !Je voulais simplement vous signaler une petite erreur de typo sur votre premier billet : vous avez écrit rajoût pour rajout ce qui m'a fait penser à un ragoût. Je vous suggère d'enlever l'accent circonflexe surnuméraire ainsi que mon PS oiseux.

Alexandre Moatti 17/02/2009 21:24



Oui, vous avez raison, et même plus : c'est AJOUT et non RAJOÛT qu'il faut écrire. J'ai vérifié, je corrige de ce pas, merci. Avez-vous remarqué que les fautes
de français ont toujours tendance à compliquer la langue ? A.M.



Serma 17/02/2009 08:15




Le raisonnement sans calculs de Ludovic est quand même plus simple : M est forcément sur la droite A'B sinon le chemin le plus court entre A' et B ne serait pas la droite.
PS : Accent circonflexe : Vos lecteurs apprécient l'excellent goût de vos Indispensables, inutile d'en rajouter.

Alexandre Moatti 17/02/2009 09:13



Quels accents circonflexes ? Non capisco. A.M.



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