Les indispensables mathématiques et physiques

6 décembre 2006 3 06 /12 /décembre /2006 22:25

APMEP

Une intéressante critique de mon livre sur le site de l'Association des professeurs de mathématiques de l'enseignement public (29 novembre 2006)

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26 novembre 2006 7 26 /11 /novembre /2006 21:55

Extrait du Journal électronique d’Histoire des probabilités et de la statistique (novembre 2006), dans un article du mathématicien Georg Cantor écrit en 1873, on retrouve le problème dit du " pari du chevalier de Méré " qui s’opposait à tort à Fermat et à Pascal sur un sujet de probabilité contre-intuitif (voir autres exemples dans le chapitre 10 de mon livre, " Incertaines probabilités ") :

Pari 1 : Si l’on jette 4 fois un dé à six faces, il y a plus de chances qu’on obtienne un 6 plutôt qu’on n’en obtienne pas.

Pari 2 : Si l’on jette 24 fois deux dés à six faces, Méré pensait qu’il y avait aussi plus de chances qu’on obtienne un double six plutôt qu’on n’en obtienne pas.

Méré pensait que le rapport 4/6 (4 lancers, 6 possibilités) du pari 1, supérieur à ½, déterminait une probabilité supérieure à ½, et donc la probabilité plus forte d’obtenir un 6 (ou n’importe quel autre nombre) que ne pas en obtenir ; il en déduisait, dans le pari 2, en faisant intervenir le même rapport 24/36 (24 lancers, 36 possibilités) = 4/6, que la probabilité était plus forte d’obtenir un double six que ne pas en obtenir. Méré arrivait dans le pari 1 à un résultat correct avec un raisonnement incorrect ; dans le pari 2, le résultat de Méré était erroné.

On a en effet :

Pour le pari 1, une probabilité P₁ = 1 – (5/6)⁴ = 0, 518 ; probabilité légèrement supérieure à ½ (on a plus de chances d’obtenir un 6 que ne pas en obtenir) Comme dans les dates d’anniversaires (chapitre 10), (5/6)⁴ mesure la probabilité de ne pas obtenir un nombre donné, par exemple le 6, pendant quatre fois de suite.

Pour le pari 2, une probabilité P₂ = 1 – (35/36)²⁴ = 0, 492 ; probabilité légèrement inférieure à ½ (on a moins de chances d’obtenir un double 6 que ne pas en obtenir)

(pour ceux qui souhaitent aller plus loin, ou plus en amont dans le temps, j'ai mis en commentaire le texte original de la lettre de 1654 de Pascal à Fermat mentionnant le pari faussé de Méré)

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22 novembre 2006 3 22 /11 /novembre /2006 14:54

Petit théorème de Fermat et cryptographie

Un de mes premiers posts concernait le petit théorème de Fermat (pas le grand) : "Pour tout nombre entier a , pour tout nombre premier p, a^p et a ont le même reste dans la division par p ".On notera a^p≡ a (mod. p), ce qui se lit a^pest congru à a modulo p.

Voyons comment le petit théorème de Fermat (1640) est utile à la cryptographie sur Internet (et est sans doute plus utile que le grand théorème de Fermat !).

Tout d’abord Euler le généralise en introduisant la fonction indicatrice d’Euler φ(n) égale au nombre d’entiers inférieurs à n et premiers avec n ; il démontre le théorème d’Euler, pour tout nombre a premier avec n :

a ^φ(n) ≡ 1 (mod. n)

On retrouve, pour n premier (on a alors φ(n) = n-1) , a premier avec n, le petit théorème de Fermat ci-dessus.

Un petit bout de cryptographie simple maintenant. Alice (A) et Bob (B) veulent communiquer de manière secrète, par exemple Alice veut envoyer à B (banque) un message M correspondant à son numéro de carte de paiement. Le système de cryptographie affecte à B les nombres suivants :

p un grand nombre premier, q un grand nombre premier, n = p × q
c un nombre premier avec φ(n) = φ(p) φ(q)= (p-1)× (q-1)
d l’inverse de c par rapport à φ(n), c'est-à-dire un nombre tel que le produit cd a comme reste 1 dans la division par φ(n) ; il est possible de trouver un tel nombre unique car c est premier avec φ(n).

Arrêtons-nous un instant sur ce dernier point pour donner un exemple avec des petits nombres : p = 7, q = 11, φ(pq) = 10 × 6 = 60, c = 7 par exemple, on trouve d tel que cd = 60k +1, soit d = 43, on vérifie 7 × 43 = 5 × 60 + 1.

