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CouvPocheIndispensables
J'ai créé ce blog lors de la sortie de mon livre "Les Indispensables mathématiques et physiques pour tous", Odile Jacob, avril 2006 ; livre republié en poche en octobre 2011 (achat en ligne) (sommaire du livre).
Je développe dans ce blog des notions de mathématiques et de physique à destination du plus large public possible, en essayant de susciter questions et discussion: n'hésitez pas à laisser vos commentaires!

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Indispensables astronomiques

Nouveauté octobre 2013, mon livre "Les Indispensables astronomiques et astrophysiques pour tous" est sorti en poche, 9,5€ (éditions Odile Jacob, éidtion originale 2009). Comme mon premier livre (Les Indispensables mathématiques et physiques), c'est un livre de notions de base illustrées avec des exemples concrets, s'appuyant sur les mathématiques (géométrie notamment) pour l'astronomie, et sur la physique pour l'astrophysique. Je recommande vivement sa lecture.

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12 janvier 2008 6 12 /01 /janvier /2008 08:57

Un pavé [un clin d'oeil au pavage de Penrose :)- ] de 800 pages pour ceux qui font de la vulgarisation en mathématiques ou en physique, c'est LE Penrose "A la découverte des lois de l'univers", qui vient d'être traduit en français. Pas à la portée de tous, mais un outil de base, ou quelques friandises à déguster de temps à autre, c'est selon.
Sir-Roger-Penrose-m86804.jpg
Dans le chapitre 3, Penrose nous montre en termes simples comment l'on peut construire la suite des nombres dits "naturels" comme une abstraction mathématique totalement indépendante d'une quelconque réalité, simplement en utilisant la théorie des ensembles.

On commence par l'ensemble le plus simple (mais l'est-il réellement ?), l'"ensemble vide", qui ne contient aucun élément.
On le note ainsi :
 Ø ou { }. Les accolades désignent un "ensemble" : l'ensemble ci-avant ne contient aucun élément entre les accolades, c'est un ensemble "vide", on lui attribue le nombre 0. Nous enfonçons peut-être des portes ouvertes, mais c'est de la définition précise que jaillit l'abstraction...

On définit ensuite l'ensemble suivant : {
Ø} ou {{ }}. C'est un ensemble composé d'un élément, et cet élément est l'ensemble précédent. On lui attribue le chiffre 1. [*]

On définit ensuite l'ensemble suivant : {
Ø, {Ø}} ou {{ }, {{ }}}. C'est un ensemble composé de deux éléments, l'esemble vide et l'ensemble précédent. On lui attribue le chiffre 2. [**]

On définit ensuite l'ensemble constitué par l'ensemble vide, l'ensemble défini dans le paragraphe [*], et l'ensemble défini dans le paragraphe [**]. On lui attribue le chiffre 3.

Et ainsi de suite, on a compris.

Ce qui permet à Roger Penrose de conclure : " Cette méthode a le mérite de nous montrer que des notions telles que les nombres naturels peuvent, littéralement, êtres construites à partir de rien, en utilisant simplement la notion abstraite d'ensemble ".
(dans cette phrase j'aime bien le "littéralement" : il se rapporte à "à partir de rien". Car c'est en effet à partir de l'ensemble vide - rien - que l'on construit là la suite des nombres naturels)

(voir commentaire ci-dessous sur la typographie)

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commentaires

wouf 19/04/2008 11:29

J'avais pris du plaisir à lire l'article, c'était une façon de te remercier.Pour conclure, une petite réflexion sympatoche:Ne dit-on pas que :"La nature a horreur du vide"...:)

wouf 19/04/2008 00:45

l entité décomposée pour ne pas la parser: & puis Oslash; (
Ø )

Alexandre Moatti 19/04/2008 09:54


Oui, super, c'est simple et çà marche. A vrai dire tu as plutôt l'air d'un c....aïd ! Merci ... A.M.


wouf 19/04/2008 00:42

Pour afficher le symbole ensemble vide simplement il faut utiliser l'entité html
Ø qui donnera dans tous les navigateurs:
Ø
Si ça ne s'affiche pas correctement, j'ai l'air d'un c.

