Certaines lois économiques, même si elles ne sont pas scientifiquement fondamentales, sont intéressantes car elles font appel à l’intuition, et par ailleurs elles constituent une belle application des mathématiques à la vie courante. On a vu dans un précédent billet le principe des enchères de Vickrey (prix Nobel d’économie), et l’utilisation de ce mode d’enchères dans des sites internet.

Voyons à présent la « loi de Metcalfe » ; elle ne porte pas le nom d’un prix Nobel, mais, comme la loi de Moore, d’un dirigeant de l’industrie (fondateur de la société 3M) ; c’est une loi empirique, que vous pouvez « intuiter » facilement. Elle dit que certains réseaux à N utilisateurs croissent en fonction de N².

D’abord, par contraste, l’exemple  d’un réseau qui n’obéit pas à cette loi : les abonnés à une chaîne de télévision. En jargon télécoms, c’est du « point-to-multipoint », ou du « broadcasting », c’est à dire qu’il n’y a pas de communications entre les abonnés eux-mêmes, mais entre un point central et les abonnés : ces réseaux croissent normalement en fonction du nombre d’abonnés N.

En revanche, les réseaux à communication entre utilisateurs, comme ceux de téléphone fixe, de GSM, d’e-mail, de peer-to-peer, ou les réseaux communautaires (Facebook et autres) actuellement en pleine croissance, obéissent à cette loi : le réseau prend de la valeur aux yeux d'un utilisateur en fonction du nombre potentiel d’utilisateurs avec lesquels il peut entrer en relation ; chacun des N utilisateurs peut le faire avec N utilisateurs (en fait N – 1 pour être précis, s’il ne se compte pas lui-même), donc existe un potentiel de N² communications possibles.

Les réseaux de Metcalfe sont des réseaux où la croissance, en N² donc, peut présenter deux phases fort différentes, et différentes des réseaux à croissance en N :
-    Tant que N est faible, le réseau ne décolle pas : vous n’avez pas envie de vous abonner à     un réseau où vous pourriez entrer en relation avec un nombre limité de personnes.
-    A partir d’un certain nombre d’abonnés, l’abonnement se justifie, et le réseau va «exploser», avec un effet boule de neige en N² et non un effet linéaire en N.