Le couple de nombres (n, c) est connu de tous, c’est la clef de chiffrement publique de Bob; le couple (n,d) n’est connu que de lui, c’est la clef de chiffrement privée de Bob. Pourquoi d n’est-il connu que de Bob ? C’est là toute l’astuce du cryptage Internet (dit cryptage RSA). On ne connaît les nombres premiers que jusqu’à un certain rang : si l’on prend deux grands nombres premiers et qu’on les multiplie n = p × q, alors quelqu’un qui ne connaît que n (clef publique) ne peut pas reconstituer p et q à partir de n avec les moyens de calcul actuels ; donc il ne peut connaître φ(n), ni d même s’il connaît c. Seul Bob peut connaître d à partir des trois nombres (p,q,c).

En revanche on peut affecter à Bob un nombre d connu de lui seul ; partant de c premier avec φ(n) on trouve d par ordinateur, il s’agit d’un " problème d’ordre p ", tandis que trouver d sans connaître p et q est un " problème d’ordre n = pq " insoluble avec les ordinateurs actuels.

Terminons le chiffrement du message, Alice envoie à Bob le message ainsi chiffré à partir du message initial M :

M’ ≡ M^c (mod. n)

soit le reste de la division de M^c (M puissance c) par n

Bob fait le déchiffrement avec sa clef privée qu’il est seul à connaître (donc personne ne peut faire ce déchiffrement autre que Bob) comme suit, en élevant M’ qu’il reçoit à la puissance d et en faisant un calcul de reste de division par n :

M’^d ≡ M^cd(mod. n)

Or par construction c × d = r × φ(n) + 1, donc :

M’^d ≡ M^cd(mod. n)= M^rφ(n)×M(mod. n).

Or le théorème d’Euler ci-dessus donne M^rφ(n)≡ 1 (mod. n) (c’est vrai si M est premier avec n, mais on peut démontrer que c’est aussi vrai si M n’est pas premier avec n), donc :

M’^d ≡ M^cd(mod. n)= M^rφ(n)×M≡ M (mod. n)

Bob retrouve le message M initial.

En résumé, Alice élève M à la puissance c de la clef publique de Bob, puis Bob élève ce résultat à la puissance d de sa clef privée, et en faisant le reste de la division par n retombe sur le message M originel.

Et tout cela grâce à deux faits principaux :

1. du point de vue mathématique, le théorème d’Euler et le petit théorème de Fermat (1642)
2. du point de vue informatique (puissance des ordinateurs), l’impossibilité de décomposer n = pq en ses facteurs p et q quand ce sont de grands nombres premiers.

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6 novembre 2006 1 06 /11 /novembre /2006 21:06

Rapide aperçu sur les carrés magiques

Un carré magique est un carré où la somme de chaque colonne, de chaque ligne, de chacune des deux diagonales est la même. On se limitera aux carrés magiques dits parfaits, c'est-à-dire comprenant les n² premiers nombres consécutifs à partir de 1 (un carré peut-être magique avec des nombres qui ne sont pas forcément ceux-là, mais c’est tellement plus beau quand le carré est parfait !...)

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Ex. 1 : Carré magique d’ordre 4 (4 lignes et 4 colonnes)

Un carré magique d’ordre n (n lignes et n colonnes) contient les nombres de 1 à n² ; la somme de ces nombres vaut ½ n² × (n² + 1), donc la somme magique, celle qu’atteint chaque ligne ou chaque colonne ou chaque diagonale, est ce nombre divisé par n, soit :

½ n× (n² + 1)

On vérifie que pour n=4, la somme magique (cf. exemple 1) est égale à ½× 4 × 17 = 34.

Un carré magique d’ordre impair n a toujours le même chiffre en son centre, qui est la somme magique divisée par n, soit ½ (n² + 1) : je n’ai pas réussi, disons pas eu le temps :)- , de démontrer cela…si quelqu’un a une idée ?