Jean-Claude MATTHYS 11/04/2008 09:21

Bravo et merci pour votre blog si "ouvert" (au sens topologique donc!).Je suis sûr que cette définition ensembliste des nombres naturels n'est pas due à PENROSE (on ne prête qu'aux riches, paraît-il!).Elle (ap)paraît dans le premier article, Zur Einführung der transfiniten Ordnungszahlen (1923), du tout jeune Janos VON NEUMANN (1903-1957).Mais peut-être était-il déjà lui-même inspiré par un de ses prestigieux devanciers ? Il est de ces idées dont l'origine semble se perdre dans les brumes de l'Histoire (voir ci-dessous).J'ai l'habitude de rappeler à mes étudiants cette déclaration de Leopold KRONECKER (1823-1891):
"Die ganzen Zahlen
hat der liebe Gott gemacht. Alles andere ist Menschenwerk".
Les nombres entiers, le
Bon Dieu les a créés. Tout le reste est oeuvre humaine.prononcée au congrès de Berlin de 1886.Et d'ajouter que, depuis Von NEUMANN, nous pourrions dire :"Le Bon Dieu nous a donné l'ensemble vide. Tout le reste, c'est nous qui l'avons imaginé".Ou encore, en boutade :"La mathématique repose sur le vide!"
Remarquons tout de même que tout ceci participe à ce remarquable effort de reconstruction de l'édifice mathématique, conduit à travers tout le dix-neuvième siècle, et au-delà, et qui a probablement inspiré BOURBAKI.Quoi qu'il en soit, cela me fait irresistiblement penser au fameux traité du taoïste LIE-TSEU (5e. s. A.C.): "Le vrai classique du vide parfait", publié notamment dans la Bibliothèque de la Pléiade.Quel beau titre!Qui dit que la nature a horreur du vide ?JCLM 

Alexandre Moatti 17/04/2008 10:59


Merci, cette fois-ci Penrose n'a pas cité le grand Neumann, mais il a sans doute eu d'autres occasions de lui rendre hommage. J'aime beaucoup la phrase de
Kronecker : on pourrait d 'ailleurs la réduire aux nombres premiers, puisque les entiers s'en déduisent. "Dieu a créé les nombres premiers, le reste a été fait par l'homme". L'allemand est
d'ailleurs toujours beaucoup plus expressif : ganze veut dire là nombres entiers, mais pourrait vouloir dire "la totalité des nombres", ce qui est
d'ailleuurs bien le cas puisque tous se déduisent des entiers (voire des entiers premiers). A.M.


Pierre 29/02/2008 22:33

Attention à la tautologie ! Un ensemble vide est vide, mais un ensemble qui contient un ensemble vide n’est plus vide. Et moins encore pour un ensemble qui contient un ensemble, qui n’est pas non plus vide car il contient un ensemble vide. Bien sur, c’est mieux d’utiliser les symboles pour l’expliquer mais au fond ça ne change en rien. Alors la correspondance bijective pour créer les nombres naturels ? Et bien, vous prenez un objet qui en mathématiques vaut moins que rien : la patate, et puis vous en prenez deux de patates, et puis trois. Vous avez vos nombres IN à partir des patates. Je crois que mon ami Roger sera tout à fait d’accord sans tomber dans le piège du vide

Alexandre Moatti 03/03/2008 22:24

Je n'ai jamais dit qu'un ensemble qui contenait l'ensemble vide était vide. Ce qui est intéressant dans cet exemple donné par Penrose est de partir d'une abstraction mathématique ne correspondant à aucune réalité effective, l'ensemble vide, et de bâtir les entiers naturels. Pas compter ou conter des patates :)- A.M.

Jean-Pierre Edberg 24/02/2008 20:05

Sur (votre) : Les nombres entiers le sont-ils vraiment, et le pavage de Penrose (dont le papa était déjà un psychiatre renommé, et le grand-père, un maître d'echec!)

A titre d'exemple de ce que Jacques Lacan va tirer de la construction de l'ensemble des nombres entiers, à l'instar de Penrose (et de Péano?) à partir de l'ensemble vide,
mais cette fois dans l'optique de la construction ou de la structuratuion du Sujet, une lecture du séminaire XVI,
D'un Autre à l'autre, par Jean-Paul Gilson
de l'ELM (Ecole Lacanienne de Montréal),
école "axée" sur la topologie, peut-être la partie la plus ésotérique de l'enseignement de Lacan, celle qui n'est pas la mieux suivie, ni la mieux comprises par ses confrères psychanalystes :

JPG :

On mesure de la sorte comment le trait unaire fait plus que marquer pour représenter une totalité, il inaugure une série dont la raison est rapportée par Lacan au savoir tel qu’il peut surgir hors-jouissance.

Il est nécessaire, pour que cette opération soit paire (S1®S2), que le premier Un se trouve inclus au champ de l’Autre. Cette opération équivaut à désigner l’élément d’un ensemble à un seul élément et à en distinguer les sous-ensembles soit le Un comme élément, plus l’ensemble vide. La confusion venait précédemment de ce qu’on pensait que l’Autre s’égalait au Un en oubliant qu’il est Un plus l’ensemble vide ; en d’autres termes : « L’Autre a besoin d’un petit autre pour devenir l’Un-en-plus, c’est-à-dire ce qu’il est lui-même. » (18/6/1969) (D’un Autre à l’autre !)

