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CouvPocheIndispensables
J'ai créé ce blog lors de la sortie de mon livre "Les Indispensables mathématiques et physiques pour tous", Odile Jacob, avril 2006 ; livre republié en poche en octobre 2011 (achat en ligne) (sommaire du livre).
Je développe dans ce blog des notions de mathématiques et de physique à destination du plus large public possible, en essayant de susciter questions et discussion: n'hésitez pas à laisser vos commentaires!

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Indispensables astronomiques

Nouveauté octobre 2013, mon livre "Les Indispensables astronomiques et astrophysiques pour tous" est sorti en poche, 9,5€ (éditions Odile Jacob, éidtion originale 2009). Comme mon premier livre (Les Indispensables mathématiques et physiques), c'est un livre de notions de base illustrées avec des exemples concrets, s'appuyant sur les mathématiques (géométrie notamment) pour l'astronomie, et sur la physique pour l'astrophysique. Je recommande vivement sa lecture.

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25 février 2009 3 25 /02 /février /2009 17:12

Ce premier billet de chemin le plus court posté le vendredi précédent les vacances scolaires parisiennes a déchaîné les discussions, j’en suis heureux, et a conduit aux deux solutions, l’une cartésienne et lourde proposée par moi, l’autre euclidienne et légère proposée par les fidèles lecteurs. Je termine (provisoirement ?) ce cycle de « chemins le plus court » avec celui du maître-nageur, que nous a rappelé Benjamin en commentaire, et que j’avais en tête en entamant ce cycle.



Soit un maître-nageur devant aller sauver une personne en mer ; il court à la vitesse V sur le sable de la plage, il nage à une vitesse v (v < V) dans la mer. Quel chemin doit-il emprunter pour secourir au plus vite la personne ?

Ce chemin n’est pas la ligne droite AB (il court trop peu longtemps et nage trop longtemps), ce n’est pas non plus la ligne ACB où on maximise la distance sur le sable (dans ce cas, la distance totale est trop grande). Ce chemin est entre les deux, c'est le chemin AMB donné par l’angle i tel que sin i = V/v  sin r (de C à la ligne droite, le rapport sin r / sin i varie de 0 à 1, donc on est assuré qu'il prend la valeur v/V, inférieure à 1).


 

On le démontre facilement avec la démonstration cartésienne lourde; le temps total s'écrit, en reprenant les notations du billet précédent :

T = AM / V + MB / v =  (x² + a²)1/2/ V + [(L-x)² + b²]1/2/ v, en dérivant par rapport à x, le minimum est atteint pour :

x / (V×AM) = (L-x) / (v×MB), ou en d’autres termes OM/ (V × AM) = MC / (v × MB) ; on retrouve une égalité de triangles semblables, à la vitesse près de part et d’autre.

Or sin i = OM / AM, et sin r =  MC / MB, on retrouve sin i  / V = sin r  / v, c'est le principe de Fermat- Descartes de la réfraction, n1 sin i1 = n2 sin i2 (dans notre cas l'inverse des vitesses dans chaque milieu est l'équivalent de l'indice de réfraction, ce qui est cohérent avec vlumière = c / n dans un milieu d'indice n).


Je ne sais pas si on peut arriver à une démonstration géométrique (euclidienne) de cela. Qu'en pensez-vous ?

 

 

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commentaires

David Chappé 27/08/2014 22:22


On trouve en ligne une démonstration géométrique assez claire, ici.

Alexandre Moatti 27/08/2014 23:55



Oui, c'est bien qu'ils aient fait la démonstration cartésienne (j'entends par les cooordonnées algébriques). A.M.



andre 04/07/2010 12:49



la solution de pouvoir peser de 1 à 40 Kg avec seulement 4 poids en fait est sous estimée: il y aune solution et une stratégie où avec 4 poid son peut peser beaucoup plus que de 1 à 40 Kg (en
fait on peut aller de 1 à .... à suivre)



michel de Clercq 25/03/2009 23:29

le point recherché est le point de tangence de la droite considérée avec l'ellipse dont les foyers sont les deux points à relier. 

Lenormand 25/03/2009 20:28

Si le cavalier va à la rivière à la vitesse V, il charge sa mule de flotte, et n’avance plus qu’à la vitesse v pour rejoindre le point B ; soit donc r le rapport V/v.La solution géométrique donnée pour déterminer le point où notre cavalier doit joindre la rivière se modifie ainsi : soit H le point où la droite AA’ perpendiculaire à la rivière coupe celle-ci : on doit alors avoir HA’=r*r*AH.