1	15	24	8	17
23	7	16	5	14
20	4	13	22	6
12	21	10	19	3
9	18	2	11	25

Ex. 2 : Carré magique d’ordre 5 : au centre on trouvera toujours 13 = ½ (5²+1)

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23 octobre 2006 1 23 /10 /octobre /2006 22:16

Pourquoi la Terre perd le Nord? (ou la précession des équinoxes)

En 130 avant J-C., le premier astronome Hipparque remarque que le point de lever du soleil le jour de l’équinoxe (égalité de jour et de nuit, 21 mars et 21 septembre) se déplace chaque année d’environ 1 minute d’arc. C’est un phénomène tout à fait étonnant, qui nécessite de se remémorer deux concepts :

1) la ligne des pôles de la Terre n’est pas perpendiculaire au plan de rotation de la Terre autour du Soleil, mais forme un angle très prononcé, de 23,5°, avec ce plan. La Terre est penchée sur son écliptique, ce qui d’ailleurs donne les saisons : entre l’équinoxe de printemps (21 mars) et l’équinoxe d’automne (21 septembre), le Soleil est principalement dans l’hémisphère Nord, entre le 21 septembre et le 21 mars, il est principalement dans l’hémisphère Sud.

2) la Terre est renflée à l’équateur et aplatie aux pôles, car l’équateur est plus proche du Soleil, et subit plus la force d’attraction du Soleil.

Le phénomène de précession de la Terre observé par Hipparque est le fait suivant : non seulement on a 1) ci-dessus, mais en plus l’axe de rotation de la Terre autour d’elle-même, axe des pôles, ne reste pas fixe, mais tout en restant à 23,5° d’inclinaison décrit un cône d’angle 23,5° en faisant une révolution complète en 25 800 ans.

Ceci se traduit par deux phénomènes physiques :

a) le caractère variable du Nord polaire dans la voûte céleste ; actuellement c’est Polaris, dite étoile polaire, qui indique le Nord polaire ; il y a 13 000 ans et dans 13 000 ans c’est l’étoile Vega qui indique le Nord polaire.

b) la précession des équinoxes, c’est à dire le fait que chaque année le point d’équinoxe apparaît plus tôt, de l’ordre de 50 secondes d’arc par an ; si l’on a un peu plus de mal à se représenter cela, pensons comme l’axe des pôles N-S à un axe E-O dans le plan d’écliptique qui représente l’équinoxe, et qui comme l’axe N-S se déplace.

La précession des équinoxes est un effet gyroscopique (eh oui, encore Coriolis !), la meilleure explication qu’on puisse en donner est de comparer la Terre à une toupie :

Lorsqu’on fait tourner une toupie, au départ les forces centrifuges équilibrent le poids (ou force de gravitation), la toupie tourne suivant un axe vertical ; quand le mouvement faiblit, elle ne tombe pas directement, mais son axe de rotation se met à décrire un cône: c’est la précession de l’axe de rotation (cf. figure, qui pourrait très bien représenter aussi la précession de la Terre sur son cône d’angle 23,5°).

La précession de la Terre (ou " précession des équinoxes ") est semblable à cela, à quelques différences près. D’abord, point 2) ci-dessus, c’est bien parce que la Terre est assimilable à une toupie (renflée en son centre) qu’elle précesse. Par ailleurs, le mouvement est permanent dans la cas de la Terre, il ne faiblit pas, mais c’est le même phénomène : les forces de gravitation exercées par le Soleil sur le renflement équatorial ne s’équilibrent pas avec les forces centrifuges de rotation de la Terre autour d’elle-même ; ces forces cherchent à ramener la Terre sur un axe de rotation vertical (et non incliné). Et, comme la Terre est en rotation donc subissant des forces centrifuges, c’est l’effet gyroscopique qui s’applique, à la Terre comme à la toupie : la composante du couple de rotation dû à l’attraction solaire et du couple centrifuge donne une rotation dans la troisième direction (force de Coriolis égale au produit vectoriel des deux effets), et c’est l’axe polaire lui-même, comme celui de la toupie, qui se met à tourner en décrivant un cône.

Rappelez-vous, l’effet gyroscopique, c’est l’effet roue de vélo ; à l’exploratorium de San Francisco j'ai vu la plus belle expérience sur le sujet : vous prenez une roue de vélo en rotation forte entre les mains en la tenant par l’axe, vous essayez de tourner l’axe comme un volant, l’axe résiste, en revanche le fauteuil tournant sur lequel vous êtes assis tourne, dans la troisième dimension produit vectoriel des deux premiers couples.

Et voilà pourquoi la Terre perd le Nord!

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16 octobre 2006 1 16 /10 /octobre /2006 14:37

L'Art et le néon

La visite récente d’une exposition d’art (très) contemporain, Dan Flavin, m’a fait m’intéresser au « tube au néon ».