Cette inclusion d’un second Un dans l’Autre équivaut à l’écriture du S2 par quoi le Sujet vient à se représenter. Autrement dit, ce qui caractérise la fonction subjective, ce n’est pas seulement le rapport (S1-S2), mais le fait que à chaque fois, le signifiant représente un ensemble vide quand il est posé comme Un (donc un élément Un plus l’ensemble vide, ce que Lacan écrit S(A) non barré signifiant de l’Autre A inaugural).

L’objet a ici est ce qui, dans la structure, se répète indéfiniment du Un plus l’ensemble vide qui n’est pas le même ensemble vide. L’objet a restaure, c’est là quelque chose qui, dit Lacan, appartient à une structure psychique, restaure l’intégrité apparente du A, c’est-à-dire en même temps opère sur ce S(A) qui n’est pas marqué, en mettant une barre qui est ce qui, dans le graphe, donne S() et en retour s’inscrit comme petit a dans le fantasme.

C'est juste pour vous dire combien vos propres recherches, Cher Professeur, peuvent être éclairantes dans des domaines avec lesquels vous les imagineriez sans rapport?

Mais Aristote écrivait déjà dans la métaphysique : De nos jours les mathématiques sont tout, et il faudrait les connaître pour comprendre le reste des choses !

Bien cordialement,

Excusez-moi si j'ai été un peu long !

Jean-Pierre Edberg

Jean-Pierre Edberg 24/02/2008 19:25

Bonjour,Merci pour les indications de lecture, l'ouvrage de Roger Penrose : A la découverte des lois de l'univers, un vrai traité de mathématiques et de physique  à l'usage des non-mathématiciens de formation, sans doute à l'instar du vôtre ?Je ne sais pas si vous avez noté ce curieux parallèlisme entre Roger Penrose et Stephen Hawkins, qui semble poursuivre leur débat, l'ouvrage de Penrose fait écho à ceux d'Hawkins :Et Dieu créa les nombres : les grands textes de mathématiques,Sur les épaules des géants : les grands textes de la physique !Mais je vais me ruer sur "Les indispensables mathématiques" !Merci à vous, et à la GENIALE Odile Jacob !Bien respectueusement,Jean-Pierre Edberg

Jean-Pierre Edberg 24/02/2008 19:12

Bonjour,Je ne sais pas si vous êtes un familier de Lacan ?Mais si vous saviez tout ce que Lacan tire très exactement de cette même méthode pour construire son objet (petit) a !Voir le séminaire XVI : D'un Autre à l'autre*Aussi les séries de FibonacciMerci à vous,Vous êtes lumineux, et votre livre est celui que j'attendais sans oser croire qu'il arriverait, le Messie, quoi  !!!Jean-Pierre Edberg

Alexandre Moatti 24/02/2008 22:45

Cher Monsieur, merci de vos longs et détaillés commentaires. Je ne suis pas un familier de Lacan, j'ai juste été étonné par son emploi parfois étrange des mathématiques, page 92 de mon livre en encadré hors texte je m'amuse d'une de ses phrases, comparant "l'organe érectile" à racine carrée de (-1) ! Quant à ce livre que vous présentez comme le Messie, attendez-le encore un peu car il est en réimpression (sortie prévue en mars). Sincèrement, A.M.

Bertaga 15/01/2008 18:03

Reste la possibilité de régler le problème "à la source". Il suffit d'utiliser l'éditeur d'équations de Word (ou un autre éditeur), de faire une capture de d'écran, puis d'insérer dans votre article les symboles ou les formules sous forme d'images.Mais c'est vrai que cela demande pas mal de manipulations...Merci pour cet artice. Je m'amuse parfois à essayer d'expliquer aux profanes que les nombres (comme tous les outils mathématiques) ont été créés de toute pièce par l'homme pour résoudre des problèmes concrets. Mais ce n'est pas chose aisée...

beverycool 15/01/2008 11:07

Il suffit d'installer IE Tab sous Firefox :  http://www.clubic.com/telecharger-fiche18252-ie-tab.html   et de sélectionner votre site pour voir apparaitre ce symbole.  

Alexandre Moatti 15/01/2008 13:13

Merci beaucoup Beverycool de vos commentaires tjs utiles quelle qu'en soit la nature.J'ai testé moi-même, n'ai pas réussi à télécharger en FTP sur Clubic, mais suis allé à la source sur Mozilla https://addons.mozilla.org/fr/firefox/addon/1419, pour télécharger cet add-on.Une fois que cet outil IETab est installé (très rapide), il faut le mettre dans la barre d'outils Firefox : click droit sur la barre d'outil, personnaliser, faire glisser IETab vers la barre d'outils FF.Comme indiqué dans le commentaire, ceci ne remédie pas à ce pb. d'affichage Firefox, mais permet de visualiser la page sous IE sans ouvrir IE... Subtil.A.M.

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