Francois 28/02/2009 12:36

Je préfère ne pas mettre en ligne l'article de l'AMM (copyright), mais je peux aisément reproduire ici l'essentiel de l'argument, à l'aide de la figure de Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/File:Huygens_Refracted_Waves.png

Sur la figure, on suppose que le trajet DAN vérifie la loi de Snell-Descartes, c'est-à-dire qu'on a sin(DAE)/sin(NAF) = v_haut/v_bas, et on va montrer que le trajet alternatif DKN est plus lent. 

Dans le triangle rectangle AHK on peut écrire HK = AK sin(HAK) = AK sin(DAE), tandis que dans le triangle rectangle AOK on a AO = AK sin(OKA) = AK sin(NAF), d'où l'égalite entre rapports HK/AO = sin(DAE)/sin(NAF) = v_haut/v_bas (rapport des vitesses entre les deux milieux), on encore HK/v_haut = AO/v_bas. 

Si on appelle {XY} le durée du parcours du segment {XY}, on a donc montré que {HK} = {AO}. On peut aussi facilement montrer que {DK} >= {DA} + {HK} : il suffit de scinder le trajet {DK} au niveau de son intersection I avec AH, non représentée sur le schéma, pour avoir {DK} = {DI} + {IK} >= {DA} + {HK}. Enfin, il est clair que {KN} >= {ON}. 

En combinant le tout, on a {DK} + {KN} >= {DA} + {HK} + {ON} = {DA} + {AO} + {ON} = {DA} + {AN}, CQFD (l'égalité ne pouvant survenir que si K est confondu avec A). Huygens explique ceci dans son "Traité de la Lumière" à la fin du 17e siècle (!).

Alexandre Moatti 02/03/2009 09:09



Merci beaucoup François, cette démonstration est très belle quand on prend le temps de s'y plonger, ce que j'ai fait hier. Je me propose de reprendre la solution
dans un billet pour les lecteurs Réfaction-2. Ces sujets réflexio-réfraction sont passionnants, ils mêlent tout ce qui m'intéresse : mathématiques (solution par le calcul différentiel, solution
par la géométrie) + physique (réflexion, réfraction) + histoire des sciences (Huygens, Fermat,...). A.M.



Francois 28/02/2009 10:34

Il existe bien une preuve géométrique plus simple, ne faisant pas appel au théorème de Ptolémée, due à C. Huyghens, que l'on peut trouver dans l'article "Elementary Proofs for the Equivalence of Fermat's Principle and Snell's Law", Michael Golomb, The American Mathematical Monthly, Vol. 71, No. 5 (May, 1964), pp. 541-543 (en fait, cet article est celui qui précède, dans la même revue, celui cité dans le premier commentaire !). On peut aussi trouver le diagramme d'Huyghens dans l'article Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Snell's_law, mais malheureusement pas la preuve en elle même.

Alexandre Moatti 28/02/2009 11:06



Merci beaucoup. Visiblement vous avez cette revue American Mathematical Monthly sous les yeux, bravo ! Ce serait bien si vous pouviez mettre cet article en
ligne. Je remets en clickable le lien WP anglais que vous nous proposez (Snell's law). A.M.



Serma 25/02/2009 22:09

Bonsoir,
J'ai apprécié la chute de votre billet N°3 "Le chemin le plus court - un peu de réflexion" : toute cette connaissance serait-elle inutile ?
Pour trouver sur le web la démonstration géométrique de la loi de Descartes j'ai googlé geometric proof snell law puisque c'est ainsi que les Anglo-saxons nomment la loi de Descartes trouvée par Fermat.
J'ai trouvé 2 liens intéressants :
La preuve recherchée : http://poncelet.math.nthu.edu.tw/disk5/js/pedoe/7.pdf
La page "Snell on the Beach" http://www.pims.math.ca/~hoek/teageo/SnellGeo/ qui donnent des pistes. Les pages de la revue dont parle la fin de la page sont là :  http://www.pims.math.ca/pi/issue7/page20-22.pdf

Alexandre Moatti 26/02/2009 13:41



Merci de votre appréciation et de vos URLs. J'ai regardé rapidement les trois URLs, la première paraît donner une preuve géométrique complète, mais finalement
peu simple : appliquer le théorème de Ptolémée régissant quatre points concentriques n'est pas une solution géométrique "légère". Contrairement au problème de la réflexion, celui de la réfraction
semble se résoudre plus facilement par le calcul différentiel que par la preuve géométrique... Il serait intéressant de relire la méthode originelle de Fermat, puisque lui n'avait pas le calcul
différentiel à sa disposition... quoique... sur le site BibNum vous trouverez les balbutiements du calcul de minima et de maxima par Fermat. Peut-être a-t-il utilisé cette méthode pour le
principe de la réfraction ? A.M.



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