Appelons cela savamment les « tubes à décharge de gaz rares », et notons qu’il en existe principalement deux types, à usages d’ailleurs différents :

1. Le tube contenant effectivement du gaz néon, tube utilisé dans les enseignes lumineuses.

2. Le tube contenant du gaz argon et/ou des vapeurs de mercure, utilisé dans l’éclairage domestique (cuisines) ou industriel (ateliers, bureaux,…)

Les deux types de tubes utilisent le même procédé, à savoir une illumination du gaz par ionisation et décharge électrique provoquée toutes les 1/50°s. Cette fréquence est telle que l’œil perçoit une lumière continue, sauf justement quand le tube est usé, la fréquence diminue, et le « néon » fait mal aux yeux.

Les deux types de tubes utilisent aussi un gaz rare :

1. dans un cas le néon Ne₁₀ (découvert en 1898), dont la décharge donne une lumière rouge caractéristique, d’où son utilisation dans les enseignes lumineuses publicitaires.

2. dans l’autre cas l’argon Ar₁₈ (découvert à la même époque, mais en fait beaucoup plus courant dans l’air). L’argon, mélangé à des vapeurs de mercure, stimulé par une décharge, émet une lumière qui est à la fois dans le haut du spectre visible, bleue, et au-delà dans le spectre ultraviolet : cette énergie lumineuse non visible est restituée sous forme de lumière visible par une couche de matériaux fluorescents (silicates et aluminates) qui recouvre l’intérieur de la surface du tube. La fluorescence (chapitre 15 de mon livre) est la capacité de certains matériaux à convertir de la lumière ultraviolette en lumière visible.

En français il y a un certain abus de langage à appeler néon les deux types de tubes. Sans doute parce qu’après la brillante découverte des gaz rares (néon, argon, krypton) par les chimistes anglais, Sir W. Ramsay en tête, à la fin du XIX° siècle, c’est en 1910 qu’un ingénieur chimiste français, George Claude (1870-1960), met au point industriellement le premier tube au néon (au sens 1) et crée son entreprise d’enseignes lumineuses.

Enfin, last but not least, si l’on remonte légèrement plus dans le temps, c’est le même principe de tube à décharge (mais remplis d'air, pas de gaz rare avant 1895) qui a joué un rôle important dans le développement scientifique de la fin du XIX° siècle, puisque ce sont les fameux « tubes de Crookes » qui permettent de mettre en évidence les électrons, les rayons X…

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15 octobre 2006 7 15 /10 /octobre /2006 12:03

HAL "Hyper Article en ligne"

Le 11 octobre à l'Académie des Sciences a eu lieu une conférence de presse sur HAL " Hyper Article en ligne " – base d’archives ouvertes d’article scientifiques – à laquelle j’ai assisté, avec un certain nombre d’interventions intéressantes.

Gilles Bloch, directeur général de la recherche au Ministère de la Recherche a indiqué qu’il s’agissait d’un " modèle de diffusion scientifique bottom-up, permettant de rebattre les cartes face à la domination anglo-saxonne de l’édition scientifique ". La France est en avance en Europe avec la création de HAL.

Franck Laloë, initiateur du projet au CNRS, dans une belle image historique voit dans les archives ouvertes une " résurgence de la correspondance que les scientifiques s’adressaient entre eux " (on peut penser en effet aux lettres de Mersenne à Fermat, de Fresnel à son maître Arago). Il ne s’agit pas de " se substituer aux revues à comité de lecture ", mais au contraire d’apporter un complément :

- Etape 1 : le chercheur met son projet d’article sur HAL, recueille les commentaires de ses collègues.

- Etape 2 : une version améliorée est mise en ligne sur HAL en même temps qu’elle paraît, le cas échéant, dans une revue scientifique papier ou internet.

(sachant que tous les documents publiés sur HAL n’ont pas vocation à être édités dans une revue)

A cet égard, Edouard Brézin, président de l’Académie des Sciences, insistant sur la position dominante de certaines revues, indique que la plupart des éditeurs de revues autorisent la publication simultanée sur Internet des articles de revues : parmi les plus prestigieux, Nature l’autorise, Science ne l’autorise pas. E. Brézin précise aussi qu’il n’y a aucune exclusivité pour HAL, un article peut être publié sur HAL, sur la base d’archives ouvertes anglo-saxonne ARXIV, sur la page personnelle internet du chercheur…

Sur une question d’Yves Miserey du Figaro, F. Laloë donne quelques éléments quantitatifs :

- Actuellement la base HAL a 32 000 documents, la base spécifique HAL-Sciences Humaines en a 5 500.

- Le flux mensuel sur HAL est d’environ 1 200 documents/mois, ce qu’on peut évaluer à 15% de la production scientifique française.

- HAL fonctionne à Villeurbanne pour un coût modique, avec 5 personnes sous la direction de Daniel Charnay, dans les locaux de l’IN2P3.

A nos lecteurs intéressés pour consulter ces articles scientifiques en libre accès :

- La base HAL et la base HAL-Sciences Humaines.

- Le flux RSS de HAL et le flux RSS de HAL-Sciences Humaines, pour suivre de loin dans votre portail RSS le niveau d’activité et les titres publiés.

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6 octobre 2006 5 06 /10 /octobre /2006 20:25

Oeuvre d'art

1² = 1
11² = 121
111² = 12321
1111² = 1234321
11111² = 123454321
111111² = 12345654321
1111111² = 1234567654321
11111111² = 123456787654321
111111111² = 12345678987654321

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5 octobre 2006 4 05 /10 /octobre /2006 20:30

Tchat sciences

J'ai été invité par le site l'Internaute à participer à un "tchat sciences" mardi 17 octobre de 14h à 15h (voir page de présentation) (voir transcription du t'chat)

Rajoûts du 15 octobre:

- j'ai par ailleurs été invité à faire une dédicace de mon livre à la librairie de sciences et d'informatique Ellipse à Genève le samedi 14 octobre.

- je fais deux conférences sur le thème "Vous reprendrez bien un peu de mathématiques?":

1) le mercredi 22 novembre à 19H30 dans le cadre de la semaine des mathématiques de l'Ecole Alsacienne. (fichier PDF)

2) le mardi 12 décembre à 18h à la Médiathèque de Troyes.

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27 septembre 2006 3 27 /09 /septembre /2006 13:56

Paradoxe des jumeaux de Langevin

Le paradoxe des jumeaux (émis par Paul Langevin en 1911) est une des plus complexes de la relativité : ce paradoxe, qui s’appuie à la fois sur la relativité restreinte et la relativité générale, peut être discuté de plusieurs manières, nous en donnons ici une description sommaire.

Le « jumeau 1 » est au repos dans son référentiel, le « jumeau 2 » accomplit un trajet aller-retour à vitesse v et retrouve le référentiel de son jumeau à la fin du voyage (figure ci-dessous). Il s’agit donc de deux personnes (en l’occurrence des jumeaux) qui ont été dans des référentiels différents et qui finalement effectuent, dans un même référentiel, la comparaison de leurs temps propres.

De quelque manière qu’on prenne le sujet, le temps propre du jumeau 2 est inférieur au temps propre du jumeau 1 : T2 = T1 x √(1- v²/c²). A la limite, quand le jumeau 2 voyage à la vitesse de la lumière (v = c), le temps ne passe plus pour lui. Dans l’espace euclidien traditionnel, le trajet ACB est plus long que le trajet AB direct, et on ne s’étonnera pas de voir le compteur kilométrique d’une voiture qui effectue le détour par C afficher un kilométrage supérieur à celui de la voiture qui effectue le trajet direct. Dans l’espace-temps de la relativité restreinte, c’est le compteur de temps du jumeau voyageant par ACB qui affiche un chiffre inférieur à celui du jumeau fixe.

Cependant, même si le jumeau voyageur arrive plus jeune que le jumeau sédentaire, il n’en vivra pas plus longtemps pour autant. La meilleure image (donnée par T. Damour) est celle de la cryogénie: c’est comme si au lieu d’envoyer un des jumeaux dans l’espace, on l’avait mis dans un bloc de glace, où son cœur s’était arrêté de battre conservant donc ainsi sa réserve de « temps biologique », et qu’on l’avait sorti de ce bloc par la suite. Dans le voyage intersidéral, le temps propre du jumeau voyageur est effectivement passé moins vite (temps propre plus court), mais il n’a pas de réserve de temps biologique (nombre de battements de cœur).

Il est curieux de constater que cette conséquence de la relativité restreinte, connue aussi sous le nom de « paradoxe des horloges », a été vérifié de nombreuses fois. A présent elle ne choque quasiment plus, par exemple pour le GPS qui correspond exactement à l’application de ce pseudo-paradoxe : l’horloge embarquée dans le satellite qui tourne autour de la Terre marque un temps propre inférieur à l’horloge terrestre ; quand on compare les deux temps dans le référentiel terrestre, on est amené à faire une correction nécessaire au bon fonctionnement du GPS.

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